Часть 1 (1161664), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Первое состоит в том, что рассматриваются только плоские возмущения. Этот шаг оправдывается теоремой Скваера, которая утверждает, что самыми опасными являются именно плоские возмущения. Такое предположение означает, что несжимаемой жидкости. Следующий шаг также является общепринятымдля того, чтобы избавиться от давления и получить одно уравнение для функции тока, необходимо второе уравнение продифференцировать по координате х и вычесть из него первое, продифференцированное по координате; . Результирующее уравнение есть д~р д'я д'у ои о+о о+ дх д~' дхд~ дх д Ч~ дхо о д~р дх дхг дхдх д2 Сокращая подобные члены и учитывая, что дх,/дх = О, приходим к уравне- нию д д "ду 1 М +хо М 'о = — ~Ч~ а ' дл ' дх Я (1.20) которое дополняется граничными условиями для функции тока: '1де "=о-1: = =О оЧ' дЧ * дх д~ Напомним, что функция тока введена для возмущений поля скорости, возникающих на фоне стационарного течения х,.
Штрихами обозначено дифференцирование по вертикальной координате ~ . Полученное уравнение (1.20) можно решать численно, задавая различные начальные возмущения и наблюдая за их эволюцией при различных числах Рейнольдса. Этот путь не снимает, однако, вопроса о выборе вида возмущений. Следуя обычному для теории устойчивости способу, будем рассматривать нормальные возмущения, то есть возмущения вида Ч (х, 2,1) = Чо(1)Г (1.21) Рис.
1.8. о (д'Ч/ д'Ч~1 д д'Ч~ до~р дно дхд2 дхд~ Я 1 дхх д~' ) При это фактически мы провели разделение переменных, включив зависимость от вертикальной координаты е только в амплитуду возмущений Чо . Зависимость от продольной координаты и времени принята в виде гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х (оо — частота, 1о — волновое 25 число). Частота является величиной комплексной: ег = а+((г, что позволяет переписать выражение ддя нормальных возмущений в виде ~р(х,2,()р(2)е'(' ' ( =(р(~)е 'е'("' Характер эволюции колебаний во времени определяется мнимой частью частоты: если Ь>0, то возмущения убывают со временем, а если (г < О, то возмущения нарастают (см. рис.1.8).
Именно знак величины Ь и интересен с точки зрения вопроса об устойчивости течения. Требуется узнать, при каком значении числа Рейнольдса появляется решение с отрицательным Ь и какое волновое число ~ соответствует этому решению. Возмущения в нормальной форме подставляются теперь в уравнение для функции тока. Соответствующие производные определяются формулами: Ар, д1р, д~р =М' = '~ч д( дх д2 г гх р = — + — р =(~р" — (~'д)е'("' '(, дх' д~' гД ~ л' (г ю хг( о ~г )1 ~(ш~ — ь:) ~ Р/ 2(г ~(+(4 ) ~(ю~ — гх( После подстановки получаем с П м(р'-ед(-ь Ь'-и*р( г д= — (р"-гор ++~- ) Ф! (КΠ— йи, фр" — ~с'<р)-~ (Ьг, Ср = — (Ср" — 21'Ср "+ УС'Ср), а после деления на й и добавления граничных условий приходим к окончательной форме уравнения, называемого уравнением Орра-Зоммерфельда (193 7г.): с О „- — "~~р"-~-'р)-, р = ' (р" -и'р" +~'р) й( 1Я (1.22) р „=О р' „=О.
Задача остается чрезвычайно сложной и впервые для плоского слоя была решена только в 1945 г. Линем. Поучительна история решения этого уравнения. Первые подходы были связаны с попытками решать уравнение Орра-Зоммерфельда с отброшенной правой частью. Соответствующее 26 уравнение называют уравнением Релея. Отметим, что отбрасывая члены с четвертой производной д", мы лишаемся возможности использовать все граничные условия и можем требовать обращения в нуль только нормальной компоненты скорости (этому соответствует условие д~/дх=Ои д =0). Отбрасывание правой части мотивировалось тем, что она описывает действие вязкости, а вязкость, казалось, должна играть стабилизирующую роль.
Результат решения уравнения Релея состоял в том, что оно оказывалось абсолютно устойчивым. Линь показал, что фазовая скорость возмущений»,, =в И меньше максимальной скорости потока в центре слоя. Точки, в которых фазовая скорость возмущений совпадает со скоростью основного течения, являются критическими и именно вблизи этих точек начинается Я нарастание возмущений. Основной результат исследования уравнения Орра-Зоммерфельда качественно иллюстрируется рисунком 1.9, на котором представлена так называемая ней- Рис.
1.9. тральная кривая, нарисованная на плоскости й — к. Область неустойчивости заштрихована. Критические параметры отмечены на рисунке звездочками. Наименьшее значение числа Рейнольдса, при котором начинается рост возмущений к = 5700. Соответствующее ему критическое значение волнового числа й' =1. Это означает, что наиболее опасными возмущениями являются возмущения с длиной волны, превышающей толщину слоя приблизительно в 2к раз.
Интересна еще одна особенность нейтральной кривой. При некоторых значениях волнового числа в область неустойчивости можно попасть и двигаясь от больших чисел Рейнольдса к малым. Это означает, что вязкость может играть и дестабилизирующую роль. 1.3 Свободная конвекция несжимаемой жидкости Под свободной конвекцией понимают движения жидкости, возникающие за счет сил Архимеда при наличии неоднородности плотности жидкости в поле массовых сил. В основном будем рассматривать термогравитационную конвекцию, т.е. случай, когда неоднородности жидкости связаны с ее неравномерным нагревом и течение возникает в поле силы тяжести. При этом будем иметь в виду жидкости, плотность которых падает с ростом температуры, т.е.
др(дг < 0 1напомним, что аномальное поведе- 27 ние дает вода в интервале от О до 4' С). Считаем, что неоднородность тем- пературы является единственным источником движения и что Лр « р, т.е. рассматривается слабая конвекция. В уравнении движения появляется слагаемое, описывающее действие силы тяжести ~дР р~ — +(чЧ)~7 = — КР+т~М+ рф ~д~ и нужно учесть изменения плотности. Последняя в общем случае есть функция температуры и давления р = р(т, 1.), а приращение плотности есть ,1р = Р ат+ — 'Р Л . 1 1ор1 1р = — ~ — ~р,ат =-(1р,ат. р,~,ют) ' Здесь р - коэффициент объемного расширения.
Температуру жцдкости представим в виде т=т, +т', (1.23) где 7;- средняя температура, а т'- вариации температуры, малые в том смысле, что вызываемые ими вариации плотности остаются малыми (лр «р ). Плотность представляется, соответственно, в виде р = р, + р'(т), где р, - плотность жидкости при температуре т,. Из сказанного выше сле- дует, что р — рорт или р = р,(1- Рт'). (1.24) Принятое ограничение слабой конвекции предполагает, что рт' « 1. Вспомним, что для воды ~3 = 7 10 ', и следовательно приближение годится Далее делается важное ограничение, состоящее в том, что рассматривается несжимаемая жидкость, означающее что вторым слагаемым в этом равен- стве можно пренебречь. Таким образом, полагается, что плотность зависит только от температуры: р = р(т), а приращение плотности есть 28 практически для любых возможных разностей температуры.
Для газов Р = 1/273, что существенно больше, но также позволяет пользоваться принятыми ограничениями при достаточно больших разностях температуры. Изотермической жидкости с температурой т = 1; и соответствующей этой температуре плотностью р = р, отвечает гидростатическое давление р„подчиняющееся уравнению ~7Ро = РоЯ. Поле давления, устанавливающееся при конвективном движении, представим в виде суммы р ро+р . Подставляя в уравнения движения все введенные разложения, получаем — + Ро 6тю+йЧР~ = О. др' д~ Теперь нужно вычесть из первого уравнения уравнение гидростатики и сделать самое важное допущение. Оно состоит в том, что добавкой к плотности Р', возникающей за счет изменения температуры, пренебрегают всюду, за исключением члена, описывающего силу Архимеда.
Тогда Р ~ — +(Л7)Г = — КР'+т~М вЂ” ~ЗТУ. ~д~ Систему необходимо дополнить уравнением для температуры. Если пренебречь нагревом жидкости за счет вязкой диссипации, то закон переноса удельной энергии записывается в виде РТ~ — +(Р7)5 =кЬТ, Гд5 ~д~ где к — коэффициент теплопроводности, а энтропия 5 связана с температу- рой и давлением 5 5+ Т+ Р, Используя соотношение 29 и считая третье слагаемое пренебрежимо малым (это логично сделать, так как зависимостью плотности от давления уже пренебрегли), приходим к соотношению 5 = 5 ~- — "Т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
