Часть 2 (1161665), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Последний важный вопрос касается связи гипотезы подобия в форме (4.90), использованной в модели ШЛД с гипотезой подобия Кб2 (4.50). Из (4.90) следует, что б5 <67~ > <Ьл~ > а это равносильно утверждению Я~ = (Яз +Оо) ~ ~да. (5.31) Очевидно, что (5.31) совпадает с модифицированной гипотезой подобия Колмогорова (К62) только в случае, когда ~, =1 и д, = О.
Оба условия выполняются в трехмерной турбулентности, но нарушаются в двумерной, где, таким образом, применима только гипотеза подобия в виде (4.90). 5.5. Конвективная турбулентность В заключение этой главы рассмотрим пример турбулентности, развивающейся под действием силового поля, связанного с самим течением. Таким примером является конвективное течение при больших числах Релея (Грассгофа). Мы рассмотрим специфику конвективной турбулентности как в случае трехмерного, так и в случае двумерного движения.
Выпишем уравнения термогравитационной конвекции в приближении Буссинеска, которые мы выводили в разделе 1.3 части 1 этого курса, др ~-(Л')Р = — КР~-М ~-ОТе,, д,Т+(Л~)Т =о 'КХ, йчч =О. (5.32) (5.33) (5.34) Уравнения записаны в безразмерной форме и включают два безразмерных параметра: число Грассгофа 6 = фТ,Т.'lч' и число Прандтля о =~ I т (смысл этих безразмерных параметров обсуждался в п.1.3).
Малые числа Грассгофа соответствуют ситуации, когда влияние температуры на поле скорости мало и температура ведет себя как пассивная примесь, не влияя на свойства поля скорости. Остановимся подробнее на возможном поведении пассивной примеси в турбулентном потоке с заданнымисвойствами. Вид спектра пульсаций пассивной примеси можно оценить, исходя из следующих соображений.
В пределе малой температуропроводности система (5.32)-(5.34) сохраняет квадрат пульсаций температуры, а величиной, регулирующей процессы переноса энергии пульсаций температуры по спектру, является величина я, — скорость диссипации энергии пульсаций температуры. Эта величина связана с пульсациями температуры Ьт, на масштабе ~ соотношением бб Повторяя колмогоровские рассуждения, предполагаем, что неоднородность температуры вносится в поток на макромасштабе, а температуропроводность (диссипация) становится существенной только на микро- масштабе и в инерционном интервале должен существовать постоянный, не зависящий от масштаба поток энергии пульсаций температуры, равный скорости ее диссипации.
Следовательно, ЬТ, 67;М, а., - ' - ' '=сопй. (5.35) Чтобы получить зависимость пульсаций температуры от масштаба, нужно в (5.35) подставить соответствующую зависимость для пульсаций скорости. Так, если спектр кинетической энергии следует закону Колмогорова «-5/3» (5.14) и й, - е "'~"', то получаем оценку (5.3б) соответствующую спектру энергии пульсаций температуры вида (5.37) Важно отметить, что спектр (5.37) имеет одинаковый вид и для трехмерной турбулентности и для интервала обратного переноса энергии в двумерной турбулентности, причем и в том и в другом случае направление каскада энергии пульсаций температуры прямое, то есть энергия пульсаций переносится в малые масштабы независимо от направления каскада кинетической энергии. В инерционном интервале переноса энстрофии, где спектр кинетической энергии следует закону (5.15), а пульсации скорости оцениваются как й, - я„,"'~, (5.35) приводит к соотношению и спектру (5.38) Проведенные оценки справедливы, вообще говоря, для случая, когда число Прандтля а -1, то есть вязкость и температуропроводность имеют один порядок величины.
Посмотрим теперь, как ведет себя пассивная примесь при экстремальных значениях числа Прандтля. Пусть а «1, что соответствует рас- б7 смотрению жидкости с очень хорошей температуропроводностью (для определенности можно представить себе, что мы рассматриваем турбулентность в ртути или другом жидком металле). В такой среде диффузия тепла эффективней каскадных процессов. Если турбулентность существует и есть каскад кинетической энергии с законом (5.14), то поле скорости непрерывно создает и пульсации температуры, но последние рассасываются на тех же масштабах, что и создаются, не успевая вступить в нелинейный каскадный процесс. Источником пульсаций температуры служит крупномасштабное поле 57'„а оценку для величины пульсаций температуры на масштабе 7 получаем, сравнивая величину конвективного и диссипативного слагаемых в уравнении (5.32) ьт, ьт, 7г Используя колмогоровскую оценку для пульсаций скорости, получаем Ы, - ~"', что соответствует спектру (5.39) е, (/с) - й ' .
(5.40) Другой предельный случай, это большие числа Прандтля о»1 : вязкая жидкость с плохой температуропроводностью (такими свойствами обладают многие масла). В этом случае каскад пульсаций скорости быстро затухает под действием вязких сил, но пульсации температуры уносятся в значительно более мелкие масштабы, чем масштаб вяз кой диссипации. Существует так называемый вязко-конвективный интервал.
Его динамика определяется крупномасштабным полем скорости, так как на этих масштабах пульсации скорости подавлены вязкостью. Тогда Рис.5.22 Интервал масштабов с такими свойствами называют инерционно- диффузионным интервалом. В двумерной турбулентности в инерционном интервале энстрофии при спектре скорости «-3» аналогичные оценки дают еще более быстрое спадание спектральной плотности энергии пульсаций и йТ, - ~'. Получаем спектр, на который впервые указал Бэтчелор, (5.41) Сводная картина возможных спектральных законов для пульсаций пассивной примеси приведена на рис.5.22. Обратимся теперь собственно к конвективной турбулентности, то есть турбулентности, в которой основной движущей силой является неоднородность температуры.
Число Грассхофа О»1, а число Прандтля для простоты будем считать порядка единицы. Пусть движение вызывается неоднородным нагревом на максимальном масштабе ~, и возникающее движение столь интенсивно, что движение является турбулентным. В этом случае возможно представить себе два сценария развития турбулентности. Первый (колмогоровский) состоит в том, что турбулентность развивается по обычному изотермическому сценарию и динамика меньших масштабов определяется спектральным потоком энергии, который оказывается на этих масштабах существеннее, чем работа сил Архимеда. На возможность другого сценария впервые указали независимо друг от друга А.Обухов и Р.Болджиано. Этот сценарий (будем называть его обуховским) предполагает существенную роль сил Архимеда в широком интервале масштабов. Так как режим движения заведомо нелинейный, то это возможно в случае, если на каждом масштабе имеет место баланс между нелинейным и архимедовым слагаемыми в уравнении (5.32).
Это условие выражается (в размерном виде) соотношением (5.42) Наряду с этим условием остается справедливым условие (5.35), требующее постоянства потока энергии пульсаций температуры по спектру. Оно дает второе соотношение й~'йц Решая систему (5.42)-(5.43), получаем (5.44) (5.45) б9 Оце нки (5.44)-(5.45) соответствуют спектральным з аконам А (/с) - 1 ' "', Е,,® - А. "'. (5.46) (5.47) Важно отметить, что полученные спектральные законы не зависят от размерности пространства, то есть они могут возникнуть как в трех-, так и в двумерном течении.
Под двумерным конвективным движением мы подразумеваем при этом течение в вертикальной плоскости, то есть плоскости, в которой лежит вектор ускорения свободного падения. Такие двумерные конвективные течения могут быть реализованы в вертикальной щели с неравномерным нагревом. Конвективный (обуховский) интервал вида (5.46)-(5.47) не может расти неограниченно даже в пределе бесконечно больших значений числа Грассгофа. Дело в том, что работа, совершаемая силами Архимеда за единицу времени на единицу массы П - (др)Ь 5т - ~.."-'(др)"-'~433 (5.48) падает с уменьшением масштаба. Это означает, что должен существовать масштаб, на котором обычный колмогоровский механизм станет эффективней конвективного и на смену обуховскому режиму должен прийти колмогоровский.
Этот масштаб принято называть масштабом Болджиано и он легко получается, если приравнять (5.48) скорости диссипации энергии ( р ) 333 3!4 -314 (5.49) Рис.5.24 Рис.5.23 Ожидаемая картина спектральных распределений энергии для трехмерной турбулентной конвекции показана на рис.5.23. В двумерном случае ситуация на масштабах ~ > е„полностью аналогична ситуации в трехмерном течении.
Отличия возникают на малых масштабах, так как прямой каскад энергии в двумерном потоке невозможен. 70 (5.50) Считая, что пульсации температуры следуют закону Бэтчелора (5.41), по- лучаем из (5.50) спектральный закон для пульсаций скорости Е(/с) - /с '. (5.51) В заключение отметим, что вопрос о спектральных законах в конвективной турбулентности далек от своего окончательного решения. Экспериментальные измерения касаются, в основном, только полей температуры и дают разноречивые результаты.
На сегодня нет даже единого мнения относительно того, может ли реализоваться инерционный интервал Обухова. К этому вопросу мы вернемся в последней главе курса. Конвективный интервал обеспечивает прямой поток энергии по спектру, а на масштабе Болджиано каскад блокируется. Справа от этого масштаба должен установиться интервал переноса энстрофии, а слева начнется формирование интервала обратного каскада энергии. Общая картина спектров в двумерной конвективной турбулентности показана на рис.5.24. Отметим еще один интервал, который может появиться при турбулентной конвекции в жидкости с большим числом Прандтля. Сильная вязкость подавляет движение на масштабах, на которых еще существуют пульсации температуры.
Без учета сил гшавучести это приводит к спектру Бэтчелора (5.41). При больших числах Грассгофа возможна ситуация, когда нелинейные члены в уравнении для скорости становятся малы, а динамика пульсаций определяется балансом сил Архимеда и сил вязкости. Это означает, что 71 6. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И ВЕЙВЛЕТЫ В этой главе мы рассмотрим модели, основанные на идее применения функционального базиса специального типа, наиболее точно соответствующего структуре турбулентных полей. Идея такого базиса впервые была предложена В.Зиминым в конце семидесятых годов и состояла в использовании семейства самоподобных функций прогрессивно убывающего масштаба".