Часть 2 (1161665), страница 14
Текст из файла (страница 14)
т, 2' — 2'' 1'6.41) Таким образом, для любой тройки взаимодействующих вихрей осталась одна величина т,, требующая вычисления при их заданном взаимном положении. Заметим, что положение вихрей полностью определяется значением углов Р между векторами, соединяющими центры большего вихря с меньшим и т.д. 1рис.6.8). Величина т,. вычисляется непосредственно по формуле 16.35) с учетом вида функций 1'6.18)-16.19) и табулируется для всевозможных значений углов. Суммируя сказанное, запишем систему уравнений для двух переменных, характеризующих каждый вихрь л яруса 1масштаба) Ф: амплитуды А,.
и угла ~3„ ( 1 1'6.42) ~=! 1=! 1(,~„„= А „. 16.43) 0.12 ОЛ 0.08 0.06 -12 0.04 0.02 -2О -24 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Рис.б.9 Рис.6.10 В уравнении 16.42) использованы обозначения А,, для индикации вихря, находящегося в иерархическом дереве на 11 ярусов выше данного, и А,,„,. для 1-го вихря, находящегося в дереве на lс ярусов ниже данного1таких вихрей всего 2'" штук). Система 1'6.42)-16.43) хороша тем, что в ней каждая переменная 1каждый вихрь) связана лишь с небольшим числом соседей по иерархическому дереву, изображенному на рис. 6.7.
Такого типа системы удобны для применения систем массированного параллельного программирования. В цитируемой работе зта система решалась на параллельном компьютере типа 85 СМ-200 фирмы Т1ппЫпд Мас1ппе5 Согрога11оп, имеющем 8192 процессора. Компьютер относится к параллельным системам типа ЯМР (Япд1е 1п51гисЙоп Ми111 Ра1а), допускающим одновременное выполнение всеми процессорами только одной и той же операции. Такие вычислительные системы эффективны только при решении задач, в которых требуется одновременное выполнение большого числа одинаковых действий с различными данными. Рассматриваемая иерархическая модель как раз и относится к таким задачам.
600 20 80 Рис.6.11 Решалась система для 12 ярусов (м от 0 до 11), включающая всего 5592405 вихрей. Моделировался инерционный интервал переноса энстрофии - подкачка осуществлялась в первом и втором ярусе, а отвод энергии- в нулевом. В стационарном режиме измерялись интегральные и локальные характеристики полей завихренности и скорости. На рис.6.9 показаны осредненные по времени распределения энергии и энстрофии по ярусам. Наклон графика энергии в инерционном интервале соответствует спектральному закону Е(й) - й -'-'-"-'. Преимущество иерархической модели состоит в том, что она позволяет непосредственно пронаблюдать локальные вариации наклона спектрального закона для плотности энергии. Действительно, локальный наклон спектра может быть определен по отношению энергии пары вертикальных соседей в иерархическом дереве.
Рис.6.10 показывает гистограмму таких локальных наклонов (точнее, на графике показан логарифм отношения энергий последовательной пары вихрей в дереве). Разными значками обозначены данные, относящиеся к различным ярусам. Локальные значения наклона спектра лежат в широком интервале значений, непосредственно подтверждая концепцию мультифрактальной структуры турбулентного потока. В пределах инерционного интервала точки, относящиеся к различным ярусам, ложатся на гистограммах на одну кривую линию, однако, бо- лее тщательное исследование свойств распределения вероятности показывает систематическое изменение ее структуры по мере уменьшения масштабов. В качестве меры отличия распределения вероятности от нормального часто используют коэффициеш эксцесса, определяемый в нашем случае для каждого яруса, как < (А„„)" > (6.44) На рис.6.11 показано изменение во времени коэффициентов эксцесса, вычисляемых для шестого и восьмого ярусов (оба внутри инерционного интервала).
Глядя на рисунок, можно сделать два важных вывода. Вопервых, графики свидетельствуют о сильной временной перемежаемости— в отдельные моменты времени эксцесс растет до значений, равных нескольким сотням. Во-вторых, можно видеть, что коэффициент эксцесса восьмого яруса систематически превышает коэффициент шестого яруса. Этот факт подтверждает и рис.6.12, на котором показаны средние по времени значения логарифма коэффициентов (6.44) для всех ярусов (точки 1). Виден монотонный рост эксцесса с ростом номера яруса. Это означает, что чем меньше масштаб, тем большие выбросы возникают в функциях распределения вероятности (на гистограммах эти выбросы практически не 1.2 О.в В.4 2 2 2 3 4 5 б а Рис.6.12 Рис.6.13 видны, так как сливаются с осью абсцисс).
На этом же рисунке для сравнения приведены коэффициенты эксцесса, полученные в каскадной модели двумерной турбулентности. Об этих моделях речь пойдет в последней главе и там мы вернемся к обсуждению этого графика. Последний рис.6.13 показывает результаты непосредственного вычисления фрактального спектра ~(а) по алгоритму, описанному в параграфе 4.5.3. График подтверждает выводы, сформулированные при обсуждении мультифрактальных моделей, а именно тот факт, что, являясь по сути моделью с бесконечным числом параметров, такая модель описывает любой спектр.
Вид функции ~(а) всегда одинаков. Интерес в ней представляют лишь несколько точек, например вершина, абсцисса которой соответствует среднему наклону спектра. 87 Сравнение результатов, получаемых при решении иерархических уравнений, с результатами прямог о численного моделирования двумерной турбулентности показывает, что модель не воспроизводит характерных для двумерной турбулентности когерентных вихрей и связанного с ними крутого участка спектра. Причиной тому служит отсутствие в модели взаимодействий между вихрями-соседями (нет горизонтальных связей в иерархическом дереве рис.б.7.). Модель теряет, таким образом, черты турбулентности, связанные с процессами самоорганизации в физическом пространстве. В то же время она наглядно иллюстрирует тот факт, что неоднородность каскадного процесса (перемежаемость) возникает и благодаря самим нелинейным взаимодействиям обмена энергии в иерархической структуре.
6.3. Вейвлеты В самых разных областях науки возникают задачи, связанные с анализом пространственных полей со сложной, многомасштабной структурой либо временных сигналов с меняющимся со временем спектральным составом. Эти задачи заставляли исследователей делать попытки построения специальных функциональных разложений, близких по своей идеологии описанному выше иерархическому базису.
Центральной идеей всех этих подходов было использование базиса, каждая функция которого характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и место ее локализации в физическом пространстве (во времени). Слово «вейвлет» (английское слово «чаче1еЬ> означает маленькую волну или рябь) бы1о введено А.Гроссманном и Ж.Морле в 1984 году в работе", выполненной в связи с проблемой анализа сейсмических сигналов, в которых требуется выделить и время (положение) всплеска в сигнале и его спектральный состав (масштаб).
В этой статье были сформулированы основные определения и доказаны основополагающие теоремы. Работа вызвала огромный интерес и уже к началу 90-х годов вейвлет-анализ превратился в развитую область математической физики, нашедшей широкое применение в задачах анализа временных сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, шифровки и дешифровки информации и многих других.
Как уже отмечалось, вейвлеты используются как при анализе временных сигналов, так и при ис- Рис.б.14 "Осоаыпапп А., Моне1 Л. 1Эесотроя11оп ор НаЫу Гппс11опа 1пСо я1пасе 1пееясаые паче!е1а о1сопЯап1 аьаре Л ЯАМ У.маипАпа1уяя 1984. Чо1.15. Х.4. Р.723-736. следовании структуры пространственных полей. Временные ряды представляют собой одномерный сигнал и все основные идеи проще продемонстрировать на задачах анализа временных последовательностей.
По этой причине мы забудем на некоторое время о пространственных полях и переключимся на сигналы вида ~®. Первая попытка построить функциональный базис, состоящий из функций, каждая из которых характеризует пульсации определенной продолжительности в определенный момент времени, принадлежит А.Хаару (1909г.). Первые семь функций Хаара, построенные на единичном отрезке, показаны на рис.6.14. Каждая функция представляет собой пару следующих друг за другом прямоугольных импульсов с разными знаками и одинаковой длительностью. Среднее значение любой функции равно нулю, а совокупность функций образует полный ортонормированный базис. Каждая функция строго локализована в физическом пространстве (во времени), но характеризуется медленно спадающим спектром частот (как 1 ~м ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
