Часть 1 (1161664), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

рис.2.7). При к < А,,, единственным решением является устойчивая негюдвижная точка (конвекция отсутствует). В точке к = к,. рождается дополнительная пара решений (это также устойчивые точки), каждое из которых соответствует вращению валов в ту или иную сторону. 51 При этом прежнее решение становится неустойчивым. В этой точке имеет место бифуркация, называемая вилкой (ответвление пары решений в виде притягивающих точек). Таким образом, точкой бифуркации называется точка, в которой происходит ветвление решений.

2.2.2 Бифуркация Хопфа 2.2.3 Нормальные и обратные бифуркации Представленная на рис.2.7 бифуркацио иная диаграмма соответствует нормальной (суперкритической) бифуркации вилки. Это означает, что возникающая в точке бифуркации пара решений ответвляется от начального решения мягко, то есть с нулевой начальной амплитудой, которая монотонно растет по мере роста надкритичности. Точно также нормальной (супер- критической) называется бифуркация Хопфа, если предельный цикл рождается с нулевой амплитудой и в точке бифур- Рис. 2.9.

Бифуркацией Хопфа называется процесс рождения предельного цикла из точки. Поведение системы вблизи точки бифуркации иллюстрирует рисунок 2.8. На рисунке схематически изображены фазовые траектории при трех значениях управляющего параметра в . а < я,, а = я„я > а, . Отметим два важных свойства бифуркации Хопфа. Во-первых, вблизи точки бифуркации период колебаний не зависит от величины надкритичности в-в„. Во-вторых, амплитуда колебаний (амплитуда предельного цикла) зависит от надкритичности по корневому закону, то есть пропорциональна величине я -~, ~. Именно с бифуркацией Хопфа связан первый предложенный сценарий перехода от ламинарного течения к турбулентности (Ландау, 1944г.). Согласно сценарию Лацдау переход к турбулентности представляет собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа, каждая из которых приводит к появлению новой частоты.

В такой схеме аттрактор представляет собой лмерный тор с и, стремящимся к бесконечности, и хаос рождается в системе с очень большим числом степеней свободы. кации система находится в состоянии нейтральной устойчивости. По мере удаления от точки бифуркации происходит плавное увеличение амплитуды предельного цикла. Возможна и другая картина, когда в точке бифуркации происходит жесткий переход к циклу конечной амплитуды (или, в случае вилки, две новые точки появляются на конечном расстоянии друг от друга).

Это происходит, когда нелинейные члены в уравнениях стремятся усилить возникающую неустойчивость. Проходя точку бифуркации справа налево ~рис.2.9) можно видеть, что неустойчивая неподвижная точка превращается в устойчивую неподвижную точку и неустойчивый предельный цикл. Такая бифуркация называется обратной или субкритической. Важной особенностью обратных бифуркаций является наличие интервала управляющего параметра с,', <с <с,, в котором сосуществуют два устойчивых решения. Какое из этих решений реализуется, зависит от предыстории: при движении слева направо неподвижная точка остается устойчивой до значения а =в„, после чего решение перепрыгивает на одну из двух устойчивых ветвей.

При движении справа налево решение следует вдоль этой ветви до точки с =с... где скачком переходит в устойчивую не- подвижную точку на оси. Такое явление называется гистерезисом и хорошо известно в самых различных областях физики и механики. 2.3 Как описать переход и хаос? 2.3.1 Сечения Пуанкаре Идея метода Пуанкаре состоит в снижении объема обрабатываемой информации при изучении поведения фазовых траекторий путем рассмотрения лишь дискретного ряда точек на траектории.

Реализуется эта идея путем выбора некоторой (вообще говоря, произвольной) плоскости в фазовом пространстве и наблюдения за точками пересечения этой плоскости фазовыми траекториями. Метод поясняет рисунок 2.10, где для трехмерного фазового пространства показаны Рис. 2.10. 53 точки пересечения плоскости фазовой траекторией (причем фиксируются только точки, в которых траектории пересекают плоскость в одном направлении, в данном случае, сверху вниз). Множество точек пересечения Р, образуют сечение Пуанкаре, а преобразование, связывающее последующую точку с предыдущей (2.7) Р,, =Т(Р) называется отображением Пуанкаре. При переходе от фазовых траекторий к сечению Пуанкаре происходит снижение Рис. 2.11.

размерности исследуемого множества. При этом рассматривается не система дифференциальных уравнений с непрерывным временем, а отображение (2.7) с дискретным временем и дифференциальные уравнения заменяются разностными. В то же время, сечение Пуанкаре сохраняет топологические свойства породившего его потока. Так для консервативной системы сечение сохраняет, а для диссипативной сокращает площади на плоскости 5. Если решение системы периодическое, характеризуемое частотой г,, то фазовая траекгория представляет собой замкнутую кривую и сечение Пуанкаре представляет собой в простейшем случае одну единственную точку (или несколько точек, если траектория очень извилистая и/или неудачно выбрана плоскость сечения).

Если в решении появляется вторая частота г; и аттрактор представляет собой двумерный тор, то точки в сечение Пуанкаре ложатся на замкнутую кривую, которая может иметь или не иметь точек самопересечения (рис.2.11). При этом точки могут образовывать на этой кривой конечное множество, если отношение частот Л /~, рационально и фазовая траектория представляет собой замкнутую линию, или покрывать кривую непрерывным образом, если отношение частот иррационально.

Посмотрим, как выглядит проблема устойчивости периодического решения с точки зрения отображения Пуанкаре. Вопрос состоит в том, является ли замкнутая траектория устойчивой по отношению к малым возмущениям. Иначе говоря, нужно узнать, как изменится положение точки Р на следующем шаге, если на данном шаге внести возмущение в ее положение. Ограничиваясь линейным анализом устойчивости, для описания отображения Пуанкаре т(Р) вводят матрицу ~7; ] 1,1=12, (2.8) называемую матрицей Флоке. Эта матрица характеризует реакцию отображения Г вдоль координаты 1 на возмущение вдоль координаты 1.

Устойчивость цикла определяется собственными 1е значениями матрицы (2.8). Смещение траектории на следующем витке экспоненциально сс+ Гф убывает со временем, если все собственные значения лежат внутри единичной окружно- Р +>йе сти на комплексной плоскости. Ели же какое- либо собственное значение становится по мо- и-1,~ дулю больше единицы, то смещения растут со 1 временем и цикл становится неустойчивым. Рис. 2.12.

Изучение свойств матрицы Флоке позволяет не только определить устойчив или нет предельный цикл, но и узнать вид бифуркации, соответствующей потере устойчивости. Потеря устойчивости, как уже отмечалось выше, происходит при пересечении мэдуля собственного значения через единичную окружность. Это пересечение может происходить тремя различными способами (рис.2.12). В первом случае, собственное значение действительно и пересекает окружность в точке +1. Этот переход соответствует бифуркации узел-седло, означаюШей, что появляется одно неустойчивое направление и периодическое движение разрушается. Во втором случае, собственное значение также действительно, но пересекает окружность в точке -1.

Момент перехода соответствует ситуации, когда траектория через раз снова попадает в прежнюю точку. Это так называемая бифуркация удвоения периода (субгармоническая бифуркация). Она может быть нормальной и обратной. При нормальной субгармонической бифуркации решение заменяется новым устойчивым периодическим решением с удвоенным периодом (см. параграф 1.7), при обратной бифуркации возникает временная перемежаемость, когда долгие интервалы почти периодического движения сменяются хаотическими осциляциями. Третий тип перехода возникает при комплексных собственных значениях.

В этом случае пара комплексно-сопряженных значений одновременно пересекает единичную окружность. Этот переход отвечает бифуркации Хопфа (возникает блуждание траектории вокруг устойчивой прежде точки). Если бифуркация нормальная, то предельный цикл переходит в тор, если обратная, то вновь возникает перемежаемость. 55 Рхгу~мрмое движение оХ(~+й) = М(й)ОХ(г) . Случаммае движемие Рис.

Характеристики

Список файлов лекций