Часть 1 (1161664), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Уверенность в том, что это возможно, держится на результатах многочисленных успешных попыток использования этих уравнений для турбулентных течений. Сама возможность приложения уравнений НавьеСтокса к турбулентности совсем не очевидна (и продолжает подвергаться критике), так как при их выводе было сделано достаточно сильное предположение о том, что тензор вязких напряжений включает в себя только линейные комбинации первых производных поля скорости. В ламинарных и слабо надкритических течениях это предгюложение кажется разумным и прекрасно работает, но в сильно нелинейных режимах нельзя исключить, что тензор вязких напряжений будет иметь более сложную зависимость от структуры поля скорости. Оправданием использованию уравнений движения в принятой форме может служить только сопоставление результатов их решения с экспериментальными данными.
Далее, пусть уравнения движения справедливы и предположим, что мы располагаем мощнейшим компьютером, способным решать трехмерные уравнения движения с любой желаемой точностью (например, будем считать трехмерный поток на сетке 1000х1000х1000). Это, однако, не снимает проблемы описания турбулентности„так как в результате такого решения мы будем иметь огромное количество информации, осознание которой требует ее представления в некотором виде, а это фактически опять же предполагает введение определенной модели процесса.
По сути, такой суперкомпьютер отличается от реального турбулентного течения, наблюдаемого в лаборатории или природе, только несравненно большими возможностями сьема информации относительно состояния потока в любой точке и в любой момент времени. Проблема описания турбулентного движения состоит в выделении характеристик, описывающих свойства системы с огромным числом степеней свободы, а любой подход к ее описанию — это тот или иной способ ограничения числа степеней свободы. Турбулентные поля (скорость, давление, температура и т.д.) представляют собой случайные поля.
В любой точке потока можно установить датчик и зарегистрировать реализацию процесса в данной точке. Многократно повторяя эту процедуру, принципиально возможно получить плотность вероятности Р(~) для интересующей нас величины ~(~л). В общем случае, плотность вероятности также есть функция координат и времени. Существует ряд важных частных случаев, которые мы и перечислим. Турбулентность является однородной, если плотность распределения вероятности не зависит от сдвига Турбулентное течение называется стационарным, если плотность вероятности не зависит от времени, то есть Процесс называется эргодическим, если осреднение по времени эквивалентно для него осреднению по ансамблю реализаций Угловыми скобками будем обозначать среднее по ансамблю реализаций.
Очевидно, что только стационарный процесс может быть эргодическим. Гипотеза эргодичности широко используется при исследовании ста- ционарных течений, так как на практике измеряются именно средние по времени величины. В реальных измерениях широко используется и гипотеза Тейлора, позволяющая связать пространственные и временные флуктуации исследуемой величины ~Тг,~) . Согласно этой гипотезе, если существует среднее течение, характеризуемой скоростью О, то справедливо соотношение Пользуясь этой гипотезой, по измерениям в заданной точке пространства определяют пространственные флуктуации исследуемого поля и их статистические характеристики.
3.1.2 Статистические моменты случайных полей Функция распределения плотности вероятности Р(7,г) содержит полную информацию о случайном поле ~1~,~), однако, ее определение в полном объеме практически невозможно. Известно, что заданию плотности вероятности эквивалентно задание последовательности (в принципе - бесконечной) статистических моментов При этом момент нулевого порядка равен единице в силу условия норми- ровки мХО =1РЧ)4 =1 а момент первого порядка, называемый также математическим ожиданием, дает среднее значение величины мг' =~уг(уму =(у).
Для моментов второго и более высоких порядков обычно используют центральные моменты, вычисляемые относительно средних значений мЧ-(Х))"' =~(1-Я):Р(ОМ. Напомним, что центральный момент второго порядка называется дисперсией. 95 С точки зрения описания турбулентных полей, необходимы статистические характеристики связи между значениями величины Г(РЛ) в различных точках пространства.
Это требует введения совместной плотности ве- Рис.3.1. роятности Р(Г(~),Г(;)) и (или) соответствующих двухточечных моментов. Важнейшим среди двухточечных моментов является момент второго по- рядка, называемый корреляционной функцией В(г„г,) =~(('(г)-(~))(/'(г,)-(~,))РЧ(~;),1(т ))4 4'„-(Ч~-(Х))И~-(Хг))) (3.1) Если речь идет о векторном поле (например, скорости), то появляется корреляционный тензор В„(>;,г ) =((ю,.(г;) — (а,(г;))(ч,.(г2) — (1',(г,)))).
(3.2) Для однородной турбулентности (3.1) и (3.2) зависят только от взаимного расположения двух точек, то есть, если г, = ~, + ~, то В„(г;, г, ) = В„. (Р) . Важным частным случаем является однородная и изотропная турбулентность, в которой совместная плотность вероятности (а, следовательно, и двухточечные моменты) не зависят и от направления вектора ~ . Тогда 97 всех гармоник с заданным модулем волнового вектора, независимо от его направления. Е((с) = ~Е()с)сй, Ю или, в сферической системе координат, олк Е® = ЦЕ(lс))со к(пЭ с(Э йр оо В важном частном случае изотропной турбулентности, когда Е()с) = Е()с), связь становится очень простой: Е()с) = 4Ы'Е()с) . (3.10) Л(й„)= ) ((х,у,е)е 'Ых. Квадрат модуля этой величины есть одномерный энергетический спектр Р;()с,.
) =! Г',()с, ) !'. (3.1 1) Чтобы получить связь между одномерным и трехмерным спектрами, выразим исходную величину на прямой у = ~ = О через обратное преобразование Фурье. С одной стороны ) (АОО)= — ~О)с„)е"'сй,, а с другой стороны ('(.с,О,О)= — ~('(И,И Я )е ' ' ' эсй сдс,сОс, = Отметим, что все оценки для спектральных законов развитой турбулентности касаются обычно именно энергетического спектра Е()с) .
Если в турбулентном потоке измерения проводятся вдоль одной прямой, то по этим измерениям можно построить одномерное фурье- преобразование. Ограничиваясь однородной и изотропной турбулентностью, в которой все прямые равноправны, рассмотрим прямую у = ~ = Он запишем 99 3.2 Уравнения для статистических моментов 3.2.1 Уравнение Рейнольдса Рассмотрим уравнения Навье-Стокса в тензорных обозначениях др, ~-н д,а, = — р 'д,р+чд' ч, + ~,, др,.
=О. Входящие в них величины представим в виде сумм средних полей и пульсаций: (3.14) р(г,г) = Р(р,г)+ р'(г,г) т,(я,г) = 13,.(г,г) ~- и,(г,г), При этом, согласно принятым определениям, предполагаются следующие правила осреднения (угловые скобки по-прежнему обозначают осреднение по ансамблю реалгоаций): Разложения (3.14) подставим в исходные уравнения (3.12)-(3.13): д,(г, +д,и, +Ег.д (г, +Ег д.и,. +и д.(г,. +и д и, = — р '(д Р+д р')+м(д.(г +д'.и )+г'. (3.17) д„(г„ + д,и„ = О, (3.18) и проведем осреднение д,(г, +д,(и,)+(г,д,.(г, +(г,д,.(и,.)+(и,)д,(г, +(и,дгц) = — р '(д,Р+д,(р'))+ч(д'„.(г,, +д„(и,))+((;.) д„.(г„+д,(и„) =О.
Учитывая правила осреднения (3.15)-(3.16), приходим к уравнению Рейнольдса: (3.19) и уравнению неразрывности для среднего поля скорости (н,) = (г„((г,.) = (г„(и,.) = О; (р)-Р. ( )-Р. (Р)-О д,гг ~-гг.д Гг, = — р 'д,р~-чд'„(г,. — д,(и,и,) +(Х,), (3.12) (3.13) (3.15) (3.16) В уравнение Рейнольдса для средних полей входит одноточечный корреляционный тензор пульсаций скорости, называемый тензором напряже ний Рейнольдс а т„= (и,и,) . (3.21) Этот тензор нельзя выразить через осредненные характеристики турбулентных полей. Следовательно, число неизвестных превышает число имеющихся уравнений и система (3.19)-(3.20) является не замкнутой. 3.2.2 Цепочка уравнений Фридмана-Келлера и проблема замыкания В уравнении Рейнольдса появилась новая неизвестная величина - тензор напряжений Рейнольдса (3.21), для которого также можно получить эволюционное уравнение. Так как д,т„, = д,(и,и,) = (и,д,и,.)+(и,.д,и,.), д,и, +о',.д„и, +и,д„Б,, +и,д,и, = — р 'д,р' — д,.(и,.и„)+нд',,и,.
+л'. (3.22) Аналогичное уравнение получается и для компоненты и,. д,и, +Б„д„и,, +и,д,о',, +и,.д,и,, = — р-'д,р' — д„(и,и,)+ид'„„и, + 1 . (3.23) Уравнение (3.22) умножается на и,. и складывается с уравнением (3.23), умноженным на и,. и,о,и, +и,д,и,. = — о',д„(и,и,.) — и,и„д,о', — ци,д,Ю,, — и,,д„(и,и,) — и,.д„(и,и„) — и,.о,(и,и„) — и,д,(и,и,) — р '(и,.д.р'+и,д.р') — 1 (и,о2,и, +и.д~~„и,)+и,~'+и ~,' то сначала требуется получить уравнение для пульсаций скорости, для чего из уравнения (3.17) необходимо вычесть уравнение (3.19). Получим (немые индексы ~' заменены на /с) пв После осреднения приходим к уравнению: д, (и,.и, )+ У,д„(и,и, ) = — ((и,и, )д„У, +(и,гч )д,,У, ) — д, (и,и,и„) (3.24) — р '((цд, р')+ (и,д, р')) — ((и,д,',и, )+(и,д,,и, ))+(и,.~,,')+(и, Г) .
(3.25) Лр = — р(др,др, — д,~,). В уравнение (3.25) подставляем разложения (3.14) ЛР+Лр = — рд„(ТТ,Г3, +Ур, +ЕУ,1, +юр,) — р(д,Р, +д, 1;) (3.26) В уравнении для корреляционного тензора пульсаций скорости второго порядка (3.24) появился корреляционный тензор (момент) третьего порядка (и,и,и,) и новые моменты второго порядка, описывающие корреляции пульсаций компонент скорости с давлением и скорости со вторыми производными скорости. Для вновь появившихся статистических моментов также можно написать эволюционные уравнения типа (3.24), но проблемы это не решит, так как в уравнение для момента третьего порядка войдут момент четвертого порядка и новые моменты третьего порядка и так далее. Система уравнений для моментов все возрастающих порядков называется цепочкой уравнений Фридмана-Келлера и является незамкнутой в принципе.
Проблема обрыва этой цепочки и получения замкнутой системы называется проблемой замыкания и является центральной проблемой на пути построения моделей турбулентности, предназначенных для описания осредненных полей скорости (температуры, концентрации примеси и т.д.). Все полуэмпирические модели основаны на различных искусственных способах обрыва цепочки уравнений Фридмана-Келлера. Всякая процедура замыкания тем или иным способом выражает моменты порядка п через моменты низших порядков с помощью неких гипотез.
Моделями замыкания первого порядка называют модели, выражающие моменты второго порядка через моменты первого порядка. Модели замыкания второго порядка оставляют моменты второго порядка, выражая через них моменты третьего порядка и т.д. Название полуэмпирические модели отражает тот факт, что все модели непременно содержат константы, требующие их определения из опыта. Проблему замыкания можно проиллюстрировать и на примере уравнения для давления. Как известно, уравнение для определения давления получается из уравнения Навье-Стокса (3.12) путем применения к последнему операции ~. В результате получается уравнение 102 и после осреднения получаем ЛР = — рд„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
