Теория, государственный экзамен (1161595), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для другого цикла A = AK − ∆1234, Q(+) =(+)(+)Q(+) − ∆14 , поэтому η = (AK − ∆1234 )/(QK − ∆14 ). Но AK = ηK QK , отсю(+)да η = ηK − ∆14(1 − ηK )/(Q(+)K − ∆14 ) − ∆23 /(QK − ∆14 ) 6 ηK .Неравенство КлаузиусаQ(+) /T1 + Q(−) /T2 6 036ws :)oalexandrТермодинамика-4.
Энтропия термодинамической системы.Термодинамические потенциалы.Для необратимых круговых процессов выполняется неравенство Клазиуса,а для обратимых круговых процессов выполняется равенство Клазиуса.Приведённое кол-во теплоты, полученное системой при любом квазистатическом круговом процессе, равно нулю .Энтропия Энтропия системы есть функция её состояния, определённаяс точностью до произвольной постоянной. Разность энтропии в двух равновесных состояниях 2 и 1, по определению, равна приведённому кол-вутеплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути. Энтропия адиабатически изолированной системы не может убывать; она либо возрастает, либоостаётся постоянной - Закон возрастания энтропии.Пусть замкнутая система, т.
е. система, изолированная от других, переходит в некотором процессе из состояния 1 в 2. Возвратим систему спомощью обратимого процесса в состояние 1. При этом, конечно, необходимо ликвидировать изолированность системы. В результате возвращения системы в состояние 1 образовалсяцикл,к которомуможно примеHR (2)R (1)нить неравенство Клаузиуса: δQ/T = (1) δQ/T + (2) δQ/T . При переходе 1 → 2 по пути L1 система была изолированной и, следовательно, δQ в интеграле по L1 равно нулю и равен нулю интеграл.
С другойстороны, в обратимом переходе по пути из состояния 2 в 1 в подынтегральномвыраженииможно считать, что δQ/T = dS . Поэтому получаемR (1)R (1)δQ/T = (2) dS = S2 − S1 6 0, или иначе S2 6 S1 .(2)Энтропия - аддитивная функция состояния. При расширении в пустоту энтропия увеличивается. Энтропия максимальна в состоянии равновесия. Энтропия S определяется логарифмом числа микросостояний, посредством которых реализуются рассматриваемое макросостояние S = k ln Γ —ф-ла Больцмана.ТД потенциалы:• Т dS = dU + pdV — ТД тождество.• Энтальпия H = U + pV• Энтропия S = k ln Γ37ws :)oalexandr••••Свободная энергия F = U − T SТД ф-ция Гиббса G = F + pV = H − T SdU = T dS − pdV , dH = dU + pdV + V dpdF = −SdT − pdV , dG = −SdT + V dp.38ws :)oalexandrТермодинамика-5.
Взаимодействие молекул. Идеальный газ. Основные газовые законы.Столкновения делятся на упругие и неупругие. U - потенциальная энергиявзиамодействия частиц. E = Eкин + UИдеальный газ - это такая модель газа, для которой выполняется:1. U = 0;2. столновения между молекулами газа - упругие3. молекулы газа - это материальные точки.ε = mV̄ 2 /2 = 3/2θ ⇒ ∂ε/∂V = 0; ∂ε/∂θ = Cv = 32 - внутрення энергия.Уравнения состояния: (Клапейрона-Менделеева)pV = nkT , n = νNa , pV = νRT , R = Na k , pV /Na = kT = θ, pv = θ.Газовые законы:• θ = const ⇒ pV = const - закон Бойля-Мариотта• p = const ⇒ Vθ = const - закон Гей-Люссака• V = const ⇒ pθ = const - закон Шарля.39ws :)oalexandrТермодинамика-6. Распределение молекул газа по скоростям. Иделаьный газ во внешнем полеРаспределение Максвелла4 m 3/2 − mv2 2e 2kT v dvdP (v) = √π 2kTv̄ =q8kTπm, v¯2 =p3KT /mРаспределение Больцмана2Газ во внешнем потенциальном поле U : E =mv /2 + UdP (x, y, z; px , py , pz ) = Ce−mv 2 +U2kTmv 2Udxdydzdpx dpy dpz = Ce− 2kT − kT d3 xd3 pНа языке числа частиц (р-е Больцмана)U (x,y,z)dn= Ce− kTndxdydz40ws :)oalexandrТермодинамика-7.
Канонические распределения.Система описывается параметрами ε, N , x (x - остальные параметры)1. (Система в адиабатических стенках) Система с дискретным спектромэнергии {En}. Статистический вес (число микросостояний, реализующихданное макросостояние):Γ(ε; x, N ) =X∆(ε − En ),nгде суммирование ведётся по всем микросостояниям,δε; 1, |ξ| < δε] - квазикронекеровская дельта-функция.Микроканоническое р-е Гиббсаωn (ε; x, N ) =∆(ξ) = [0, |ξ| >∆(ε − EN (x, N ))Γ(ε; x, N )Формула Гиббса: S = ln Γ.2.
(Каноническое) распределение Гиббса (система в термостате):En (θ, x, N ) − Fn (x, N )1 −En /θ= expωn (θ; x, N ) = e;zθXz=e−En /θ - статистическая сумма.nСвободная энергия F = −θ ln z . (примечание: возможно, в exp надо поменять местами слагаемые)3. Большое каноническое распределение (N 6= const - система выделенная из термостата воображаемыми стенками)ωN,n (θ; x, µ) = (1/ζ)e−(En −µN )/θ ;ζ=Xe−(En −µN )/θ- большая стат. суммаnТермодинамический потенциал Гиббса Ω(θ, x, µ) = −θ ln ζ(θ, x, µ).41ws :)oalexandrТермодинамика-8.
Идеальный Бозе- и Ферми-газы. Равновесное излучениеNp ≡ N (Ep ) = 0, 1.Ферми-газ.Плотность вероятностиnp = θгдеζp =1XNpоткуда∂ln ζp ,∂µEp − µNpexp −θ=0np =Ep − µ= 1 + exp −θ1e(Ep −µ)/θ+1,.Np не ограничено.∞∞ NXXEp −NEp − µ1, β = µ/θζp =exp −Np ==e− θE− θp +βθp1−eNp =0Np =0Бозе-газ.отсюда1np = ∂β ln ζp =eE −µ− pθ−1Равновесное излучение1exp(βεi ) − 1β = (kT )−1ω2V1dnω = 2 3dωπ c exp(β~ω) − 1hn(εi )i =Спектральная плотность энергии излучения (формула Планка)wω =1~ω dnω~ω 2= 2 3V dωπ c exp[~ω/kT ] − 1Закон Стефана-Больцмана4w = aT ,k 4 pi2a== 7.56 · 10−16315c ~42Дж · м−3· К −4ws :)oalexandrФормула Стефана-БольцманаM = cw/4 = σT 4 ,σ = ca/4 = 5.67032 · 10−8Вт · м−2· К −4- эенргетическая светимость (поток, отнесённый к площади поверхности)Закон смещения ВинаMλмакс T = 0.002943м ·Кws :)oalexandrТермодинамика-9. Теплоемкость твердых тел. МоделиДебая и Эйнштейна.Теплоемкость твердого тела.Теплоемкость при постоянном объеме определяется соотношениемCV ≡ T∂S∂T=V∂E∂TVгде S - энтропия, E - внутренняя энергия, T - абсолютная температура.1.
При комнатных температурах значение теплоемкости почти всехтвердых тел близки к 3N kB .2. При низких температурах теплоемкость заметно уменьшается и вобласти абсолютного нуля температур приближается к нулю по закону N 3для диэлектриков и по закону N для металлов, если металл переходитв сверхпроводящие состояние, то закон уменьшения теплоемкости болеерезкий, чем N .Модель Эйнштейна.Внутренняя энергия есть энергия системы осцилляторов . ТеплоемкостьCV этой системы осцилляторовCV =∂U∂TV ε 2= 3NA kexp[ε/kT ]/{exp[ε/kT ] − 1}2kTТаков, по эйнштейновской модели, вклад, который дают N , осциллятороводинаковой частоты в теплоемкость твердого тела.
Если вместо N взять3N , поскольку каждый из N атомов имеет три степени свободы, и предельный случай выше приведенной формулы, отвечающий высоким температурам, то мы получим для CV = 3R. ε - элементарная порция энергии,ε = kθэ (θэ - темпреатура Эйнштейна)Модель Дебая.ГгдеθD =xD = θ/T .~ωk6π 2 NAVT= 9NA kTθD 133 ZthetaD /Tdξξ3,eξ − 1N- число атомов образца,0- температура Дебая,44ws :)oalexandrТогда теплоемкость Cv этой системыTCV = 9NA kθD3 θZD /Tdξ0ξ 4 eξ(eξ − 1)2При очень низких температурах (T θD ), верхний предел можно положить равным ∞.
При очень высоких температурах (T θD ) верхнийпередел очень близок к нулю, и, следовательно exp ξ ≈ 1 + ξ :U = 3NA kT = 3RT, ⇒ CV = 3R,45ws :)oalexandrТермодинамика-10. Теория флуктуаций. БроуновскоедвижениеПусть F - некоторая динамическая величина, микроскопическое квантовое состояние которой (квантовомеханическое среднее) мы обозначим какслучаеFn = (ψn∗ (x), F (x)ψn (x) (в классическомR F = F (p, q)). Если известноPраспределение ωn, то F̄ = Fnωn или F̄ = F (p, q)ωpq dpdq.Для характеристики отклонения от среднего значения используют дис2222персию√ (∆F ) = (F − F̄ ) = F − (F̄ ) и относительную флуктуацию(∆F )δF =.F̄Основная формула для вероятности флуктуации 1.
в случае изолированной системы w∆ = e∆S 2. в неизолированной системе w∆ ∼}.exp{ ∆p∆V −∆θ∆S−∆µ∆N2Θ√q1=- относиНа примере числа частиц hni можно показать (∆m)m̄m̄тельная роль флукутуаций возрастает с уменьшением области, в которойони рассматриваются.22Относительная величина флуктуации:q(∆F )2F̄q(∆f )2 1√ ;=nf¯- значение f для i-й частицы. Относительная флуктуациявеличина, относящаяся к системе частиц убывает обратно пропорционально квадратному корною из числа частиц и при большом количестве частицстановится бесконечно малой.F =Pfi , где fiБроуновское движение~rn =nX~qi , h~rn i = 0,i=1h~rn2 i=nXi,j=1hqi qj i =nXhqr i2 +i=1= nb2 + hqi ihqj i = nb2 =Xhqi qj i =i6=jt 2b = αt∆rЧему равно α?46ws :)oalexandr˙,m~r¨ = F~ − 6πηa~rгде a - радиус ч-цы, F - равнодействующая сил.mẍ = Fx − 6πηaẋ - умножаем на x : mẍx = Fx x − 6πηaẋx; 21 d(x2 )1 d2 (x2 )dx;xẋ=xẍ =−2 dt2dt2 dtуравнение верно и для средних значений(усреднение по ансамблю)2x i/2т .к .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
