Теория, государственный экзамен (1161595), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти точки образуют ряд связных областей возможныхзначений r, из которых частица не выходит в процессе движения. Длякаждой области имеются минимальное значение r = rмакс и минимальноезначение r = rмин координаты r. Эти значения r удовлетворяют равенствуE = Uэфф (r). В точках с r = rмакс или r = rмин радиальная скорость обращается в нуль. Если rмакс = ∞, движение называется инфинитным , Еслиrмакс < ∞ — финитным .
За время в течении которого r изменяется от rминдо rмакс , радиус-вектор поворачивается наZrмакс∆ϕ =rминr2M dr.2m[E − Uэфф (r)]pУсловие замкнутости траектории имеет вид ∆ϕ = 2πm/n, где m и n —целые числа. Существует лишь два типа центрально-симметричных полейдля которых все финитные траектории замкнуты: U (r) = ar2, a ≥ 0 иU (r) = −α/r, α ≥ 0.Рассмотрим поле U (r) = −α/r.
Замена u = 1/r позволяет взять интеграл в (3):Задача Кеплера. 1 p− 1 + ϕ0 ,ϕ(r) = − arccose rгде e = 1 + 2EM 2/mα2, p = M 2/mα, а ϕ0 — постоянная интегрирования.Положим ϕ0 = 0; траектории, для которых ϕ0 6= 0 можно получить с помощью поворотов. Уравнение траектории теперь можно записать в видеpr=(4)p.1 + e cos ϕЭто запись конических сечений в полярных координатах. При e > 1(E > 0) имеем гиперболу, при e = 1 (E = 0) — параболу, при 0 < е < 1(−mα2/2M 2 < E < 0) — эллипс и при e = 0 (E = −mα2/2M 2) — окружность.Первый закон Кеплера.
Каждая планета движется по эллипсу, водном из фокусов которого находится Солнце7.ws :)oalexandrПри изменении полярного угла на dϕ радиус-вектор заметает площадьr dϕ/2. Следовательно, секториальная скорость есть σ = r2 ϕ̇/2. Из закона сохранения момента количества движения M = mr2ϕ̇ получаем, чтосекториальная скорость постоянна и равна M/2m.2Второй закон Кеплера. Радиус-вектoр планеты за равные времена.Из (3) для декартовых координат частицы получаем выраженияописывает равные площадиx=p cos ϕ,1 + e cos ϕy=p sin ϕ.1 + e cos ϕТаким образом, sin ϕ = y/(p − ex) и cos ϕ = x/(p − ex).
Тождество sin2 ϕ +cos2 ϕ = 1 дает(x − x0 )2 /a2 + y 2 /b2 = 1,где√b = p/ 1 − e2 ,(5)Интегрируя секториальную скорость по промежутку времени, равному периоду T , получаем площадь орбиты Σ. С другой стороны, так каксекториальная скорость равна M/2m, то результат интегрирования естьM T /2m. Таким образом Σ = M T /2m. Площадь эллипса с полуосями a и bравна πab. Используя (5), можно записать Σ = πa3/2p1/2 = πa3/2M/(mα)1/2.Следовательно, T = 2πa3/2(m/α)1/2.a = p/(1 − e2 ),x0 = −pe/(1 − e2 ).Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращений планет от-носятся как кубы больших осей эллитических орбит, по которым онидвижутся вокруг Солнца.8ws :)oalexandrМеханика-5.
Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа системы материальных точек. Интегралы движения.Точки конфигурационного пространства лагранжевой механической системы описываются набором обобщенных координат qi, i = 1, . . . , N . Точкипространства состояний лагранжевой механической системы описываются набором обобщенных координат qi, i = 1, . . . , N и набором обобщенныхскоростей q̇i, i = 1, . . . , N . Функция Лагранжа, или лагранжиан, системы— это некоторая функция L(q1, .
. . , qN , q̇1, . . . , q̇N , t) обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. В обычном случае лагранжиан —это разность кинетической и потенциальной энергий. Например, для обычной системы из n частиц имеемL=nXma ṙ 2aa=12(6)− U (r 1 , . . . r n , t),где U — потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом и свнешними полями.Пусть в моменты времени t1 и t2 (t1 < t2) система находится в конфигурациях, описываемых обобщенными координатами q1i и q2i соответственно.Согласно принципу наименьшего действия в промежутке времени междуt1 и t2 система движется таким образом, что интегралZt2S=L(q 1 , .
. . , q N , q̇ 1 , . . . , q̇ N , t) dt,t1называемый действием , имеет наименьшее возможное значение (строго говоря, является стационарным). Принцип наименьшего действия приводитк уравнениям движенияd ∂L∂L−= 0,dt ∂ q̇ i ∂q ii = 1, . . . , N,которые называются уравнениями Лагранжа .
Для системы с лагранжианом (6) получаемma r̈ a = −∂U (r 1 , . . . r n ; t).∂r a9ws :)oalexandrДля интегрирования уранений Лагранжа полезно знать интегралы движения, определяемые как функции обобщенныхкоординат и обобщенных скоростей не изменяющиеся во время движения.Рассмотрим несколько примеров.Энергия . В силу однородности времени лагранжиан для замкнутой системы не зависит явно от времени. Следовательно, используя уравнениядвижения, можно записатьИнтегралы движения.dL X=dti∂L i ∂L iq̇ + i q̈∂q i∂ q̇!X ∂Lq̇ i .i∂q̇iX d ∂L∂L idiq̇ + i q̈ ==idt ∂ q̇∂ q̇dtiОтсюда следует, что энергия системыE=X ∂Lq̇ i − Li∂q̇iявляется интегралом движения.
Для лагранжиана (6), в случае, когда Uне зависит от времени, получаем интеграл движенияE=nXma ṙ 2aa=12+ U (r 1 , . . . r n ).Импульс . В однородном пространстве механической свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы какцелого в пространстве. Рассмотрим систему из n частиц с лагранжианомL(r 1 , . . .
, r n , ṙ 1 , . . . ṙ n , t) и предположим, что он не меняется при преобразованияхδr a = δ,δ ṙ a = 0.Из условия инвариантности L, используя уравнения Лагранжа, получаемX ∂LX d ∂Ld0 = δ= δ= δ∂r adt ∂ ṙ adtaaX ∂L∂ ṙ aa!.Так как δ произволен, то Ṗ = 0, где P — полный импульс:P =X ∂L.∂ ṙ aa10ws :)oalexandrДля системы с лагранжианом (6)P =Xma ṙ a .aМомент количества движения . В изотропном пространстве свойствазамкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целогов пространстве. При повороте на угол δϕ вокруг оси, задаваемой единичным вектором n, радиус вектор r изменяется на δr, а скорость ṙ, гдеδr a = [δϕ · r a ],δ ṙ a = [δϕ · ṙ a ],δϕ = δϕ n.Из условия инвариантности лагранжиана получаем0=∂L[δϕ · r a ] +[δϕ · ṙ a ]∂r a∂ ṙ a X ∂L∂L= δϕra ·+ ṙ a ·∂r a∂ ṙ aaX∂Ld ∂L= δϕra ·+ ṙ a ·dt ∂ ṙ a∂ ṙ aaX ∂Lad= δϕdt!X∂Lra ·,∂ ṙ aaгде мы использовали инвариантность смешанного произведения векторовотносительно циклических перестановок и уравнения Лагранжа.
В силупроизвольности вектора δϕ имеем Ṁ = 0, где M — полный момент количества движения:M=XДля системы с лагранжианом (6)M=ra ·aX∂L.∂ ṙ ama [r a · ṙ a ] .a11ws :)oalexandrМеханика-6. Динамика абсолютно твердого тела. Тензор инерции. Уравнения Эйлера.Твердое тело - система материальных точек, расстояния между которыминеизменны. Для описание движения твердого тела вводят две системы координат: неподвижную XY Z , и движущуюся, жестко связанную с теломx1 = x, x2 = y , x3 = z .
Положение твердого тела описывается заданиемтрех координат, описывающих положение начала подвижной системы относительно начала неподвижной и тремя углами между осями двух систем.Тогда любое движение твердого тела есть сумма параллельного переноса иповорота вокруг центра инерции. Тогда бесконечно малое смещение представляется в виде d~r̃ = dR~ + [d~ϕ × ~r ].d~˜r= ~v ,dt~dR= V~ ,dtd~ϕ ~~ r],= Ω ⇒ ~v = V~ + [Ω~dtгде V~ - поступательная скорость, Ω - угловая скорость вращения. Кинетическая энергия системы материальных точек:T =X mv 22=Xm2~ r])2 =(V~ + [Ω~Xm2V~ 2 +X~ r] +mV~ [Ω~Xm22~ r] ,[Ω~скорости V~ и Ω~ Pодинаковы для всех точек следовательноV 2 /2 выносим заP~ r)2 ) знак суммы, а m = µ.
Таким образом, T = µV2 + 12 m(Ω2r2 − (Ω~сумма поступательной и вращательной кинетических энергий.2Trot =1X1Xm{Ω2i x2e − Ωi xi Ωk xk } =m{Ωi Ωk δik x2e − Ωi xi Ωk xk } =22X1= Ωi Ωkm(x2e δik − xi xk ),2где использованоPΩi = δik Ωk .Вводим Iik = m(x2e δik − xixk ) ⇒ T = µV2+ 12 Iik Ωi Ωk . PPPmP(y 2 + z 2 ) P− mxy− P mxzmP(x2 + z 2 ) P− myz Iik = − P mxy− mzx− mzym (x2 + y 2 )2- тензор инерции.R Если твердое тело можно рассматривать как сплошное:ρ(x2e δik− xi xk )dV12Iik=ws :)oalexandrНаправления на которых Iik становится диагональным - главные осиинерции, а соответствующие значения тензора - главные моменты инерции(I1, I2, I3). Следовательно Trot = 12 (I1Ω21 + I2Ω22 + I3Ω23).
Поскольку твердоетело обладает 6 степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать 6 независимых уравнений. Их можно представить ввиде, определяющим производные по времени от двух векторов: импульсаи момента. PPВводя P~ = p~ = µV~ и полную силу F~ = f~, получим ddtP~ = F~ .Выберем неподвижную систему координат, такую что в данной моментвремени центр инерции тела покоился относительно нее.XXX~˙ = dM[~rp~] =[~r˙ p~] +[~rp~˙].dtВ силу сделанного выбора значение ~r˙ совпадает со скоростью ~v, поскольку~v и p~ = m~v имеют одинаковые направления [~r˙ p~] = 0. Кроме того p~˙ = f~:~dM~ , где K~ = P [~rf~], [~rf~] - момент силы f .=Kdt~dAУравнения Эйлера: Пусть dt - скорость изменения какого-либо вектора A~ по отношению к неподвижной системе координат.
Если по отношению к вращающейся системе координат A~ - не изменяется, то его изменениепо отношению к неподвижной системе координат обусловлено вращением:~dA~ A]~ . В общем случае dA~ = d A~ +[Ω~ A]~ , где d A~ - скорость изменения по= [Ωdtdtdtdtотношению к подвижной системе координат. Тогда уравнения движения:~dP~ P~ ] = F~ , d M~ + [Ω~M~]=K~ .
Спроецируем уравнения на оси координат+ [Ωdtdt подвижной системы координат x1, x2, x3 и ddtP~ 1 = dPdt и т.д.000001 dV µ( dt1 + Ω2 V3 − Ω3 V2 ) = F12µ( dV+ Ω3 V1 − Ω1 V3 ) = F2dt dV3µ( dt + Ω1 V2 − Ω2 V1 ) = F3Предполагая оси x1, x2, x3 выбранными по главным осям инерции, и M1 =I1 Ω1 и т.д. dΩ I1 dt1 + (I3 − I2 )Ω2 Ω3 = K12I dΩ+ (I1 − I3 )Ω3 Ω1 = K2dt 2 dΩ3I3 dt + (I2 − I1 )Ω1 Ω2 = K3- уравнения Эйлера. При свободном вращении K~ = 0.13ws :)oalexandrМеханика-7. Движение относительно неинерциальныхсистем отсчета.В инерциальной системе отсчета: L0 = m2v − U - функция Лагранжа,vm d~= − ∂U- уравнение движения (везде где стоит индекс 0 величинаdt∂~rотносится к инерциальной системе отсчета).
Найдем L и уравнение движения для неинерциальной системы отсчета. Считаем, что выполним принцип наименьшегоR t действия (то есть система движется таким образом, чтовеличина S = t L(q, q̇, t)dt принимает минимальное значение). Здесь q, q̇ обобщенные координаты и скорости. Также считаем, что в силе уравнение= ∂L.Лагранжа: dtd ∂L∂~r∂~r˙Рассмотрим сначала систему отсчета K 0, которая движется относительно инерциальной системы отсчета K0 поступательно скоростью V (t). Длячастицы в системе отсчета K0 и K 0: ~v0 = ~v0 + V~ (t).
Тогда в системе отсчета K 0 получим: L0 = m~2v + m~v0V~ + m2 V~ 2 −U . V~ 2(t) - функция времени,следовательно, может быть представлена в виде полной производной повремени от некоторой другой функции, следовательно, можно исключить.r, где ~r 0 - радиус-вектор в K 0, следовательно mV~ (t)~v0 = mV~ d~dtr =~v 0 = d~dt~d ~ 0m dt(V ~r ) − m~r 0 ddtV , подставим в функцию Лагранжа и исключим полнуюпроизводную по времени: L0 = m~2v + mW~ (t)~r 0 − U , где W~ = ddtV~ - ускорение поступательного движения K 0. Тогда уравнение Лагранжа приметвид: m d~dtv = − ∂~∂Ur − mW~ (t).Рассмотрим теперь новую систему отсчета K , которая имеет общее с0~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
