Часть 1 (1161664), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если мы принимаем систему единиц СИ, то каждая из этих величин будет иметь следующую размерность: [Р)=кг/м с-; [р)= кг/м; [ч)=м /с. [ч1= м/с; [11= м; [г)=с; Идея обезразмеривания состоит в том, чтобы измерять все величины в единицах, являющихся характерными параметрами конкретной задачи. Так, например, в качестве единицы измерения длины можно выбрать некий характерный размер / (это может быть толщина слоя жидкости, диаметр трубы, размер обтекаемого тела и т.д.), за единицу измерения скорости- характерную скорость ч (скорость верхней пластины в течении Куэтта, скорость на оси трубы в течение Пуазейля, скорость набегающего потока в задачах об обтекании тела и т.д.). Единица измерения времени выражается через две введенные величины и есть /,/~', а единицей давления может служить величина р~"-.
Безразмерные величины (обозначим их буквами с тильдами) будут связаны со старыми, размерными величинами как Важной характеристикой является расход жидкости, протекающей через трубу. Ддя него имеем ~(~-Ю . 8т~/. 17 Подставляя эти соотношения в уравнения движения, получим — + (К)Г = — КР+ч Л д1 Е Х. йчР =О, а сокращая подобные множители и опуская тильды, приходим к уравнениям — -1- (Л~)Р = — Ъ'Р+ — М д17 1 й Н 1'1.14) йчУ=О, — +(Л')7 = — '17Р+ Лю, д17 Й не содержащее каких-либо параметров. Не следует думать, что таким образом мы получили уравнение, лишенное параметра. В действительности, роль числа Рейнольдса выполняет теперь безразмерная скорость.
Если при первом способе обезразмеривания безразмерная скорость по определению лежала в интервале ~О,Ц (или вблизи него), то при втором способе единичной является скорость вязкого переноса, а безразмерная скорость может достигать величин порядка Ът. У вЂ” — -— н/Ь то есть является аналогом числа Рейнольдса. С числом Рейнольдса тесно связан вопрос о подобии различных течений, то есть вопрос о том, каким критериям должна удовлетворять модель исследуемого течения.
Пусть рассматривается определенный тип тече- И, где безразмерная величина к= — называется числом Рейнольдса. Это число характеризует отношение инерционных сил к вязким (нелинейного члена к вязкому) и именно оно является критерием, определяющим этапы перехода от ламинарных течений к турбулентным. Важно подчеркнуть, что приведенный способ обезразмеривания уравнений не является единственно возможным. Например, в качестве единицы времени можно взять величину ~' l~, характеризующую время вязкой диссипации, а в качестве единицы скорости — величину ~/~.
Переходя к безразмерным переменным, в этом случае получим уравнение 18 ний жидкости (например, течение по трубам или обтекание тел определенной формы). Очевидно, что для моделирования движения нужно в первую очередь обеспечить геометрическое подобие. Тогда геометрические свойства задачи определяются одним линейным размером ~. Из параметров, характеризующих жидкость, в уравнения входит только кинематическая вязкость ~ (поля скорости ~ и давления, отнесенного к плотности, Р! р являются неизвестными функциями, которые необходимо найти). Если рассматривается обтекание тела потоком, то характеристикой течения в целом является скорость потока (на бесконечности) 1 .
Мы видим, что в рамках заданного типа движений решение определяется тремя параметрами: м,1~,й,. Из этих трех размерных величин можно составить только одну безразмерную комбинацию, а именно, введенное выше число Рейнольдса. Искомые поля (опять же, для заданного типа течений) должны будут выражаться зависимостями вида Суть закона подобия, сформулированного Рейнольдсом в 1883 году, состоит в том, что течения одного типа с равнь1м числом Рейнольдса подобны. Подобие двух течений состоит в том, что все поля могут быть получены друг из друга простым масштабным преобразованием координат и скорости. Если в задаче появляется дополнительный параметр, то из имеющихся четырех величин можно составить два независимых безразмерных комплекса и для обеспечения подобия задач потребуется обеспечить равенство обоих безразмерных параметров. Так, если в рассматриваемом течении существенно влияние сил тяжести, то в качестве дополнительного размерного параметра в задачу входит ускорение силы тяжести я.
Тогда новым безразмерным параметром может служить число Фруда являющееся мерой отношения кинетической энергии движущейся жидкости к потенциальной. 1.1.5 Течение в диффузоре Мы рассмотрели выше два простейших примера точных решений уравнений Навье-Стокса. Известно еще несколько задач, для которых 19 найдены точные решения. Это, например, задача о затопленной струе, задача о течении вблизи вращающегося диска, течение в диффузоре и некоторые другие.
Не воспроизводя решения задачи, остановимся на течение жидкости в плоском диффузоре (задача Гамеля, 1917г.). Плоский диффузор образован двумя полу-плоскостями, выходящими из начала координат под углом а (рис.1.3). В начале координат находится источник жидкости мощно- Рис. 1.3. стью ~. Если ~<О, то источник становится стоком, а устройство называется конфузором. Решение ищется в цилиндрической системе координат (~,д,~) для чисто радиального течения (г, = ~ = О;1„= »(~,1р)) .
Уравнение непрерывности, записанное в цилиндрических координатах 1 д(гт,) ! Ь'„ ди — + — "+ '=О, г дг 1 йр д2 показывает, что (и) не зависит от радиуса и может быть только функцией угла 1р . Решение поэтому ищется для автомодельной переменной 1 и(ср) = — п~. бч Вид решения, получающегося для конфузора при малых и больших числах Ре йнольдса, иллюстрирует рис.1.4. Интересной особенностью задачи Гамеля является то, что для конфузора (втекание жидкости, Д < О) решение существует для любых значений Рис.
1.4. числа Рейнольдса, которое определяется через расход и есть !Д! рч а для диффузора (О >О) симметричное расходящееся течение существует только при ограниченных значениях числа Рейнольдса к < к „и огра- ниче нных значениях угла раствора а <а„„,. Предельные параметры связаны простым соотношением Л„,„= 6 — — а О,УМ л' о~ которое определяет область существования симметричных решений на плоскости (к,а) (см.
рис.1.5). При к > к„„, существуют только несимметричные решения, в которых имеются области возвратных течений. Примеры профилей скорости, соответствующих таким решениям, приведены на рис.1.6. Важно отметить, что решение в конфузоре при Я вЂ” ~ стремится к решению для идеальной жидкости (столбообразное течение с проскальзыванием на границе), а в диффузоре предельного перехода нет: при Я вЂ” ~ число перегибов в решении неограниченно возрастает. Задача о диффузоре интересна тем, что является примером задачи, в которой существует граничное значение числа Рейнольдса, при превышении которого решение данного вида не существует. Не следует путать этот случай с ситуацией, когда решение в принципе существует, но не реализуется в силу возникающей неустойчивости.
Об этом пойдет речь далее. Рис. 1.6. 21 1.2 Устойчивость течений Вопрос об устойчивости того или иного состояния (решения, режима) возникает в самых разных задачах. Достаточно вспомнить простейший пример об устойчивости шарика, лежащего на различных поверхностях (рис.1.7). В первом случае положение шарика абсолютно устойчиво, то есть при любом конечном воздействии шарик по окончании действия возмущающей силы возвращается в исходное состояние. Во втором случае положение шарика абсолютно неустойчиво — любое, сколь угодно малое возмущение, безвозвратно уводит его из начального положения. Третий случай иллюстрирует пример состояния, устойчивого по отношению к малым возмущениям, но нарушающегося, если возмущения пре- а 8 с вышают критическую вели- / чину. Нас интересует вопрос об устойчивости стационарных течений.
Для конкрет- Рис. 1.7. ности будем говорить о течении Пуазейля. Возмущения в реальных течениях существуют всегда. Их источником служат шероховатости стенок, входные участки (бесконечных труб нет), просто флуктуации характеристик самой жидкости и т.д. Нужно ответить на вопрос о том, какое возмущение является самым опасным и где та граница, при превышении которой это возмущение приведет к разрушению существующего течения. Итак, имеем течение несжимаемой жидкости, для которой запишем уравнения Навье-Стокса в безразмерной форме (1.14) — + (Р7)г = — МР+ — Ла, ди 1 д/ К ЖАР =О.
Стационарное решение задачи (имеем в виду течение Пуазейля, хотя до определенного этапа все рассуждения не зависят от конкретного вида решения) обозначим как ~„, Р,. Это решение, в свою очередь, удовлетворяет уравнениям Поля скорости и давления представим в виде сумм стационарных решений и возмущений у~х, у, 2, ~) = ~0(х)+~' (х, у, 1, Е), Р(х, у, ~,г) = Р„Ю+Р'1х, у,~,~).
Отметим, что в отличие от исследуемого стационарного решения, слагаемые со штрихами описывают возмущения, которые могут зависеть от времени и от всех координат. Введенные разложения подставляются в исходные уравнения +(Р ~7)Р„+(У ~7)Р'+~О'~7)Р +(ю'~7)Р' = — КР, — ~7Р'+ — ЛР + — Лю' Й Р Я ЙчР, +Йча'=0 и, после вычитания из них уравнений для стационарных решений (1.
15), получаем (1.18) Наибольшие трудности в решении этих уравнений представляет нелинейное по искомым возмущениям слагаемое (юУ)Р'. Следующий, принципиальный шаг состоит в том, что это слагаемое отбрасывается. Тем самым мы ограничиваем себя рамками линейной теории устойчивости, рассматривающей эволюцию малых возмущений. Это значит, что Линейная теория работает только вблизи порога возникновения неустойчивости. По прохождению порога, возмущения нарастают и линейные уравнения перестают работать. Тем не менее, поставленная задача при этом может считаться выполненной, так как требовалось указать именно сам порог и наиболее опасные возмущения, которые начинают нарастать в первую очередь.
Отказавшись от написания штрихов, мы придем к системе уравнений, которую необходимо дополнить граничными условиями для возмущений. Например, можно предположить, что на границах возмущения равны нулю. д 1т =(1~,0,я ) и — =О. .С' ' 2 д У С учетом того, что (Р,'7)= и,— д дх д д (Л7) = ю, — + и, —, дх д2 уравнения движения для оставшихся двух компонент запишутся в ви- де д~~, д1'о дР 1 +О й дх ' д~ дх Н д1 Ъ дР 1 '+т, ' = — — + — Л1~,, й дх дг Н й, дн, '+ ' =О. дх д~ Следующий шаг состоит в том, что вводится функция тока ~, связанная с компонентами вектора скорости: ~, = — ~, = . Введение функции тока д~ ' дх позволяет уменьшить число переменных. Платой за это является повышение гюрядка дифференциальных уравнений, которые принимают вид: д д~I д'~р ду л, дР 1 д~р д~ й дхд~ дх д~ дх Л д~ д д~р д2~р дР 1 ду д~ дх дх' д2 Я дх дЧ дЪ о дхд2 д70х Последнее уравнение (это уравнение непрерывности) выполняется тождественно. Это не удивительно, так как функция тока вводится именно для Далее делают еще ряд существенных упрощений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
