Часть 1 (1161664), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(У,У,, +(1,1,)) — рд,.Г,. (3.27) Таким образом, в уравнении для средних величин снова появился тензор напряжений Рейнольдса. Для того чтобы выразить статистические моменты, включающие пульсации давления (см. уравнение (3.24)), потребуется написать уравнение для величины р', что можно сделать, вычтя (3.27) из (3.2б), лр' = — р~д„(Ую, +Бр, +ч1,, — (1,11)) — д, г,.1. (3.28) Это уравнение включает и тензор напряжений Рейнольдса и произведение пульсаций, что неминуемо приведет при попытках написания уравнений для моментов, включающих пульсации давления, к появлению новых моментов старших порядков. 3.3 Турбулентная вязкость Самыми простыми являются модели первого порядка, которые тем или иным образом выражают тензор напряжений Рейнольдса через характеристики среднего поля скорости.
При этом, практически все модели первого порядка оперируют понятием «турбулентная вязкость». В наиболее общем вице турбулентная вязкость вытекает из формулы Буссинеска, предложенной для тензора напряжений Рейнольдса по аналогии с выражением для вязких напряжений, принятомдля несжимаемой жидкости (1.10) (3.25) течения и даже для заданного течения может меняться от точки к точке.
Другш1и словами, концепция турбулентной вязкости основана на рассмотрении некой «турбулентной жидкости», отличной по своим свойствам от вязкой жидкости в турбулентном течении. Самый простой подход к рассмотрению турбулентных течений состоит в том, чтобы предположить, что турбулентная вязкость и энергия Важно подчеркнуть, что в отличие от молекулярной вязкости, турбулентная вязкость 1, не является свойством жидкости, а зависит от самого шз турбулентных пульсаций й =(и,')/2 для данного течения есть величины постоянные, не изменяющиеся от точки к точке. В этом случае уравнение Рейнольдса (3.19) принимает простейший вид (3.26) Не смотря на чрезвычайную грубость такого предположения, оно позволяет в некоторых случаях правдоподобно описывать крупномасштабную структуру турбулентного течения. Полученное решения представляет в этом случае «ламинарный аналог» реального течения, так как получаемые профили скорости соответствуют ламинарным, а не турбулентным режимам течения.
Значения турбулентной вязкости часто превышают при этом молекулярную вязкость на многие порядки. Так, например, для задач описания крупномасштабных течений в атмосфере принимают значения турбулентной вязкости в диапазоне 10'+10'/ '/я, в то время как молекулярная кинематическая вязкость воздуха равна 2 10 '/ '/с (т.е. различие составляет 7-9 порядков !).
3.4 Длина пути смешения Многие простые схемы замыкания опираются на идею Працдтля о длине пути смешения, характеристике потока, под которой понимают расстояние, проходимое жидкой частицей поперек потока, прежде чем происходит ее смешение с окружающей жидкостью. Понятие пути смешения исходит из аналогии между турбулентным перемешиванием и молекулярным переносом в газах, когда характеристики молекул остаются постоянными в промежутках между соударениями. Модель Прандтля применяется обычно к простым потокам, в которых средняя скорость имеет только одну компоненту (пограничные слои, каналы, трубы).
Для определенности будем считать что О = (~/„,0,0), а существенным является только градиент средней скорости вдоль оси ~. Тогда, следуя Прандтлю (1925г.), можно написать, что (3.27) Формула (3.27) получается и из качественных соображений, использующих идею турбулентной вязкости. Действительно, если считать, что ве- 1О4 личина пульсаций скорости в турбулентном потоке пропорциональна градиенту средней скорости, то из размерных соображений появляется коэффициент с размерностью длины: и, = 1~д 11„~.
Логично также предположить, что турбулентная вязкость тем больше, чем выше уровень турбулентных пульсаций. Соображения размерности снова требуют наличия множителя с размерностью длины: ~, = 1и. Тогда У, =1'!д,у,1, что в принципе эквивалентно формуле (3.27). Перечислим некоторые задачи, в которых широко используется гипотеза Прандтля о пути смешения. Свобо ный слой со с вигом ши иной а. В этом случае длина пути смешения считается постоянной 1=С1, где У- эмпирическая константа, величина которой имеет порядок У =О1. Т б лентный пог аничный слой. Предположение о том, что размер доминирующих вихрей пропорционален расстоянию от стенки ~, приводит к выражению 1= С2.
В этом случае эмпирическая константа У = 0,4. Течение в отк ытом канале. Для канала глубиной 1используется оценка Эта формула применима и для закрытого канала. В этом случае глубина д заменяется на полуширину д/2. Формула работает и в случае круглой трубы (вместо глубины в ней появляется радиус канала).
Значение эмпирической константы в каждом случае свое. Важно отметить, что определение длины пути смешения (длины перемешивания), предложенное Прандтлем (3.27) не является единственно возможным. Широко используются и некоторые другие модели, опирающиеся на это понятие.
Например, Тейлор ввел модель, в которой тензор напряжений Рейнольдса для одномерного турбулентного потока задается выражением 105 (и,и,) = — лу,д,г.1,. (3.28) 3.5 Модели переноса турбулентной вязкости (3.29) д,а+(Л~)а = д,о, +6+.О, где 7 — поток величины а за счет диффузии, 6- слагаемое, характеризующее генерацию величины а, О - слагаемое, характеризующее диссипацию этой величины.
Если предположить, что полная вязкость (сумма молекулярной и турбулентной вязкостей) есть переносимая потоком скалярная величина, то для нее можно записать уравнение вида (3.29). Приведем в качестве примера такой модели переноса турбулентной вязкости уравнение, предложенное Ни и Коважным для плоского пограничного слоя (Мее Ч., Кочазкпау Ь. Ятр1е р11епоптепо1орса1 йеогу оГ 1игЬи1еп1 51теаг Поч, Р11у5.Нп1сЬ, 1969, У.12, Р.473-484.) д,ч, +[3,д;ч, =д,((н+1,)д,ч,)+Ан,~д У,~ — Вч,~У+ч,) (3.30) Выражение для потока полной вязкости записано в предположении, что коэффициент диффузии равен этой же полной вязкости (условие само- диффузии).
Уравнение включает две эмпирические константы. Параметр А характеризует интенсивность генерации турбулентной вязкости за счет сдвига (авторы модели принимали его значение близким к 0,1) и параметр в, характеризующий «самосжигание» турбулентной вязкости. З.б Двухпараметрические модели В общем случае турбулентная вязкость меняется от точки к точке и может изменяться со временем, тоесть ~, =1,0,~). К моделям переноса турбулентной вязкости относятся модели, в которых для турбулентной вязкости записывается эволюционное уравнение. Формально, для любой переносимой течением скалярной величины а, для которой выполняется закон сохранения, можно записать уравнение вида 106 Большую группу моделей составляют модели, основанные на рассмотрении кинетической энергии пульсаций скорости у~ = уи, )уУ2.
В моделях этого типа обычно появляется и вторая важная характеристика - скорость диссипации энергии и. Турбулентная вязкость выражается через эти две величины. Соображения размерности приводят к соотношению Ус и, =С— Г Уравнение для энергии пульсаций скорости можно получить из уравнения (3.24), положив в нем у'=у (не путаем в уравнении кинетическую энергию пульсаций и индекс Ус): г д,lс+УУ,д,И = — (и,и )д,УУ, — д, и, ' — — — ндф +(и, УД., (3.31) 2 а 0 УУ 2 4 6 8 УО У2 Ж УБ УУУ х У Э Рис.3.2. д,Ус+УУ,д,Ус+ЕУгд Ус = д ~~,д,3с)+1г,(д УУ,) — в (3.32) однако, это уравнение по-прежнему включает неизвестные моменты и не снимает проблему замыкания.
Замыкание уравнения (3.31) приводит к широкой группе моделей переноса кинетической энергии. Не претендуя даже на беглый обзор полуэмпирических моделей этого типа, мы только приведем пример й — и модели для описания течения в плоском пограничном слое на стенке да+У,д„а+У,д а =д ~ч,дя~+С, — ч,(д,,У,) — С,— (3.33) Рекомендуемая литература к третьей главе: А.С.Монин, А.М.Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч.1.
М.: Наука, 1965. 639с. А.С.Монин, А.М.Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч.2. М.: Наука, 1967. 720с. А.Дж.Рейнольдс, Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия, 1979. 408с. Турбулентность. Принципы и применения. Под. ред. У.Фроста, Т.Моулдена. М.:Мир, 1980. 536с. Методы расчета турбулентных течений. Под. ред. В.Кольмана.
М.: Мир, 1984. 464с. Замкнутую систему образуют при этом уравнения (3.19),(3.20),(3.25),(3.32) и (3.33). Для иллюстрации возможностей полуэмпирических моделей на рисунке 3.2, взятом из книги [4], показаны результаты вычислений осесимметричного следа за шаром в несжимаемой жидкости с помощью различных моделей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
