Часть 2 (1161665), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Т.9. Х.7.С.899-906. В уравнениях появляется еще один параметр С, который, однако, не позво- ляет поставить второе условие сохранения, так как две нелинейных пары слагаемых подобны. 114 В модели типа (7.15) в каждом взаимодействии участвуют три соседних члена цепочки переменных (1„. Это означает, что матрица Т„, не содержит диагональных элементов - это не случайно, так как диагональные члены не могут одновременно обеспечить сохранение двух квадратичных величин.
Условие сохранения энергии дает уравнение с1,~~1 Е„= ~~1 1)„()„= ..........+ 11 и + 1с„, (аС„,13„,11„, + Ы)„2(3„,13„+ с()„,13„13„,)+ (7.1б) + )с„(а()„,13„,13„+ ИЗ„,()„(3,, + с(3„Б„,()„„) + + 1с„, (а(1„,11„()„, + Ы)„(3„,(1„, + с(1„„13„„Ц,,)+ которое выполняется, если равна нулю сумма коэффициентов при одинаковых комбинациях переменных (в уравнении соответствующая тройка членов выделена подчеркиванием). Тогда условие сохранения энергии есть (7.17) /с„,с+/с„Ь+/с„,сс = О, а условие сохранения энстрофии аналогичным образомдаст й„, с+А„Ь+/с„, а =О. (7.18) Один из коэффициентов остается неопределенным. Полагая, например, с =1, получаем а=— 6= — —.
(7.19) 16 8 Уравнение (7.15) имеет два стационарных решения вида (7.10). Подставляя (7.10) в (7.15) и обозначая 2'" = с, получаем квадратное уравнение, корни которого (с, =1/2, с, =1/8) дают а, = -1/3, а, = -1. Эти решения соответствуют двум спектральным законам, предсказываемым для двумерной турбулентности соображениями размерности. Упомянем и третий путь получения каскадных моделей, который основан на редукции иерархической модели. Идея этого подхода состоит во введении одной амплитудной характеристики для всех функций выделенного яруса (масштаба) и вычисления элементов матрицы нелинейных взаимодействий на основе оценки среднего результата взаимодействия трех вихрей соответствующих масштабов при их различном взаимном положении.
Преимущество такого подхода состоит в том, что не требуется искусственно ограничиваться рассмотрением только локальных взаимодействий. 115 и„=,'Г(т„„1, „,и„,,и„ч +О„„е„,,и„еи„м + т„„, „„,,и„„.и„,,„) - ~.'и„(7.20) !=! и при У =1 совпадают с уравнениями (7.15). Наличие двух законов сохранения позволяет переписать (7.20) в виде "и Г г'1 — 1 !.— ! з г' 4 — г '" 40' (7.21) 10' содержащем только величины т1 = т,,, 5 10 Первые же попытки численных решений каскадных уравнений показали, что стацио- Ъ парные решения не устойчивы. В качестве 10 примера, на рис.7.2 показаны результаты чис- ленного решения системы уравнений (7.21) с заданными начальными условиями и нулевой 10 вязкостью.
На графике показаны значения пе- ременных и„(на картинке стоит обозначение д А,) для различных моментов времени. В на- чальный момент распределение энергии имеет максимум на промежуточных масштабах (кри- 10ь вая а). Кривая б соответствует моменту време- ни, когда в мелкомасштабной части спектра 10 заканчивается установление распределения и„-г ", отвечающего спектру е(/с)-к '. Кри- вая в фиксирует начало развития неустойчиво- 10 сти, начинающейся на малых масштабах. По- следняя кривая показывает, что к моменту, ко- гда на больших масштабах устанавливается распределение вида и„- г "' (ея) - й "'), неус- тойчивость достигает границы двух интервалов, 0 б 10 15 20 й1 Рис.7.2 "Фрик П.1.
Иерархическая модель двумерной турбулентности д Магнитная гидродинамика. 1983. 1х1.1. С.60-бб. Каскадная модель такого типа была впервые построена в работе для дву- 19 мерной турбулентности (двумерная турбулентность привлекательна наличием второго положительно определенного интеграла движения, который позволяет избежать неопределенности при выводе уравнений). Уравнения модели имеют вид 116 На рис.7.3 приведен результат вычислений с учетом вязкости. Показаны два момента времени: черные точки фиксируют распределение амплитуд на момент установления степенного закона в мелкомасштабной части спектра, а светлые - на момент формирования степенного закона в крупномасштабной части спектра и начала развития неустойчивости решения.
Видно, что введение вязкости стабилизирует правый край инерционного интервала и возмущения начинают развиваться, хотя и медленнее, на его левом краю. Численные решения каскадных уравнений на больших интервалах времени показывают, что каскадные переменные совершают стохастические колебания, а степенные законы реализуются в среднем.
Именно уравнения вида (7.15) получили наибольшее распространение в моделировании каскадных процессов развитой турбулентности. Интерес к ним был вьвван работой2~, в которой впервые в рамках таких моделей исследовалось поведение структурных функций высших порядков. В цитируемой работе рассматривались комплексные переменные 1У„, а уравнения (7.15) были записаны в виде 1'7.22) В таком виде система содержит свободный параметр а, причем независимо от его значения система обеспечивает сохранение энергии. Интере- ж 4О 4О" 4О Ь1 Рис.7.3 запада М., О1с1птап1 К.
П У. Рпуа1са1 Бос1е1у о1' Уароп, 1987. У.56. Р.4210. 117 и запишем условие ее сохранения При выбранном разбиении !й„= 2") условие выполняется, если справедливо уравнение 1 — яг+(в — 1).,' = О, имеющее два корня 1 ~г в — 1 Первый корень не зависит от параметра ~ и соответствует сохранению энергии (И, = Е =,) ! 1/„!' ). Второй корень соответствует квадратичной величине И~, = ~ (в -1) " ! У„!', которая имеет различный смысл при в >1 и в <1. В первом случае квадратичная величина является положительно определенной и может быть переписана в виде и, =а=~ /„' !г/„!', где (7.24) Х = — 10ц, !в — 1!. Величина (7.23) может рассматриваться как обобщенная энстрофия (она совпадает с обычной энстрофией при в = 5/4).
Во втором случае, когда в <1, сохраняется величина И', =Н =2:(-1)'~„' !и. !' (7.25) с показателем степени, также определяемым по формуле (7.24). Важно отметить, что сохраняется в этом случае знакопеременная величина. Ее называют обобщенной спиральностью, так как сохраняемыми знакопеременными квадратичными формами в гидродинамике являются именно спиральности (помимо упоминавшейся в главе 4 гидродинамической спираль- суясь обычной трехмерной турбулентностью, авторы выбрали для этого параметра значение в =1/2. При в = 5/4 уравнения (7.22) совпадают с моделью Гледзера (7.15). Эта модель известна под именем ООУ (Иес1хегОЬЫгап1-Уагпайа) и является на сегодня наиболее исследуемой каскадной моделью турбулентности.
Свойства этой модели обсудим более подробно. Рассмотрим квадратичную величину ности, в магнитной гидродинамике важную роль играют магнитная спиральность и перекрестная спиральность). При ~ =1/2 размерность этой величины совпадает с размерностью гидродинамической спиральности. Любопытно отметить, что сам факт наличия этого интеграла в системе уравнений (7.22) был обнаружен значительно позже работы Охитани и Ямады, в которой именно это значение параметра было выбрано, по-видимому, случайно. Ниже мы увидим, что только при этом значении параметра в и достигается то замечательное совпадение статистических свойств модели и реальной турбулентности, которое привлекло широкий интерес к каскадным моделям.
Система (7.22) имеет два стационарных решения вида с'„=~~„й„", зависящих от параметра а . Подставляя (7.10) в (7.22) и обозначая 3' = х, легко получаем искомые решения (7.26) Первое решение соответствует колмогоровскому спектру й "' и присутствует в системе при любом значении параметра. Численные исследования системы уравнений (7.22) показали, что при в < с, =0.384 колмогоровское решение является устойчивым фокусом системы. При в = а, имеет место бифуркация Хопфа, а при к =~, =0.395 происходит новая бифуркация, после которой в системе возникает хаос. Еще раз отметим, что точка в =1 является особой точкой на оси значений параметра.
В этой точке меняется тип интеграла движения, а при приближении к ней интегралом движения становится величина (7.23) или (7.25) с показателем 1 -э о. Это значит, что ни о каком каскаде в системе не может быть и речи. Заметим также, что в точке в =2 оба решения (7.2б) совпадают, а единственным интегралом движения является энергия ((7.23) совпадает с энергией).
119 7.4. Скейлинг и перемежаемость в каскадных моделях развитой турбулентности (7.27) 5„=<ГГ„' >, где угловые скобки означают усреднение по времени. Напомним, что для структурных функций предполагается наличие степенных законов вида 5, -1'", а использовавшаяся в модели ШЛД расширенная автомодельность устанавливает связь между любой парой структурных функций в ви- де (7.28) Мы видели, что расширенная автомодельность позволяет повысить точность определения скейлинговых показателей с,.
Рис.7.4 показывает, что расширенная автомодельность проявляет себя в полной мере и в каскадных моделях. Для случая а = 5/4 на рис.7.4,а показана зависимость ве- Рис.7.4 " Епс1с Р.О., ВаЬ1апо А., Паьса11е В. Яса!!пав рсореп1еа оГ а с1ааа оГ аЬев тоде!а Л РЬуа1са! нес!ею Е, 1995. Чо!.51. Р.5582-5593. В параграфе 4.6.3 была описана модель развитой турбулентности ШЛД (Ше - Левек - Дюбрюль), претендующая на то, что имеющиеся в ней параметры позволяют описать широкий класс турбулентных течений (напомним, что предшествовавшая ей модель Ше - Левека была строго ориентирована на описание чисто гидродинамической трехмерной турбулентности). Первое тестирование модели ШЛД на универсальность было выполнено с помощью каскадной модели (7.22) в работе '. Каскадная модель типа СОУ дает прекрасную возможность для такого теста, так как позволяет получить целый класс систем с различными законами сохранения. Во всех моделях развитой турбулентности (и/или перемежаемости) рассматриваются структурные функции поля скорости.
В каскадной модели структурной функцией порядка о является величина гго 1 о 1ооо 1о Рис.7.5 (7.29) Если комплексные переменные записать в виде ~~„= р„е', то выражение (7.29) можно привести к виду (7.30) где О„=(р„,р„р„„яп(ф„, +ф„+ф„,,)). личин ~, от номера яруса о (то есть от масштаба) для широкого интервала (вплоть до 25). Заметим, что ни эксперимент, ни прямое численное 1ооо моделирование не могут обес- нечить ни такого диапазона о + фФ Ф масштабов, ни такого высокого ~Ф порядка о.
Можно видеть, что даже для низких порядков знато офо чение скейлинговых показате- Ф лей монотонно возрастает, нао+ чиная с самого начала инерционного интервала. На рис.7.4,б показаны относительные показатели ~, = с, /~,. Ясно видно, что в этом случае появляется 1оо 4~ ~9„~ х Ф и широкий интервал масштабов, в Ф котором показатели сохраняют ~,оФ Ф ~оФ постоянное значение (горизон- ~~~+ тальные линии на графиках). ~,оо+ Центральной величиной Ф~ во всех моделях развитой турбулентности, начиная с теории Колмогорова, является скорость диссипации энергии, которая определяет поток энергии, пронизывающий весь инерционный интервал и, как следствие, определяет динамику последнего.
В главе 5 мы уже останавливались на вопросе о том, что реальной величиной, определяющей динамику инерционного интервала, является не скорость диссипации, а сам поток энергии, который к тому же не всегда постоянен вдоль инерционного интервала. В каскадной модели поток энергии, проходящей через масштаб и (точнее, энергия, передаваемая от всех ярусов с т < п ярусам с т > о), есть ьп Теперь сформулируем основные гипотезы модели ШЛБ в терминах каскадных переменных. Первая гипотеза - гипотеза подобия (4.90), декларирующая наличие одинаковых статистических свойств, принимает форму (7.31) (р о) (~п„~) (~О„~) В качестве безразмерной характеристики потока энергии по спектру (4.89) в данном случае выступает величина (7.32) где (7.33) ! Вторая гипотеза - гипотеза об иерархии моментов безразмерного потока энергии (4.91) сохраняет свой вид ол ,аа ( — А„( (7.34) а третья (гипотеза о перемежаемости) — за- писывается как ол оо ол (7.35) Напомним, что результатом применения трех гипотез является формула для скейлинговых экспонент ол 'о.о ол, Рис.7.6 (7.36) Проверка первой гипотезы требует сопоставления функций распределения плотности вероятности для всех трех величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
