Часть 1 (1161664), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1п2 1п 3 Это не единственный способ определения фрактальной размерности. Наиболее известна так называемая размерность Хаусдорфа-Безиковича. Она определяется следующим образом. Пусть у~(1)- наименьшее число кубов (сфер) с ребром (диаметром) 1, которым можно покрыть все точки множества.
Тогда размерность Хаусдорфа - Безиковича есть 1п М® 1З = 1пп ~ о 1~(1/1) (2.34) Оценивая размерность введенного выше канторова множества по (2.34), мы придем к тому же самому результату, что и при вычислениях по формуле (2.33). Одинаковый результат получается при оценке размерности однородных фракталов.
Несколько примеров однородных фракталов и по- кривая коха Д . Я вЂ” -. 1 2618 Ь~3 Губка Сврпии*кого Клиновидная кривая П.-1~ 3 - 1,~аале 1оя 2 Рис. 2.20. лучаемые для них размерности приведены на рис.2.20. В общем случае неоднородных фракталов размерности д и о могут не совпадать, но всегда У <о (см. п.1.б.3). Объекты с фрактальными свойствами возникают в самых различных приложениях. Одной из первых практических задач, приведших к развитию 69 теории фракталов, была задача об определении длины береговой линии. Проблема состоит в том, что по мере использования карт с более мелким разрешением получаемая длина береговой линии все увеличивается и процесс не сходится.
Береговая линия является, таким образом, типичным фрактальным объектом (сравните со структурой снежинки Коха, рис.2.20). Фрактальными свойствами обладают облака, кораллы, растущие кристаллы, семейства трещин при процессах разрушения и поле диссипации энергии в развитом турбулентном течении. К фракталам приводят многие математические задачи. Простейший пример дает задача о границах областей притяжения рациональных отображений комплексной плоскости в себя. Например, рассматривается уравнение Рис. 2.21.
70 имеющее три корня (!,— !/2+/ /З/2,-!/2-/,ГЗ/2), и используется итерацион- ный метод Ньютона для его решения. Это значит, что для уравнения /'(~) = Остроится последовательность значений ~„, таких, что ./(~.)+(~„» — '„) /'(~'.) = о В нашем случае это приводит к выражению 3 — ! 2„ ~ = 2„ З~„ (2.35) Итерационный процесс (2.35) стартует с различных начальных значений ~„ на комплексной плоскости и приводит, в конце концов, к одному из трех корней уравнения.
Задача состоит в том, чтобы построить границу раздела трех областей притяжения. Такие границы называются множествами Жюлиа (задача Жюлиа датируется 1918 годом!) и обладают замечательным свойством: каждая точка границы разделяет все три области притяжения. Множества Жюлиа строятся и для логистического уравнения 2.6.2 Алгоритм вычисления размерности аттрактора для которого показано (Мандельброт, 1980г.), что уравнение существует только для определенных значений Сна комплексной плоскости. Приняв за линию уровня число итераций, необходимых для попадание в а— окрестность решения и рисуя разные уровни разными цветами, получают живописные картинки, украшающие многие книги и журнальные статьи.
Мы не приводим их из-за бедности черно-белого представления и отсылаем к соответствующим изданиям (см. список рекомендуемой литературы). Эстетическое наслаждение мозно получить и от рассматривания изображений аттракторов динамических систем, примеры которых можно видеть на рисунке 2.21. (На рисунке, взятом из книги Г.Шустера «Детерменированный хаос», показаны примеры странного аттрактора и сечения Пуанкаре, полученные при решении уравнения для нелинейных осциляторов.) Вспоминая, что именно размерность аттракторов динамических систем с хаотическим поведением заставили нас обратиться к фракталам, вернемся к вопросу о том, как именно можно измерить размерность аттрактора.
71 Вопрос об измерении размерности аттрактора становится особенно сложным при попытках обработки экспериментальных данных, когда даже вопрос о размерности фазового пространства, то есть вопрос о необходимом числе независимых переменных, остается открытым. Подход к решению этой задачи дает так называемая теорема Таккенса, суть которой состоит в следующем. Пусть имеется динамическая система (не слишком большой размерности Ю), описываемая системой дифференциальных уравнений первого порядка. Принципиально, от системы Ю ! уравнений первого порядка можно перейти к дифференциальному р уравнению Н-ого порядка, содержащЕму 111 прОиЗвОдных, нО Од- 0 ной переменной (например, остается переменная Х(1) и ее произ- 'ф водные Х(г), Х(1), Х(1), и т.д.).
При представлении дифференциальных Рис. 2.22. уравнений в конечных разностях это соответствует одновременному знанию величин Х(1),Х(1+т),Х(1+2т),Х(1+Зт), и т.д., где т - постоянная. Теорема Таккенса утверждает, что каждая переменная системы Х(1) отражает основные свойства этой системы, а аттрактор, построенный в фазовом пространстве переменных Х(1), Х(1 + т), Х(1+ 2~), Х(1+ Зт),......, сохраняет основные топологические свойства аттрактора исходной системы. Практически, алгоритм вычисления размерности аттрактора строится следующим образом.
Для измеряемой величины Х® выбирается характерное время сдвига т и строится фазовая траектория на опеременных х(1), х(г+т),............, х(1 ~-(р — 1)т) как показано на рисунке 2.22. Эта траектория состоит из последовательности точек, каждая из которых определяется в фазовом пространстве вектором Х,. В каждую из этих точек помещается гиперсфера радиуса ~ и вычисляется число точек фазовой траектории, попавших в пределы этой сферы.
Затем вводится функция (2.3б) 72 характеризующая среднее число пар точек, попадающих в сферу заданного радиуса. Здесь О - функция Хевисайда, равная по определению единице при положительных и нулю при остальных значениях аргумента. Ожидая, что С(г) = г", строят эту функцию в двойном логарифмическом масштабе и при наличии в таком представлении прямолинейного участка определяют его наклон, равный величине ~.
Отметим, что степенной закон можно ожидать только на масштабах ~, заметно меньших размеров области, занимаемой аттрактором. Процедура вычисления величины Иповторяется для все возрастающих значений размерности используемого фазового пространства Р. При этом вычисленные значения Н равны Рдо тех пор, пока размерность используемого пространства остается меньшей размерности аттрактора. Если вычисленная размерность ~перестает зависеть от р, то это означает, что она равна размерности самого аттрактора.
Наименьшее целое число, большее полученной (фрактальной) размерности аттрактора, называется размерностью вложения и определяет реальное число степеней свободы рассматриваемой системы. Пример поведения функции С(г) по мере роста р, построенная по результатам реальных измерений в конвекции РелеяБенара (из работы Ма1гаьоп В. е1 а1., Сотр1ея В.епйь Асас1.Яс.Раг1з, 1983, С297, р.209.) приведена на рис.2.23.
В этом примере наклон прямых линий перестает возрастать с р =4, хотя предельный наклон прямых есть 2,8 (то есть размерность вложения равна трем). Рис. 2.23. 73 2.б.3 Обобщенная размерность Где и,— числоточек, попавших в данную ячейку, а 1~-общее числорассмотренных точек. Обобщенная размерность (размерность Рени) определяется как 1п~ р,' 1 7Э, = 1пп ~- о,1 (2.37) 1п1 Таким образом вводится последовательность величин о,, связанных с со- ответствующими моментами распределения вероятности. Посмотрим, ка- кой смысл имеет эта величина при конкретных значениях д.
1) ц=о. Тогда 1п~ р„. о 1 1 и ' о 1п1 сумма в числителе равна числу ячеек, в которых оказалась хотя бы одна точка. Следовательно, 1п М(1) 17о = 1пп ~- о 1п(1/1) (2.38) где М(1) есть число ячеек, содержащих точки, и (2.38) совпадает, таким образом, с определением размерности Хаусдорфа (2.34). 2) ц =1. В этом случае возникает проблема деления на ноль. Рассматривается предел д -+1 и с помощью правила Лопиталя Пусть система эволюционирует в некотором фазовом пространстве. Разобьем это пространство на ячейки (и-мерные кубики) с ребром 1 (всего Мячеек) и вычислим вероятность попадания системы в каждую 1-тую ячейку 1 1п ~~1 р,." В, =1пп 1пп '-" 1п1 о-о д — 1 ~~Г р, 1пр,.
~~> р,"1п р, = 1пп 1пп '= 1 ~- о 1п1 д-1 2 р, =1пп '=' ~- о 1п1 (2.39) Числитель под знаком предела есть энтропия Шенона, а размерность 2э, называют информационной размерностью. где 1у(1) есть функция (2.36), а размерность (2.40) называется корреляционной размерностью. Справедливо общее правило: 1Э,. >.О,, если 1< 1.
Это означает, что наибольшее значение всегда имеет Хаусдорфова размерность 2э,. 2.7 Субгармонический каскад В этом параграфе речь пойдет о переходе к хаотическому движению по сценарию, называемому субгармоническим каскадом и представляющему собой последовательность бифуркаций удвоения периода. Мы уже упоминали бифуркацию этого типа, разбирая возможные типы потери устойчивости траектории при анализе матрицы Флоке. Качественно перестройку фазовой траектории, соответствующую бифуркации удвоения периода, иллюстрирует рисунок 2.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
