Теория, государственный экзамен (1161595), страница 4
Текст из файла (страница 4)
∂t∂ {f g} = { ∂f∂t g} + {f ∂g∂t }.6. Если одна из функций f или g совпадает с одним из импульсов иликоординат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной: {f qk } = ∂p∂f , {f pk } = − ∂q∂f7. {qiqk } = 0, {pipk } = 0, {piqk } = δik8.
{f {gh}} + {g{hf }} + {h{f g}} = 0 - это называется тождеством ЯкобиВажное свойство скобок Якоби состоит в том что если f и g интегралыдвижения, то составленные из них скобки Пуассона тоже являются интегралом движения: {f g} = const - так называемая теорема Пуассона.kk21ws :)oalexandrМеханика-11. Уравнения Гамильтона - Якоби.PH(p, q, t) =pi q̇i − L - функция Гамильтона. q̇i = ∂H, ṗi = − ∂H∂pi∂qi-уравнения Гамильтона. Действие можно представить в виде S =RtR P( pi dq i − Hdt) (в механике Лагранжа S = L(q, q̇, t)dt). Можно покаit∂S∂S∂Sзать что ∂t +H(p, q, t) = 0, а ∂q = pi.
Тогда ∂t +H(q1, ..., qs; ∂q∂S , ..., ∂q∂S , t) = 0— уравнение Гамильтона - Якоби. Оно является уравнением в частных производных первого порядка.Полный интеграл — это решение дифференциального уравнения вчастных производных, содержащие столько независимых произвольныхпостоянных, сколько имеется независимых переменных. В уравнении Гамильтона - Якоби независимыми являются t и qi (i = 1, .
. . , s), таким образом полный интеграл должен содержать s + 1 произвольных постоянных.Так как функция входит в уравнение только через свои производные, тоодна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, то есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якобиимеет вид: S = f (t; q1, ..., qs; α1, ..., αs) + A , где α1...s и A - произвольныепостоянные. Выясним теперь связь между полным интегралом уравненияГамильтона-Якоби и решением уравнений движения.
Проведем каноническое преобразование от p, q к новым переменным. Функцию f (t, q, α) выберем в качестве производящей, а α1, . . . , αs - в качестве новых импульсов.Новые координаты - β1, . . . , βs. Используя формулы канонического преобразования: pi = ∂q∂f , βi = ∂α∂f , H 0 = H + ∂f∂t . Но так как функция f удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, то мы видим, что новая функцияГамильона равна 0: H 0 = H + ∂f∂t = H + ∂S= 0, следовательно, канонические∂tуравнения для новых переменных имеют вид: α̇i = 0, β̇i = 0 ⇒ αi = const,∂fβi = const. С другой стороны, s уравнений ∂α= βi дают возможностьвыразить s координат q через t и 2s постоянных α и β . Так можно найтиобщий интеграл уравнений движения.
Итого, метод Гамильтона - Якобисводится к следующим операциям:• По функции H составляется уравнение Гамильтона-Якоби и находится полный интеграл S = f (t; q1, ..., qs; α1, ..., αs) + A• Дифференцируя его по произвольным постоянным α и приравнивая кновым постоянным β , получаем систему s алгебраических уравнений∂Sвида: ∂α= βi , решая которую найдем координаты q как функцииi21is1iiii22ws :)oalexandrвремени и 2s произвольных постоянных.∂S• Зависимость pi (t) можно найти потом из уравнений pi = ∂qЕсли H не зависит от времени явно, то есть система является консервативной, то уравнение Гамильтона-Якобиимеет более простой вид.
ПриRPэтом S = S0(q0) − Et, где S0 =pi dqi - укороченное действие. Тогда,iподставив это в уравнение Гамильтона-Якоби, получаем новое уравнение, t) = E , где E, ..., ∂SГамильтона-Якоби для S0(q0) в виде: H(q1, ..., qs; ∂S∂q∂qэнергия системы.i01230sws :)oalexandrМеханика-12. Деформации и напряжения в твердых телах. Модули Юнга, сдвига. Коэффициент Пуассона.Идеально упругое тело - это твердое тело, напряжения которого в каждой точке в любой момент времени зависят только от деформаций в той жеточке в тот же момент времени (кроме того, напряжения могут зависетьот температуры T ).Деформация - изменение формы и объема тела (объекта).Сдвиг - деформация, связанная с изменением углов между сторонамитела.duСкорость деформации - v = dt , где u - смещение частицы.∂u1 ∂uТензор деформации εik = 2 ( ∂x + ∂x ), где u - вектор смещенийu = r(r0 , t) − r0 , r - радиус-вектор частицы в момент времени t, r0 - радиусвектор той же частицы в первоначальный момент времени, x - координата.Коэффициенты тензора деформации с одинаковыми индексами характеризуют деформации растяжения (сжатия) в направлении соответствующей оси.
Значит, зная тензор деформаций можно найти изменение длинымалого материального отрезка.Коэффициенты тензора деформации с различными индексами характеризуют деформации сдвига. В случаях малой деформации, справедливзакон Гука, т.е. между напряжением и деформациями линейная зависимость, где коэффициенты пропорциональности - Модули Упругости.Тензор напряжений Pik (симметричный тензор) - компоненты вектора являются функциями r и t, определяют поле напряжений в среде.dFiσ = Pik dσ , dF σ - поверхностная сила (определяет силу взаимодействиячастиц среды между друг другом), приложенная к элементарной площадкеdσ поверхности частицы.Закон Гука (обобщенный) - Pik = Ciklm εlm − αik (T − T0 ). Ciklm - модульупругости, тензор упругости 4го ранга, имеет 81 независимую компоненту,однако из-за различных симметрий требуется лишь 21 независимый модульупругости, чтобы охарактеризовать упругие свойства твердых тел.
αik коэффициент термоупругости .Модуль Юнга E характеризует способность твердого тела сопротивляться растяжению (стержень - 1D).Модуль сдвига G - способность материала сопротивляться изменениям формы, при сохранении объема (пластина - от 2D).Модуль объемного сжатия K - изменениям объема, при сохране-24ikkiws :)oalexandrнии формы. (кубик воды - 3D) Коэффициент Пуассона ν - т.к. растяжениевдоль направления внешней силы происходит одновременно с его поперечным сжатием, при этом отношение поперечного сжатия к продольномурастяжению равно коэф. Пуассона.
Для металлов ν = 0.3 . . . 0.5При изотермической деформации и для изотропного тела з-н Гука1Pij = 2G(εij − εkk δij ) + Kεkk δij .39KGE = 3K+G- Модуль Юнга E ,1 3K−2Gν = 2 3K+2G - Коэффициент Пуассона,EG = 2(1+ν)- модуль сдвига (он же модуль Ламэ),EK = 3(1−2ν) - Модуль объемного сжатия (растяжения),λ - тоже модуль Ламэ25ws :)oalexandrМеханика-13. Механика жидкостей и газов.
Течениеидеальной жидкости. Уравнение Эйлера.Идеальная жидкостьнапряжений.- среда (жидкость или газ) с изотропным тензоромИдеальная жидкость - сплошная среда, в которой при любой деформации и скорости деформации касательные напряжения пренебрежимо малы поп сравнению с нормальными напряжениями, а все нормальныенапряжения одинаковы.Тензор напряженийPik = −p ∗ δikСистема Уравнений движения идеальной жидкости:+ ρ div ~v = 0 - уравнение неразрывности• dρdtv~ + ρf~ • ρ d~= −∇pdtуравнение Эйлера, уравнение изменения импульса.• ds= 0 - уравнение адиабатичности (сколько тепла притекает, столькоdtоттекает)• E = Cv T - калорическое, p = ρRT - термическое уравнение состояния.Решения этой системы должно удовлетворять граничным (на стенках Vn =0) и в случае нестационарных движений течений - начальным условиям внекоторый момент t0.Как получаются интегралы движения идеальной жидкости? Добавлением доп.
условий:1. В случае, изэнтропичных стационарных течений идеальной жидкости, если объемные силы потенциальны и стационарны, а также приращение энтальпии dh = dp/ρ. Интеграл Бернулли: v2 + h + ue = C ,где h = E + p/ρ - энтальпия, v - скорость частицы. При стационарномтечении среды траектории частиц совпадают с линиями тока.2. В случае если жидкость идеальна, несжимаема, движется в поле потенциальных сил V = grad ϕ, то уравнения сильно упрощаются, уравнение непрерывности есть ∆ϕ = 0, уравнение Эйлера в интеграл Коши 1/2(grad ϕ)2 + ρp + ue = C , где c - константа, одинакова для всехчастиц жидкости, ue - потенциальная энергия внешнего поля (потенциальные силы также действуют на частицу жидкости)226ws :)oalexandr3. Теорема Томпсона о сохранении циркуляции скорости по замкнутомуконтуру, если силы потенциальны.27ws :)oalexandrМеханика-14.
Течение вязкой жидкости. УравнениеНавье-Стокса. Число Рейнольдса.Вязкая жидкость - среда в которой напряжения зависят от скоростей деформаций, при этом наряду с нормальными напряжениями, вообще говоря, отличаются от нуля и касательные напряжения. В число основныхуравнений механики сплошных сред входит уравнение изменения импульса: ρ dυdt = ∂P∂x + ρfi, Pik = −pδik + τik , второй член определяет силу,зависящую от скорости движения частиц относительно друг друга, естьвязкий тензор напряжений. Для линейной вязкой жидкости (изотропной):∂υ∂υτik = η( ∂x− 23 δik ∂x+ ∂υ)+ζδik ∂υгде η и ζ - первый и второй коэффициен∂x∂xты вязкости, зависят от плотности и температуры среды. Один определяетдеформации чистого сдвига, а второй - равномерного сжатия.
Если коэффициенты вязкости можно считать постоянными для данной жидкости,уравнение изменения импульса для такой жидкости приводит к Навьеd~υ~ + η ∆~υ + ( η + ζ) grad div ~υ + ρf~, если жидСтокса уравнению ρ dt = −∇p3~ + ν∆~υ + f~, где ν - кинемакость несжимаема div ρ = 0, тогда d~dtυ = − ρ1 ∇pтическая вязкость, ν = η/ρ, η - динамическая dSdt = 0 приток тепла = 0.Граничное условие к уравнениям движения вязкой жидкости есть условиеобращения в нуль скорости среды на неподвижной твердой поверхности s0(условие прилипания) V |s = 0Из этих уравнений и граничных условий находят поля давления и скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
