Теория, государственный экзамен (1161595), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Т.к. div H~ = 0, то H~ = rot A~ , где A~ наз. векторным потенциалом, т.к. rot E~ = rot(− 1c ∂∂tA~ ) ⇒ rot(E~ + 1c ∂∂tA~ ) = 0 ⇒ E~ + 1c ∂∂tA~ ≡ −∇ϕ.ϕ - скалярный потенциал.Запишем систему уравнений для потенциалов:~ = rot rot A~ = grad div A~ − ∆A~ = 1 ∂ E~ +rot Hc ∂t~1 ∂1 ∂A4π= c ∂t −∇ϕ − c ∂t + c ~ rot E~ = rot −∇ϕ − 1 ∂ A~ = − 1 ∂ rot A.~c ∂tc ∂t4π~c=Из 1го уравнения:~ + 1 ∂ϕ∇ div Ac ∂t2~~ − 1 ∂ A + 4π ~= ∆Hc2 ∂t2c, откудаВ калибровке Лоренца div A~ + 1c ∂ϕ∂t1 ∂2A4π~∆A − 2 2 = − ~c ∂tcИз 2го уравнения~+∇E21∂~ = −∆ϕ ⇒ ∆ϕ − 1 ∂ ϕ = −4πρdiv Ac ∂tc2 ∂t2Эти ур-я называют уравнениями для потенциалов.66ws :)oalexandrКалибровочная инвариантность(~ = rot A~H~−∇ϕ = −E~1 ∂Ac ∂t~ опеределён с точностью до ∇χ: A~0 = A~ + ∇χ ⇒ H~ = rot A~ 0 = rot A~ .

ТогдаAϕ~ 0 1 ∂χ~01 ∂A1 ∂χ~~ − 1 ∂A∇ϕ = −E −+ ∇⇒∇ ϕ−= −Ec ∂tc ∂tc ∂tc ∂tϕ0 = ϕ −1 ∂χc ∂tТаким образом преобразования вида~0 = A~ + ∇χAϕ0 = ϕ − 1c ∂χ∂tничего не меняют - поле остается таким же(~ = rot A~ = rot A~0H~ 0 = −∇ϕ − 1 ∂ A~ = −∇ϕ0 −Ec ∂t~01 ∂Ac ∂tЭто свойство называется калибровочной инвариантностью.67ws :)oalexandrЭлектромагнетизм-4. Энергия электромагнитного поля.Вектор Умова-Пойтинга.~ = 1 ∂ E~ + 4π ~jrot Hc ∂tc~ = − 1 ∂ H~rot Ec ∂t~divH=0~ = 4πρdiv EТ.к.~ H]~ =H~ rot E~ −E~ rot H~div[E,Подставляя первые 2 ур-я Максвелла в это выражение, получим!~1∂E4π~~ H]~ =H~−E+ ~ =div[E,c ∂tc1 ∂H 2 ∂E 24π ~ =−+E~ ⇒−c∂t∂tc hic1 ∂~~~⇒ E~ +div E H = −(H 2 + E 2 )4π8π ∂thiE 2 +H 2c~~Вводя w = 8π - плотность энергии ЭМ поля, ~σ = 4π E H - вектор~1 ∂H−c ∂t!Умова-Пойнтинга, получимЗакон сохранения энергии ЭМ поля−∂w ~ = E~ + div ~σ∂t~  ) и на излучение ~σ .

ВекЭнергия поля уходит на совершение работы (E~тор Умова-Пойтинга ~σ суть энергия, проходящая в ед. времени через ед.площадиПусть система из N зарядов заключена в объеме V , тогда ~ =68ws :)oalexandrPNvi δ(~ri=1 ei~~ =(~ E)− ~ri (t)),NX~ r − ~ri (t)) =ei (~vi E)δ(~i=1NXi=1=~ + 1 [~vi , H])δ(~~ei (~vi , Er − ~ri (t)) =cNX~ + ei [vecvi H],~ ~vi )δ(~r − ~ri (t)) ⇒(ei Eci=1ZNX~⇒ (E~ )dV =(F~i~vi )δ(~r − ~ri ) =Vi=1=NXdEкин(~vi , F~i (~ri )) =dti=1- энергия кинетическая заряженной частицы. Интегрируя з.с.э. пообъёму, получимEкин∂∂tZV IZZZd~=0wdV + div ~σ dV + (~e~ ) dV = 0 ⇒Eкин +wdV + ~σ dSdtVVVS69ws :)oalexandrЭлектормагнетизм-5. Излучение электромагнитныхволнв электрическом дипольном приближении.

Радиационноетрение.Излучение в дипольном приближении~ = 1 ∂ E~ +rot Hc ∂t~ = − 1 ∂ H~rot Ec ∂t~divH=0~ = 4πρdiv E4π~cУравнения для потенциалов~ = − 4π ~Acϕ = −4πρгде = ∆ − c1 ∂t∂ . Решение в виде запаздывающих потенциалов:222Zϕ(~r) =dVr0 ρ(~V~ r) = 1A(~cZdVV00r |, t − |~r −~)c0~r − ~r (~r0~00r |, t − |~r −~)c0~r − ~rПриближения a λ r (a - характерный размер области с зарядами) случай излучения в волновой зоне.Разложим в решении подынтенгральное выражение в ряд, ограничиваясь дипольным приближением:11≈0|~r − ~r |r|~r − ~r 0 | ≈ r +∂r~r − ~r 0(−xα ) = r −= r − ~n~r,∂xαr70где ~n = ~r/r.ws :)oalexandrТогда:ρ(~r 0 , t −~n~r 0|~r − ~r 0 |r) ≈ ρ(~r 0 , t − +)≈cc| {z c}|{z}τлок .

зап .∂ρ ~n~r 0∂2ρ≈ ρ(~r , τ ) ++ 1/2 2∂τ c∂τ0~n~r 0c2т.к. локальное запаздывание много меньше периода колебаний зарядов Твнутри зоны зарядов. Тогда для ϕ(~r ) имеем1ϕ(~r ) ≈rZVZ~n ∂ρ(~r , τ )dV +cr ∂τ00V~r 0 ρ(~r 0 , τ )dV 0 +Z1 ∂2+ρ(~r 0 , τ )nα nβ x0α x0β dV 0222rc ∂τ VОбозначимZQ(τ ) =~˙ ) =d(τZVZVQαβ =dV 0 ρ(~r 0 , τ ),~r 0 ρ(~r 0 , τ )dV 0 ,3x0α x0β ρ(~r 0 , τ )dV 0VТогда:˙Q(τ )( ~d(τ ), ~n)Q̈αβ nα nβϕ0 =, ϕ1 =, ϕ2 =,rcr6crϕ ≈ ϕ0 + ϕ1 + ϕ2Аналогично для векторного потенциала~ r , τ) ≈ 1A(~cr~˙ )d(τ~1~ (~r , τ )dV ==AcrvZ00Итак, излучение в эл. дипольном приближении:˙( ~d~n)ϕ1 =;cr71~d˙~A=crws :)oalexandrПолучим выражение для напряжённости магнитного поля:# ~d˙1 ~ ~~1 ~˙∂~~~~~~= ∇ ,d +∇τ =H = rot A = ∇,∇, d = ∇ d =crcrcr∂τ |{z}"−~n/c1111~n ~¨~n ∂ ~˙˙~=− 2 ∇r, d + 2 −,d ≈− ,d =crcc ∂τcrcТо есть,¨[ ~d~n]c2 rh i¨~ = 1 ~d~nHc2 rПолучим теперь выражение для напряжённости электрического поля˙~d~n  1 ∂~~ = −∇ϕ − 1 ∂ A = −∇ E−c ∂tcrc ∂t=То есть,! ~d˙~n ∂= ∇=−=crc ∂τ¨~d˙~n ( ~d~n )1 h h ¨ii− 2 = 2 ~n ~n ~dc crcrcrh h ii h i~n~ = 1 ~n ~n ~d¨ = H~Ec2 rИнтенсивность излучения~ dS~ = ~ndS,dI = (~σ , dS),c h~ ~ idS = r2 dΩ, ~σ =E ,H .4πотсюда уголвое распределение интенсивностиполная интенсивностьdI1 hh ~˙ i i2=d~n ~ndΩ4πc3¨2| ~d|2I=3c3Радиационное трениеdEчастdtd~pdt= (F~ ~v ) − I = (F~ ~v ) + (F~р .тр .~v ),= F~ + F~р .тр .72ws :)oalexandr(F~р .тр .~v ) = −I = −Усреднение работы Fр.тр.

по периодуZt2t1dt(F~р .тр .~v ) = −2 e2 ¨2~r3 c3Zt2Idtt1˙ 1 ) = ~r(t˙ 2 ), ~¨r(t1 ) = ~¨r(t2 ). ТогдаВыберем t1 и t2 так, что ~r(tZZZ t2e2 t ¨22e2 ¨ ˙ t2e2 t ˙ ...22IdT =t13c3t122~r dt =3c3(~r~r) −t13c3~r ~r dtt1и для силы радиационного трения получим2e2 ...~Fр .тр . =733c3~r .ws :)oalexandrЭлектромагнетизм-6. Уравнения Максвелла в среде.Материальные уравнения. Комплексная диэлектрическая проницаемость и показатель преломления и ихэлектромагнитные свойства.Уравнения Максвелла в средеМикроскопические уравнения для вакуумаrot ~hrot ~ediv ~h div ~eЗакон сохранения заряда:e+ 4π~= 1c ∂~∂tc полн1 ∂~h= − c ∂t= 0= 4πρполн∂ρполн+ div ~ полн = 0∂t~ полн = ~ своб + ~ связρполн = ρсвоб + ρсвяз ,следовательно, для каждой отдельной частицы:Усредним:Обозначим:тогда∂ρсвоб+ div ~ своб = 0∂t∂ρсвяз+ div ~ связ = 0.∂t∂hρi+ divh~ i = 0,∂t∂hρсвяз i+ divh~ связ i = 0.∂thρсвяз i ≡ − div P~ ,∂ P~∂hρсвяз i+ divh~ связ i = 0 ⇒ − div+ divh~ связ i = 0 ⇒∂t∂t!∂ P~⇒ div h~ связ i −∂t74=0ws :)oalexandrможно представить в виде вихря:h~ связ i −Итак:∂ P~~.= c rot M∂thρсвяз i = − div P~ ,∂ P~~.+ c rot Mh~ связ i =∂tВекторы P~ и M~ связаны с наличием вещества, но сами определены неоднозначно.

Положим вне вещества P~ = 0, M~ = 0.∂ P~- плотность тока поляризованности∂t~ - плотность тока намагниченности= c rot M~ p =~ MУсредним уравнения Максвелла:roth~hiroth~e idivh~hidivh~e i=1 ∂h~e i+ 4πc ∂tc1 ∂h~hi− c ∂thjсвоб i +~∂P∂t~+ c rot M== 0= 4π(hρсвоб i − div P~ )Обозначим: ρ ≡ ρсвоб , ~ = ~ своб ⇒ E~ ≡ h~ei , B~тогда уравнения Максвелла запишутся в виде~ − 4π M~)rot(B~rot E~div B~ + 4π P~ )div(E~= 1c ∂∂tE +~= − 1c ∂∂tB= 0= 4πρ4π~c≡ h~hi+(NB. именно так!),~4π ∂ Pc ∂t~~,D~ ≡E~ +4π P~ . Окончательно, уравненияВведём обозначения H~ ≡ B−4πMМаксвелла в среде запишутся в виде~rot H~rot E~div B~div D~= 1c ∂∂tE +~= − 1c ∂∂tB= 0= 4πρ754π~c+~4π ∂ Pc ∂tws :)oalexandrМатериальные уравнения~ = D(~ E,~ H,~ внешн .усл .)D~ = B(~ E,~ H,~ внешн .усл .)BПри неизменных внешнии условия:~ = D(~ E,~ H)~D~ = B(~ E,~ H)~BРазлагая в ряд получим:Dα ≈ dα + εαβ Eβ + .

. . , B α ≈ bα + µαβ Hβ + . . . .В наиболее распространенных случаях: D~ = εE~ , B~ = µH~ . Условия применимости:1. Неподвижные вещества2. Постоянство внешних параметров3. Малость внешних полей по сравнению с полем внутри атомных систем4. Однородность и изотропность веществаКомплексная диэлектрическая проницаемостьПустьТогда:~~ = 1 ∂ D + 4π ~rot Hc ∂tc~ = E~ 0 (~r)e−iωtE~ = H~ 0 (~r)e−iωtH~ = εE,~~D~ = σ E.~ = 1 ε(−iω)E~ + 4π σ E~ =1∂rot Hccc ∂t76(~~ + i 4πσ EεEω)~ˆ1 ∂D=c ∂tws :)oalexandrТаким образом, комплексную часть ε можно формально включить в ток.смещения, ε̃(ω) = ε + i 4πσωПусть в одноатомном нейтральном газе распространяется плоская монохроматическая волна˜ 0 e−i(ωt−~k~r)~ = ~EE~ = H~ 0 e−i(ωt−~k~r)HПроисходит поляризация атомов среды и в ней возникает переменный электрический дипольный момент, то есть возникает вектор поляризации~ = ε(ω)E~ =E~ + 4π P~ = E~ + 4πN d~D~ = E~ + 4πN d~ ⇒εE~ = 4πN d~⇒ (ε − 1)EОпределим d на основании осцилляторной модели атома1 ~˙ ~˜¨˙˜2 ~~~~~~~ −R~ 0) ⇒m R + mγ R + mω0 (R − R 0 ) = F = e E 0 + [ R, H 0 ] ⇒ (~r ≡ Rc~ 0 + 1 [~r˙ H~ 0 ])e−i(ωt−~k~r) ,⇒ m~¨r + mγ~r˙ + mω02~r = e(Ecгде E~ 0 = E~˜ 0e−ikR~ , H~ 0 = H~˜ 0e−ikR~ .00¨ + mγ~r˙ + mω0~r = eE~ 0 e−iωt · e ⇒⇒ m~rm−iωt¨ + γ~d˙ + ω 2 d~ = e2 E~~de0m 0Рассмотрим частное решение в установившемся режиме: d~ = d~0e−iωt~0e ~e2 E~d~0 −ω 2 − iωγ + ω0 = E⇒d=e−iωt0mm [ω02 − ω 2 − iγω]P~ = N d~ =Пусть~0N e2 Ee−iωtm (ω02 − ω 2 − iγω)222~~ 0 e−iωt ≈ E~ ⇒ P~ = Nhe (ω0 + ω + iγω)i EE22222m (ω0 − ω ) + γ ω77ws :)oalexandrВспоминая, что P~ = 4π1 (ε − 1)E~ ⇒⇒ε=1+Обозначим ωp2 = 4πNm e24πN e2 (ω02 − ω 2 + iγω)m(ω02 − ω 2 ) + γ 2 ω 2⇒⇒ε(ω) = ε0 + iε00ωp2 (ω02 − ω 2 )ε (ω) = 1 +[(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 ]ωp2 γωε00 (ω) = 1 +[(ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 ]078ws :)oalexandrЭлектродинамика-7.

Диэлектрики, магнетики, проводники,сверхпроводники и их электромагнитные свойстваПри помещении диэлектрика во внешнее электростатическоеполе происходит поляризация- внутри объема диэлектрика и на его поверхности может возникнуть ненулевая плотность связанных зарядов. Поэтому при взаимодействии связанных зарядов между собой и со внешнимэлектростатическим полем возникает объемная электрическая сила, которая стремиться деформировать диэлектрик и сместить его в пространстве.Данная объемная сила вычисляется по формуле:Диэлектрики2~ − E ∇ε + ∇(E 2 ∂ε τ ),F~ = ρE8π∂τгде τ -массовая плотность вещества τ = mV , ρE~ - сила, действующая со стороны поля на свободные заряды, − E8π ∇ε - сила, действующая в результатенеоднородности диэлектрика, ∇(E 2 ∂τ∂ε τ ) - неоднородность внешнего поля истрикция вещества ∂τ∂ε .Силу F~ можно выразить через тензор натяжений Максвелла:2Tαβ =тогда∂εεEα E β E 2 β−δα (ε −τ ),4π8π∂τFα =∂ βT∂xβ αПолная сила получается интегрированием по объёму диэлектрикаZFα =ZdV Fα =Vт.е.ITαβ nβ dSFα =ОкончательноVdS=SIdSSIS~ =F∂T βdV αβ =∂xIdSβ TαβI=nβ dSTαβSεEα Eβ nβ E 2∂εα−nβ δβ (ε −τ)4π8π∂τ~ (E~ ~n ) E 2~nεE−4π8π79∂εε−τ∂τ!.ws :)oalexandrВ электростатике на границе EτI = EτII = 0, т.к.

тока нети E = En. Обычно стрикционный член после интегрирования вклада недает:ββ22 2ПроводникиTαβ =СилаZFα =εEα EE β∂ε−δα ε −τ4π8π∂τεE 2Fα dV =dSnβ4πSI=εE4πδαβnα n −2βnα nβ −δα2.εE 2 1nα ⇒=dS4π 2SIεE 2~⇒F =dS~n8πSIНа поверхности проводникаεE = DnI = 4πσпов , DnI − [DnII = 0тогдавакуум ]= 4πσповEσповσпов ~E4πσпов=~n =Ef~ = ~n8π22Магнетики Аналогично диэлектрикам объемная сила, действующаяна магнетик, вычисляется по формулеH22 ∂µ~F = − ∇µ + ∇ Hτ8π∂τТензор натяжений в этом случае:Tαβ∂µµHα H β H 2 β=−δ µ−τ4π8π α∂τПолная сила:ZFα =IdV Fα =Vnβ Tαβ dSSПусть сверхпроводник помещен в H~ -поле.Тогда внутри него поля B~ нет(сверхпроводник его вытесняет), т.

е. магнитные линиине проникают внутрь сверхпроводник, а огибают его по касательной. Поэтому также как было сделано для обычного проводника в E~ -поле, в данном случае имеем: При малой стрикции ∂µτ ≈0∂τСверхпроводникиTαβHα H βH2 β=µ− µ δα4π8π80ws :)oalexandrОгибание полем проводника (~n H~ ) = 0Fα =IZFα dV =VnβSµHα HβH2− µ δαβ4π8π=~ n)=0(H~z }| { µH (H n )H2 αβ β=dS − µ nα 4π8π SIповерхностная силаµH 2nα8πIFα =dSfαfα = −и полная силат.е.где~nS~ =FIdsf~S2µHf~ = −~n,8π- нормаль из сверхпроводника.81ws :)oalexandrЭлекродинамика-8. Квазистационарное приближение.Скин-эффект.~ D,~ H,~ B~ вообще говоря, зависят от времени, т.е.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)