Часть 1 (1161664), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если мы введем систему координат, осями которой будут служить эти две величины, то точка на гглоскости (0,0) будет полностью характеризовать состояние системы, а любому решению будет соответствовать та, или иная линия (траектория). Фазовое пространство определим как пространство, в котором осями координат служат переменные, описывающие состояние системы, в случае осцилятора - положение и скорость. Фазовой траекторией называется кривая в фазовом пространстве, описывающая эволюцию системы.

Совокуп- Рис. 2.2. 45 ность фазовых траекторий, описывающих эволюцию системы при различных начальных условиях, образует фазовый портрет системы. На рисунке 2.2 приведен фазовый портрет маятника. Картина периодична по оси О с периодом 2л . В области применимости уравнения (2.2) фазовые траектории представляют собой окружности с центрами в точках О =О,О =+2~и, гг-целое число. Эти кривые соответствуют гармоническим колебаниям, частота которых не зависит от амплитуды. С ростом амплитуды колебаний траектории принимают эллиптическую форму и период колебаний растет. Если энергия колебаний превышает величину 2д(1, то колебания переходят во вращения вокруг оси. Траектории, точно соответствующие этому значению энергии, проходят через верхнее, неустойчивое положение равновесия и период колебаний стремится к бесконечности.

Эта траектория разделяет области фазового пространства с различным характером поведения (колебания и вращение) и является сепаратрисой. Стрелки на рисунке указывают направление движения. 2.1.2 Консервативные системы Маятник, описываемый уравнением (2.1) сохраняет энергию. Действительно, Е= +тф(1 — со40)=т! ~ + — (1 — сояО) тгг г О Я 2 ~ 2 1 с)Е =т! ~О+ — япΠ— = О. с!! (2.3) оН дН О= —, Р= —. ор дО г Здесь Н(р,О) = + ~(1 — сокО), и р = !О . 2! Таким образом, рассмотренный маятник относится к гамильтоновым системам, которые, как известно, консервативны. Из консервативности (сохранения энергии) следует одно очень важное свойство - сохранение площадей (в общем случае - объема) в фазовом Это означает, что линии на рисунке 2.2 можно интерпретировать как линии равной энергии.

Энергия с точностью до множителя совпадает с функцией Гамильтона, а уравнение (2.1) приводится к системе уравнений первого порядка пространстве. Элемент объема в фазовом пространстве можно рассматривать как множество начальных условий. В процессе эволюции это множество преобразуется в другой элемент фазового пространства (каждая точка следует своей фазовой траектории), объем которого должен оставаться постоянным. Следует подчеркнуть, что сохранение объема не подразумевает при этом сохранения формы, так как сохранение объема может достигаться двумя различными способами.

В первом случае элемент фазового объема переносится вдоль траектории практически без деформации. Во втором случае происходит экспоненциальное удлинение объема в некотором направлении с одновременным сжатием в перпендикулярном направлении (также экспоненциальным).

Хотя фазовый объем сохраняется в обоих случаях, поведение системы отличается принципиально. В первом случае траектории, близкие в начальный момент времени, остаются близкими - траектории (а следовательно, и решение) устойчивы. Во втором случае малое начальное возмущение приводит к быстрому расхождению траекторий со временем - они не устойчивы. Отметим еще одно свойство консервативных систем, состоящее в том, что они инвариантны к обращению времени (замене ~ на — ~).

В случае маятника это означает, что если его движения заснять на видеофильм, то фильм можно прокручивать в обоих направлениях и отличить правильное направление от обратного по воспроизводимым движениям маятника будет невозможно. 2.1.3 Диссипативные системы Примером простейшей диссипативной системы может служить тот же простой маятник, но подверженный действию сил трения. Реально силы трения присутствуют всегда (трение на оси, сопротивление воздуха и т.д.) и ни один свободный осцилятор не совершает колебания неограниченно долго. Для учета действия сил сопротивления нужно добавить в уравнение (2.1.) слагаемое, например, про- 8 д порциональное скорости движения маятника О + рО + ~ яиО = О, (2.4) где и есть коэффициент трения. Повторяя вычисления для скорости изменения энергии, вместо (2.3) получим теперь Рис.

2.3. 47 2 '2 = — рггг1 О й (2.5) Рис. 2.5. (рис.2.4). Эта круговая траектория и является аттрактором (предельным циклом). Важным является тот факт, что в диссипативной системе пропала зависимость решения от начальных условий (на достаточно больших вре- менах, когда система выходит на аттрактор). Таким образом, при любом положительном значении коэффициента трения энергия убывает со временем, стремясь в конечном итоге к нулю (отрицательной энергия стать не может). Это означает, что семейство траекторий, представлявшее собой в отсутствие трения множество концентрических окружностей, превращается теперь во множество траекторий, сходящихся к началу коор- ф динат. На рисунке 2.3 показаны фазовые портреты маятника с трением для малого (а) и большого (б) трения. В первом случае характерное время затухания значительно превышает период коле- 8 баний и траектории представляют собой спирали с малым шагом.

Соответствующий фазовый портрет называется фокусом. Во втором случае затухание происходит за время, меньшее периода. Колебания становятся апериодическими, а Рис. 2.4. портрет называется узлом. В обоих случаях все фазовые траектории заканчиваются в одной точке, которая называется притягивающей точкой или аттрактором. Наличие аттрактора является важнейшим свойством диссипативных систем. Аттрактор является точкой только в простейших случаях. В общем случае аттрактор - это притягивающее множество (линия, поверхность и т.д.). Представим, что в рассматриваемом нами осциляторе добавлена вынуждающая сила (для конкретности представим себе гирю в часах- ходиках). Теперь, независимо от начальных условий фазовые траектории сходятся к окружности, радиус которой определяется действующей силой 48 Рассмотренный пример иллюстрирует еще одно важнейшее свойство диссипативных систем - сжатие шющадей (объема) в фазовом пространстве.

Объем любого множества начальных условий уменьшается в среднем во времени. Однако, как и в консервативных системах„эволюция множества может происходить различным образом. Иногда (как в простом маятнике с трением) это множество равномерно стягивается в точку (или стремится к предельному циклу) и все траектории сближаются со временем.

Но не всегда уменьшение объема подразумевает неизбежное сокращение длин. Растяжение объема в одном направлении может компенсироваться более эффективным сжатием в другом направлении. Эти два сценария сжатия фазового объема показаны на рисунке 2.5. Последнее принципиальное отличие диссипативных систем от консервативных связано с тем, что они не инвариантны к обращению времени. Если фильм о затухающем маятнике просматривать в обратном направлении, то маятник станет раскачивающимся.

2.1.4 Пример немеханической системы Приведем простой пример диссипативной системы из живого мира. Это модель системы жертва - хищник. Система бесспорно диссипативна, так как в отсутствие пищи любая биологическая гюпуляция вымирает. Пусть в изолированном лесу обитают только зайцы и волки, за популяциями которых мы и собираемся следить (М- количество волков, и- количество зайцев). Фазовое пространство есть в этом случае один квадрант на плоскости (п,~), так как отрицательные значения для численности животных не возможны. Постараемся нарисовать фазовый портрет системы, не выписывая уравнений.

Какие параметры определяют возможные сценарии развития жизни в лесу ? Это рождаемость обоих видов, естественная смертность, аппетит волков. Очевидно, что у каждого вида есть наименьшее критическое число (соответственно, и, и м,), необходимое для того, чтобы вид мог воспроизводиться. Отложим на осях эти критические значения и подумаем, как может развиваться система если начальные условия задают старт фазовой траектории вблизи осей координат. Ясно, что решающим является число зайцев. Если количество зайцев не достаточно для поддержания вида, то вымрут зайцы, а следом с неизбежностью вымрут и волки. Если мало волков ()~ < Ю,), а зайцев достаточно, то после вымирания волков численность популяции зайцев (в упрощенной модели) будет зависеть только от наличия травы в нашем лесу (обозначим это число как и„,).

Таким образом, в системе выявились две притягивающие точки, каждая из которых имеет свою область притяжения. 49 Если число зайцев и волков достаточно, то наиболее вероятное развитие событий - это возникновение колебаний: размножились волки- уменьшается число зайцев, стало мало зайцев - уменьшается численность волков, стало меньше волков - снова размножаются зайцы и т.д. Такой сценарий немедленно следует и из простейшей модельной системы и =ап — Рпй, М = — уЮ+оиМ, (2.6) где а - рождаемость зайцев, у - смертность волков (смертностью зайцев от старости пренебрегаем), Р и б - коэффициенты, описывающие результат встречи зайцев с волками (как часто такие встречи заканчиваются трагически и сколько волков могут насытиться в результате одной удачной охоты). Система (2.6) имеет стационарное решение: и =а/Р, Ф =у Я, а линеаризация системы вблизи точки равновесия приводит к уравнению я =ауп, Риа 2.6.

имеющим своим решением гармонические колебания. Таким образом, если стационарное решение является неустойчивым, то можно ожидать появления в системе предельного цикла. Все сказанное суммирует рисунок 2.6, где приведен качественный вид фазового портрета системы зайцы - волки. Видно, что аттрактор системы включает два узла и предельный цикл, и что каждый из трех элементов аттрактора имеет свою область притяжения. Области притяжения разделены сепаратрисами, обозначенными пунктиром.

2.2 Бифуркации 2.2.1 Что такое бифуркация? В рассмотренных нами примерах диссипативных систем с подводом энергии (маятник, энергия которого поддерживается за счет опускающейся гири, животные в лесу, питающиеся в конечном итоге за счет травы) мы обошли молчанием важный вопрос о том, как устойчивое решение ~точка в фазовом пространстве) становится неустойчивым и сменяется предельным циклом.

Ясно, что поведение системы зависит от некоторых управляющих параметров (масса гири в часах, при недостатке которой маятник остановится, рождаемость зайцев и т.д.) и при изменение этого параметра возможны не только количественные, но и качественные перестройки характера эволюции системы. Точка в пространстве параметров, при которой происходят качественные изменения характера решений, называется точкой бифуркации, а соответствующее значение параметра называется критическим. Вспомним результаты анализа конвективной устойчивости нагретой жидкости в горизонтальном слое, описанные в первой главе и представим их на плоскости (К,А), где К - число Релея, а А- амплитуда (скорость вращения) конвективных валов (см.

Характеристики

Список файлов лекций