Часть 1 (1161664), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.13. 2.3.2 Показатели Ляпунова Теория Флоке рассматривает устойчивость замкнутой фазовой траектории, интересуясь при этом только поведением всего цикла в целом. Можно поставить вопрос и о локальной устойчивости траектории, независимо от того, является ли она замкнутой или нет. Иначе говоря, речь идет о характеристике скорости расхождения (схождения) начально близких траекторий в фазовом пространстве. Количественной мерой расходимости траекторий являются показатели Ляпунова. Чтобы ввести показатели Ляпунова, необходимо рассмотреть эволюцию малого возмущения бх(~) фазовой траектории х(й.
Интегрируя числено исследуемую систему уравнений, можно построить матрицу м, связывающую вектор возмущений в момент времени ~+йс вектором в момент времени х: Для и- мерной системы матрица м будет иметь размерность и' и псобственных значений. Траектория устойчива, если модули всех собственных чисел меньше единицы (или показатели степени при экспоненциальном представлении собственных чисел отрицательны). На практике интерес представляет наиболее опасное направление и определяется только один, самый большой показатель Ляпунова. Исходя из того, что на конечных временах возмущенная траектория уходит Хаяпаческое Двимтмих' х в самом неустойчивом направлении, практическое определение первого показателя Ляпунова можно реализовать по следующей схеме.
В точке Х(~) на заданной траектории вносится возмущение М(с), отстоящее на расстояние 1, от основной траектории. Решая далее исследуемую систему уравнений для невозмущенного и возмущенного решения, вычисляют расстояние между траекториями И(~) через промежуток времени т . Далее, возмущенную точку снова устанавливают на расстоянии д, от основной траектории, но так, что она остается в том направлении от точки х(~+т), что было получено в результате вычислений возмущенного решения. Тем самым на каждом шаге мы вычисляем скорость расхождения траекторий в наиболее опасном направлении.
Считая, что расхождение траекторий подчиняется экспоненциальному закону 1(~+т) =~1„е'" и многократно повторяя эту процедуру, приходим к следующей формуле для вычисления первого показателя Ляпунова: 2.3.3 Энтропия Колмогорова Другой важной характеристикой хаотического движения в фазовом пространстве является энтропия Колмогорова (К-энтропия). Напомним, что энтропия есть мера беспорядка (в термодинамике) или мера информации, необходимой для определения положения системы в некотором состояния (в теории информации) и определяется формулой где Р, есть вероятность нахождения системы в состоянии 1. Пусть система эволюционирует в д- мерном фазовом пространстве, которое разбивается на ячейки размера 1 (всего 1" ячеек).
Состояние системы фиксируется через интервалы времени т и на каждом шаге регистрируется номер ячейки, в которой оказалась фазовая траектория х(~). Обозначим Р,, совместную вероятность того, что система, стартовав при г = ~, в ячейке 1„,прошла через ячейки 1„1, ив момент ~=~, +п~ оказалась в ячейке 1„. Информация, необходимая для определения положения системы на заданной траектории, пропорциональна энтропии Шенона 57 К ~ ~ Р 1 л 'о-о Тогда, если известно, что система прошла цепочку состояний !,...!'„, то для предсказания положения системы на следующем шаге требуется дополнительная информация Ко,, — К„. Иначе говоря, эта разность описывает потерю информации на шаге и+1. Энтропия Колмогорова вводится как характеристика скорости потери информации т — ! 1 К = 1пп!пп 1пп — ,''о (Х„,! — Ко ) = — 1ип 1ип 1пп — ~Г Р,, 1п Р, (2.9) о-оО !-оО оо — ! .
щ о о-оО ! — >О оо-о що о' '"' о-. 0 !о..о,, Процедуру вычисления энтропии иллюстрирует рисунок 2.13 на примере одномерной системы с дискретным временем. Ось абсцисс соответствует времени, разбитому на интервалы длиной т . При рассмотрении дискретного времени предел по т не берется. Вероятность Р, =1, а число ячеек, в которые может попасть система на следующем шаге пусть остается постоянным и равным ж. Тогда вероятность Р, =1/й, Р „=1/!х!', а Р, о =1!7у"'. Тогда общее число возможных траекторий есть М = М'" 7'1 и о! 1 Х = — 1пп1пп — ~ Р„., 1п Р,, = — 1ип 1нп — М (1п1 — щ1п Ж) = 1п М. !-оО оо-! щ ! '-'" о~-'" щ !у~ На рис.2.13а показан пример регулярного движения, когда из ячейки !, система однозначно переходит в данную ячейку !, и т.д., а первоначально близкие траектории остаются близкими. В этом случае ~ =1 и К = 1).
В случае, показанном на рис.2.13б, близкие траектории расходятся экспоненциально и ~!=е'. Тогда К=) и, как видим, К - энтропия совпадает в этом случае с показателем Ляпунова. Последний случай (рис.2.13в) соответствует случайной системе, в которой на каждом шаге система с равной вероятностью оказывается в любой ячейке. Это приводит к тому, что !х!-+ и К вЂ” +м . 58 2.4 Спектры Фурье 2.4.1 Непрерывное и дискретное преобразование Фурье Анализ Фурье играет особую роль при исследовании не только периодических, но также квазипериодических и стохастических сигналов. В контексте задач, рассматриваемых в этой главе, он интересует нас как инструмент, позволяющий отличать периодические режимы от стохастических, но значение метода Фурье в изучении проблемы турбулентности этим не исчерпывается.
В дальнейшем мы увидим, насколько он полезен при численном исследовании турбулентных потоков и при обработке результатов измерений. Все это делает необходимым краткое изложения основных свойств непрерывного и дискретного преобразования Фурье. Напомним, что Фурье предложил разложение функций в ряд по гармоническим функциям как метод решения уравнения теплопроводности, которое в одномерном случае имеет вид 0,7' =т~о„7'. (2.10) Если задача решается на отрезке (0,1.) и имеет, например, нулевые граничные условия, то температура представляется рядом 7'(х,~) = ~~) 6„0)яп~ .
(2ллх ) (2.11) Подстановка (2.11) в (2.10), дает уравнение (2.12) которое распадается на отдельные уравнения для каждой гармоники (для этого достаточно умножить уравнение на 81п(2лт77) и проинтегрировать по рассматриваемому отрезку) Ь„,0) = — т~ь,„0). (2.13) Решение поставленной задачи становится в результате тривиальным: после разложения в ряд для каждой гармоники имеется решение (2.13), имея которые, можно восстановить по (2.11) распределение температуры в любой момент времени. 59 В общем случае периодическую функцию г(~)с периодом т, для ко- 7! 2 торой существует интеграл ~ 1 Г(7) ~ й, можно разложить в ряд Фурье: ) (7) = — '+,Г(а„соя(п<оф+Ь„ып(по2,7))= ~~ с„е'"'""', 2 рп П .
(2.14) где е2„= 2п (т, а коэффициенты Фурье определяются выражениями: а„= — ~ 1'(7) соь(п7о„7)й, Т 1 7'2 с„= с „= — 1 1(~)е "727, — 7/2 222 Ь„= — ~ ) Я Йп(пв„7)й, Т „'2 (2.15) (2.16) где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. Действительную функцию г(~) можно представить интегралом Фурье, если для нее существует интеграл ~ ~ Г(7) ~ е(~ . Тогда 1(~) = 1Я(ч)е еЬ, т'(ч) = 1 ((е)е ей. (2.17) (2.18) 2.4.2 Основные свойства фурье-преобразования Приведем формулировки основных теорем, касающихся свойств непрерывного фурье-преобразования, помня при этом, что все они имеют прямой аналог в терминах дискретного преобразования.
Итак, пусть Г(х) — действительная функция, для которой существует интеграл ~ 1~(х)!ах. Тогда Здесь (1(~)есть фурьеюбраз функции ((7), 7- частота (будем также пользоваться круговой частотой е2 = 2п~ ). Отметим, что когда речь идет о преобразовании Фурье от функции координат г(х), то в преобразовании вместо частот появляются волновые числа х и т (17 = 2пт, в полной аналогии с частотами).
бО (2.19) (г.го) или, с учетом связи А = гну, У (х)=1 Д(у )е "'"гну Ь)=~у(х '""и~ Используя для преобразования Фурье обозначение 1'(к) = Р[д(х)1, сформулируем его основные свойства. 1. Единственность: пре образ ование (2. 19)-(2.20) однозначно. 2. Линейность: (2.21) 3. Теорема о масштабах: (2.22) 4. Теорема о сдвиге: (2.23) 5. Теорема о свертке2: (2.24) б. Теорема о дифференцировании: Р(у !")(Х))= (Й) Яс). (2.25) 7. Теорема Парсеваляз: 1 1;(х)У'"г(х)йх =1 1;(/с)~ "г(1е)сос. (2.26) Напомним,что свертков называетсяинтегральная операция у,(х) а 1 (х) = [ у,(х — х )1 (х )с1х ' Важным следствием теоремы парсеваля является сохранение энергии:1 ! У' (х)! цх = 1 ! 1' (к)! сй 8. Теорема о комплексном сопряжении: г(у*)= г" (-~). Если Г - вещественное число, то Р(~*)= РЯ= ~'*(-~) т.е.
Г(lс) = Г*( — lс) (2.27) 2.4.3 Спектры Пусть имеется временной сигнал Г(~), для которого существуют преобразования (2.17)-(2.18). Для этого сигнала можно ввести корреляциионную функцию (автокорреляцию) (2.28) Корреляционная функция (2.28) есть среднее произведение двух значений сигнала, сдвинутых на величину т и характеризует степень зависимости текущего значения сигнала от его предыдущих значений. Спектральной плотностью сигнала 1(~) называется функция ~(ч ) =! ~(~ )!'. Связь спектральной плотности с автокорреляционной функцией устанавливает теорема Хинчина-Винера: Р(ч) = ~У(т)е ""Ж . (2.29) Следует отметить, что обрабатываемые сигналы представляют собой, как правило, последовательность дискретных точек (по крайней мере, сигнал становится таковым на этапе ввода в цифровую вычислительную машину).
В Рис. 2.14. этом случае приходится иметь дело с конечной выборкой и важной становится теорема Котельникова, утверждающая, что функция г(~), спектр которой ограничен конечным интервалом частот — ~„<~ <~,„, однозначно определяется выборкой на дискретном множестве точек с шагом б2 Л~=1/2ч„, . Точнее говоря, функция ~0) восстанавливается по конечной выборке 2„= 1'(п2»~) с помощью соотношения (2.30) Рис. 2.15.
Другими словами, теорема Котельникова устанавливает предельную частоту, которая может быть определена по сигналу, регистрируемому с шагом 2»~. При дискретной выборке, состоящей из 1» равноотстоящих точек, исходному ряду соответствует ряд фурье-коэффициентов (2.16), которые для действительного сигнала равны (2.31) Спектральной плотности Р(» ) при дискретном представлении соответствует ряд величин Е, =1 ~;,!', называемый спектром мощности (а также энергетическим спектром, или просто спектром Фурье). Остановимся на том, ' как выглядят спектры различных типов сигналов. Начнем со случая, когда функция ~0) есть периодический сигнал с периодом г . В про- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
