Теория, государственный экзамен (1161595), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Уравнения Эренфеста∂pθОтличия:= θ∆∆C∂vp ,( )h ∂θ p∂v∆ ∂p ∆Cp + θ ∆dpdθθ56 i2∂v∂θ p= 0.ws :)oalexandrТермодинамика-15. Явления переноса в газах.Явления переноса: диффузия, тпелопроводность, вязкость.. ξ - коэффициент тепТеплопроводность. Перенос теплоты. JQ = −ξ dTdxлопроводности, ξ = 31 nλhvi NC , n - концентрация, Cv = 2i R - молярнаятепло мкость, i - число степеней свободы. Теплопроводность не зависит отдавления и увеличивается пропорционально корню квадратному из температуры.Диффузия. Движение вещества компонент, составляющих фазу, связанное с отклонением плотности системы. JN - плотность диффузионногопотока (кол-во вещ-ва, проходящего ед. площади перпендикулярно направdq- з-н Фика.
Коэффициент диффузиилению в ед. времени). Jq = −D dxD = 31 λhvi, λ -длина св. пробега, hvi - ср. скорость.√Замечания: D ∼ 1/p, p- давление, D ∼ T .Вязкость. Возникновение сил трения в газах и жидкостях обусловленопроцессом переноса импульса упорядоченного движения молекул. Быстреедвижущийся слой замедляется, а медленнее движущийся ускоряется. JL =, u - скорость движениясистемы как целого, η = 31 λhviρ.
Замечания:−η dudx√η не зависит от p и ∼ T .vA57ws :)oalexandrТермодинамика-16. Кинетическое уравнение Больцмана. Понятие об Н-теореме Больцмана.Задача:найти ур-ие для интеграла столкновения частиц.Предположения:1)Рассматриваемтолько парные вз-ия, где радиус действия R0 a =pV /N , время столкновения τст ∼ R0 /v τсв .пр .
. Рассматриваем прострнно однозначные системы U (r) = 0.2)Решение будем искать виде статистич. функции F1,2, т.е. ф-ций определяющих число частиц в объёме d~p d~r . Исходить будем из первого уравненияцепочки Боголюбова (можно получить тоже из з-нов сохр. энергии и импульса).3p~ ∂F1 ∂U ∂F1∂F (t, ~r, p~)+−= Φ(r, p|F2 );(1)∂tm ∂r∂~r ∂~pот t через зависимость F2 от t. Пусть R03/v 1,зависитпринцип ослабления:ΦF2 (t, x3 , x2 )||r1 −r2 |→−∞ → F1 (t, x1 )F1 (t, x2 ); xi = (ri , pi ),используем(2)запишем уравнени Лиувилля для системы 2-х частиц:∂F1 (t, x1 ) p1 ∂F1 ∂U ∂F11+−=∂tm ∂r1∂~r ∂p1vZ∂Φ(|r1 − r2 |) ∂F2 (t, x1 , x2 )dr2 dp2∂r1∂p1∂F2 (t, x1 , x2 ) p1 ∂F2 p2 ∂F2 ∂(Φ(|r1 − r2 | + U (r1 )) ∂F2++−−∂tm ∂r1m ∂r2∂r1∂p1∂Φ((|r1 − r2 |) + U (r2 ) ∂F2−=0∂r2∂p2(3)(4)далее используя условие эволюции, полагая U = 0, R = |r1 − r2|, упрощая(4) и подставляя выражение для F2 в (3), получим интеграл столкновения(кинетическое уравнение) Больцмана∂F1 (t, r, p)1=∂tvZ(F1 (t, r, p01 )F1 (t, r, p0 ) − F1 (t, r, p1 )F1 (t, r, p))udvdp1Н-теорема Больцмана.(5)Введём:1F = (2π~)3 fv58ws :)oalexandrи введёмZH(t) =F (t, r, p) ln F (t, r, p)dpdr.(2π~)3Исследуем знаки производной ∂F∂t , ∂H.
После преобразований придем к∂tнеравенству: dH60.Ур-иеБольцманаописывает необратимую во вреdtмени эволюцию системы.59ws :)oalexandrТермодинамика-17. Плазменное состояние вещества.Уравнение Власова.- квазинейтральный ионизированный газ, сосотоящий из большогоколичества положит. и отриц. заряженных частиц, а в ряде случаев изнейтральных атомов и молекул.Параметры плазмы: концентрация плотность частиц разного сорта(Nα), степень ионизации r = Ne/Nn, заряд и масса частиц, температураплазмы.Условие квазинейтральности: газ (плазма) в среднем за достаточнобольшие промежутки времени и на дост.
больших расстояниях долженбыть в целом нейтральным.Временной масштаб разделения зарядов: τ = 1/ωLe , где ωLe — плазменная частота. При t τ частицы совершают много колебаний околоположения равновесия.qПлазмаПространственный масштаб разделения зарядов:d ≈ rDe =ε0 Tee2 Ne- электрический Дебаевский радиус. Условие квазинейтральности: характерные размеры L rDe.Для вывода уравнения Власова используем статистическое описаниесистемы частиц: вводится ф-ция распределения, характеризующая вероятность нахождения частицы в определенном состоянии в момент времениt в заданной точке пр-ва ~r. Если состояние частицы сорта α характеризуется импульсом pα и её энергия однозначно определяется этим импульсомεα (p), то ф-ция распределения fα = fα (~p , ~r , t).
Величина fα (~p , ~r , t)d~p d~rпредставляет число частиц сорта α в моментR времени t в фазовом интервале dpdr, а плотность частиц в точке r, t: dpfα(~r , p~ , t) — условие нормировки.Зная функцию распределения можно найти ср. значения, например:Rh~v α i =Rfα (~p , ~r , t)~v d~p;Nα (~r , t)hεα i =fα (~p , ~r , t)ε(p)d~p.Nα (~r , t)Если в объёме не происходит рождения и гибели частиц, то ф-цияfα (~p , ~r , t) не меняется во времени иdfα (p, r, t)∂fα ∂fα ∂pα ∂fα ∂rα=++=0dt∂t∂pα ∂t∂rα ∂t– ур-ие непрерывности (Лиувилля).60(1)ws :)oalexandrСогласно ур-ям движения частиц: ∂p∂t = F~α, ∂r∂t = V~ , тогда (1):∂f∂f ~+ ∂pFα + ∂fV~ = 0, Fα - сила, действующая на часицу сорта α,∂t∂rFα = eα {E + [vB]} в случае заряженных частиц.ααααααα∂fα ~∂fα ∂fα+V =0eα {E + [vB]} +∂t∂pα∂rα– ур-ие Власова.~ r , t) и B(~~ r , t) - эл.
и магн. поля в точке нахождения частицы опреE(~деляются из Ур-ий Максвелла:~~ = 1 ∂ E + 1 ~j + 1 ~j0rot Bc2 ∂tε0 c 2ε0 c 2~ =0div B~~ = − ∂Brot E∂tρρ0~div E =+ .ε0 ε0Здесь ~ и ρ - плотность тока и заряда, индуцируемых в среде, ~ 0 и ρ0 -qплотность тока и заряда внешних источников, c - скорость света. c = ε 1µ ,P RP R ~ρ =eα fα (~p, ~r, t)dp, ~ =eα V fα (~p, ~r, t)dp. Введённые таким обраααзом поля Е~ и В~ , явл-ся самосогласованными, поскольку из ур-ия Власоваполучается такое распределение частиц, которое вызывает появление э-мполей, поддержив-их это распр.0 061ws :)oalexandrЭлектромагнетизм-1. Электростатическое поле.
ЗаконКулона. Теорема Гаусса. Мультипольное разложение.Основные понятия- заряд (источник поля E~ , H~ , связанный с материальным носителем),Rρ(~r , t) - объемная плотность заряда, V ρdV = Q• Q•- плотность тока ~ (~r , t) def= ρ(~r , t)~v , где ~v - скорость объемной структуры зарядов.H~• I - ток зарядов через ограничивающую их поверхность, I = S ~ dSЗакон Кулона Для точечных покоящихся зарядов сила их взаимодействия• ~qQ ~F~ = 3 R,Rгде q, Q - величины зарядов.Сила, действующая на q со стороны Q~~ Q = q Q R,F~ = q ER2где R~ - направление от Q к q. Таким образом, R~ в з-не Кулона определяетнаправление от действующего к подверженному действию заряду.Напряженность, создаваемая зарядом Q в точке R~ :Q ~~ Q defE= 3RRДифференциальный закон Кулона Рассмотрим поток электрическогополя, создаваемого зарядом Q через произвольную ограничивающую егоповерхность S . ТогдаII~ S~=EdSSQ ~ ~RdS.R3Без ограничения общности можно считать S сферой, тогда R~ = R~n:ISQ ~ ~RdS =R3IS62Q ~(R~n)dS.R3ws :)oalexandrПерейдём к сферическим координатам:ISQRR2 sin θdθdϕ =R3Таким образомПо теореме ГауссаIZIQdΩ = Q · 4π.S~ S~ = 4πQEd~div EdV=VI~ S,~EdSзамкнутой поверхностью S .Rгде V - объём, ограниченныйR~div EdV = 4πQ = 4π V ρdV , то естьVZ~ − 4πρ)dV = 0.(div EТогдаVЭто выполнено для любого объёма V .
Отсюда получаем закон Кулона вдифференциальной форме~ = 4piρdiv EМультипольное разложение потенциала.для потенциала ϕ(~r )В электростатике уравнение∆ϕ = −4πρЕго решение через запаздывающий потенциалZϕ(~r ) =dV 0Vρ(~r 0 )|~r − ~r 0 |ϕ(~r - потенциал, создаваемый в точке ~r объёмной структурой зарядовρ(~r 0 ), ~r 0 - переменная интегрирования, пробегающая область V расположения распеределённого заряда ρ(~r 0), причём |~r 0|/|~r | 1. Разлагая подынтегральную функцию |~r −~1r 0| в ряд по малому параметру |~r 0|/|~r | с точностью63ws :)oalexandrдо квадратичного члена: 1∂ 1∂21100 0≈+(−x)+1/2xx=ααβ|~r 0 − ~r |r∂xα r∂xα ∂xβ r11 xα−xα00 0 ∂= − xα − 2+ 1/2xα xβ=rrr∂xβr3∂xα 31 x0α xβ0 0 12 ∂rr + xα 3r== + 3 + 1/2xα xβ 6 −rrr∂xβ∂xβ11 ~r 0~r= + 3 + 6 x0α x0β 3rxα xβ − δαβ r3 =rr2r11 ~r 0~r= + 3 + 5 x0α x0β 3xα xβ − r2 δαβrr2rПолучаем:ϕ(~r) ≈гдеRV1Q p~~r+ 3 + 5 Dαβ xα xβ ,rr2rRρ(~r)~rdV - дипольныйVRQ =ρdV , p~ =VdV ρ(~r)(3xα xβ − δαβ r2 ) - квадрупольный64момент.момент,Dαβ=ws :)oalexandrЭлектромагнетизм-2.
Статическое магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа. Электромагнитная индукция.Приближение линейного проводника S L2, тогда(~ = jdS~ dS~ dl = jd~lЗакон (Ампера-)Био-Савара-Лапласа: поле создаваемое электрическимтоком0I [d~l · (~r − ~r )]c (~r − ~r0 )3R~ , где SI = S ~ dS~ r) =dH(~Ток в линейном проводникеотсюда~ r) =H(~V- сечение проводника,IZI~~1I [d~l × R][d~l × R]~~=~dS=dH =c l R3c SR3LLZ IZ1[~ (~r 0 ) × (~r − ~r 0 )]1[~ (~r 0 ) × (~r − ~r 0 )]~~=dSdl=dVc S L|~r − ~r 0 |3c V|~r − ~r 0 |3I- объем проводника. Можно показать, что[j(~r0 ),~r − ~r0j(~r0 )]=rot~r |~(~r − ~r0 )3r − ~r0 |Таким образом, поле, создаваемое круговым током I в точке ~r~ r) = 1H(~cZrot~rVЭлектромагнитная индукция.I~j(~r0 )dV 0|~r − ~r0 |Закон Фарадея~ ~l = − 1 ∂Edc ∂tLZ~ S)~(HdSгде S - Hнезамкнутаяповерхность, наятнутая на контур L.
По формулеR~ ~l = rot Ed~ S~ , откуда, в силу произвольности контура LСтокса L EdS~ =−rot E65~1 ∂H.c ∂tws :)oalexandrЭлектромагнетизм-3. Уравнения Максвелла в вакууме.Скалярный и векторный потенциал. Калибровочная инвариантность.~ = 1 ∂ E~ + 4π ~rot Hc ∂tc~1 ∂H~rot E = − c ∂t~ = 0div H~ = 4πρdiv EВихревое магн. поле создается меняющимися электрическими и всемитоками, вихревое электрическое создается меняющимися магнитными инаправлено так, чтобы скомпенсировать изменение магнитного поля. Магнитных зарядов не существует, а электрическое поле создается электрическими зарядами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
