Теория, государственный экзамен (1161595), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ТогдаK начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью Ω(t)00~ r], где ~v - скорость в K , а радиус-векторы ~r и ~r0 частицыв K : ~v = ~v + [Ω~в K и в K 0 совпадают. Тогда для L (в общем виде для неинерциальной~ r] + m [Ω~~ r ]2 − m W~ ~r − Uсистемы отсчета): L = m2v + m~v[Ω~2~ r] + m~v [Ωd~~ r] + m[Ω~~ r][Ωd~~ r ] − mW~ d~r −Рассмотрим dL = m~vd~v + md~v[Ω~∂U~ r] + md~r[~v Ω]~ + m[[Ω~~ r]Ω]d~~ r − mW~ d~r − ∂U d~r. Собравd~r = m~v d~v + md~v [Ω~∂~r∂~r~ r], ∂L = m[~v Ω]~ +члены, содержащие d~v и d~r, получим: ∂L=m~v+m[Ω~∂~v∂~r~ r]Ω]~ − mW~ − ∂U . Подставим это в уравнение Лагранжа: m d~v = − ∂U −m[[Ω~∂~rdt∂~r˙~~~~mW + m[~r~Ω] + 2m[~v Ω] + m[Ω[~rΩ]].~˙ связана с неравномерностью вращения, 2m[~v Ω]~ - сила КоСила m[~r Ω]~ r Ω]]~ - центробежная сила, лежит в плоскости в плоскости ~r,риолиса, m[Ω[~~ и⊥Ω~ , по величине равная mρ Ω2 , где ρ - расстояние от частицы до осиΩ200 2102000200214ws :)oalexandrвращения.Отдельно можно рассмотреть случай равномерного вращения системыкоординат, не имеющей поступательного движения,то есть Ω~ = const и2~ r] + m [Ω~~ r] −U , а также уравнение~ = 0, следовательно L = mv + m~v [Ω~W22~ + m[Ω[~~ r Ω]]~ .движения: m d~dtv = − ∂U+ 2m[~v Ω]∂~r=Для энергии частицы в этом случае получим (подставив p~ = ∂L∂~v22vmmm~ r] в E = p~~v − L): E =~ r] +U , − [Ω~~ r] - центробежнаяm~v + m[Ω~− 2 [Ω~22~ r], следовательно, в K иэнергия.
Скорость частицы в K0 : ~v0 = ~v + [Ω~K0 совпадают импульсы частицы и моменты импульсов. Подставим ~v :m~v~ r] + U = E0 − M~Ω~ - закон преобразования энергии приE = 2 − m~v0 [Ω~переходе к вращающееся системе координат.222015ws :)oalexandrМеханика-8. Вариационный принцип Гамильтона.Наиболее общая формулировка закона движения в механических систем дается принципом наименьшего действия (принципом Гамильтона):Каждая механическая система характеризуется определенной функциейL (q1 , q2 , ..., qs , q̇ 1 , q̇ 2 , ..., q̇ s , t) или L (q, q̇, t), причем движение системы удовлетворяет следующему условию. Пусть в момент времени t = t1 и t = t2система занимает определенные положения, характеризуемые наборамикоординат q(1) и q(2).
Тогда между этими Rположениямисистема движется таким образом, что бы интеграл S = tt L(q, q̇, t)dt имел наименьшеевозможное значение.Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл- действием. Для упрощения дальнейших выводов предположим сначала, что система обладает одной степенью свободы. Пусть q = q(t) - тафункция, для которой S имеет минимальное значение. Это значит, чтовозрастает при замене q(t) на q(t) + δq(t), где δq(t) - функция малаяво всем интервале от t1 до t2 (вариация функции q(t)). Поскольку приt = t1 и t = t2 все сравниваемые функции должны принимать однии те же значения q(1), q(2), то должно быть δq(t1) = δq(t2) = 0.
ПриRtRtэтом δS = L (q + δq, q̇ + δq̇, t) dt− L (q, q̇, t) dt. Необходимым условиемttминимальности S является обращение в ноль первойвариации:δS =RtRt ∂Lδq + ∂Lδ q̇ dt = 0.δ L (q, q̇, t) dt = 0, или производя варьирование∂q∂ q̇ttЗапишем, что δq̇ = dtd δq и проинтегрируем второй челн по частям: δS =t Rt ∂L∂Ld ∂Lδq+−δqdt = 0.∂ q̇∂qdt ∂ q̇ttВ силу δq (t1) = δq (t2) = 0 первый член исчезает, а из второй частиполучаем: dtd ∂∂Lq̇ − ∂∂Lq = 0, i = 1..s - уравнение Лагранжа. Если функция Лагранжа известна для данной механической системы, то уравнениеЛагранжа устанавливает связь между ускорениями и координатами, тоесть это уранения движения.Свойства функции Лагранжа:1. Аддитивность: Если А и В две части механической системы, которая будучи замкнутыми, имели бы функции Лагранжа LA и LB , тоlim L = LA + LB .21221122112121ii16ws :)oalexandr2.
Умножение функции Лагранжа на произвольную постоянную не изменит уравнений Лагранжа. Свойство аддитивности допускает лишьодновременное умножение функции Лагранжа всех систем на одинаковую постоянную.3. L0 (q, q̇, t) = L (q, q̇, t) + dtd f (q, t),S0 =Rt2t1L0 (q, q̇, t) dt =Rt2L (q, q̇, t) dt+t1Rt2 dfdtdt = S +f q (2) , t2 −f q (1) , t1t1то есть S 0 и S отличаются дополнительным членом, исчезающим приварьировании действия, то есть δS 0 = 0 и δS = 0, и вид уравненийостается неизменным.17ws :)oalexandrМеханика-9. Колебания систем с одной и многими степенями свободы.
Свободные и вынужденные колебания.Рассмотрим колебания около положения равновесия q0, где потенциальнаяэнергия U (q) минимальна. Разложим в ряд U (q) − U (q0) ≈ k2 (q − q0)2, где k = U 00(q)|q=q и обозначимx = q − q0 . Функция Лагранжа примет вид: L = m2ẋ − kx2 ; уравнениеq2движения: mẍ + kx = 0 или ẍ + ω x = 0, где ω = mk .Решение имеет вид: x = a cos(ωt + ϕ) - гармоническое колебательноедвижение, где a - амплитуда, ω - циклическая частота, ϕ - начальная фаза,ωt + ϕ - фаза.
Энергия системы: E = m2ẋ + kx2 = m2 (ẋ2 + kω 2 x2 ) илиE = 1/2mω 2 a2 . Можно x представить в виде Re Aeiωt , где A - комплекснаяамплитуда.Вынужденные одномерные колебания. Пусть на систему действует внешнее поле. Ue(x, t) - дополнительная потенциальная энергия. Разложим в ряд: Ue(x, t) ≈ Ue(0, t) + x ∂U∂x |x=0; Ue(0, t) - функция от времени,можно представить как полную производную от некоторой другой функции, следовательно, в функции Лагранжа можно не учитывать. Обозначим F (t) = −∂Ue/∂x - внешняя сила.
Тогда: L = m2ẋ − kx2 + xF (t), ауравнение движения имеет вид: mẍ + kx = F (t) или ẍ + ω2x = m1 F (t).Рассмотрим частный случай, когда F (t) = f cos(γt + β). Решение ищем ввиде: x1 = b cos(γt + β). Можно получить b = m(ω f−γ ) ; x = a cos(ωt + ϕ) +fcos(γt + β). Резонанс — когда ω = γ . Перепишем x в виде x =m(ω −γ )a cos(ωt + ϕ) + m(ω f−γ ) [cos(γt + β) − cos(ωt + β)]; при γ → ω , по правилуfЛапиталя: x = a cos(ωt + ϕ)+ 2mωt sin(ωt + β), то есть при резонансе амплитуда растет линейно со временем, пока колебания не перестанут быть малыми и вся теория перестанет работать. Рассмотрим случай когда γ = ω+ε.Представим x = Aeiωt + Bei(ω+ε)t = (A + Beiεt)eiωt; A + Beiεt - меняется мало в течении периода 2π/ω и движение вблизи резонанса можно считатьмалыми колебаниями с переменной амплитудой C = |A + Beiεt|. Представим A = aeiϕ, B = beiβ , C 2 = a2 + b2 + 2ab cos(εt + β − ϕ), таким образом|a − b| ≤ c ≤ a + b — явление биений.Колебания со многими степенями свободы. Пусть есть s степеней свободы и потенциальная энергия системы U как функцияобобщенных переменных координат qi имеет минимум при qi = qi(0).
ОбозначимСвободные одномерные колебания.22022e2222222218ws :)oalexandrxi = qi − qi и разложимв ряд U с точностью до членов второго порядка,Pполучим: U = 21 Pi,j kij xixj , kij = kji. Кинетическая энергия в общем случае имеетPвид: 12 i,k aik (q)q̇iq̇k ; обозначим aik (q0) = mik , mik = mki. ТогдаEkin = 12 i,k mik ẋi ẋk - положительно определенная квадратичная форма.P1Функция Лагранжа имеет вид:P L = 2 Pi,k (mik ẋi ẋk − kik xi xk ). УравненияЛагранжа будут иметь вид: k mik ẍk + k kik xk = 0 — система из s линей(0)ных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Решение xk (t) ищем в виде xk = Ak eiωt, где Ak - некоторые константы. Подставим это в уравнение Лагранжа и получимсистему однородныхP2алгебраических линейных уравнений для Ak : k (−ω mik + kik )Ak = 0, чтобы имелись решения, нужно, чтобы определитель системы |kik − ω2mik | =0 - это называется характеристическое уравнение, уравнение степени s относительно ω2. Оно имеет s разных вещественных положительных корней ωα2 (корни могут и совпадать), называемых собственными частотамисистемы. Найдя ωα можно получить Ak , которые будут пропорциональны минорам ∆kα для определителя |kik − ω2mik | = 0.
Частное решениеимеет вид: xk = ∆kαCαeiωPt,гдеCα - любая постоянная(комплексная).Pssiω tОбщее решение: xk = Re{ α=1 ∆kαCαe } ≡ α=1 ∆kαΘα, где обозначено Θα = Re{Cαeiω t}. Можно выразить Θ1, Θ2, ..., Θs, через x1, x2, ..., xs,то есть Θα можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Θαназываются нормальными координатами (или главными). Они удовлетворяют уравнению: Θ̈α + ωα2 Θα = 0 и задаютPнормальные колебания которые являются независимыми. Тогда L = α m2 (Θ̇2α − ωα2 Θ2α), где mα положительные постоянныеДля удобства можноP свести ввести нормальные колебания как Qα = √mαΘα, тогда L = 21 α (Q̇2α − ωα2 Q2α).
Рассмотрим нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний материальной точки во внешнем поле. T = m2 (ẋ2 + ẏ2 + ż 2) - кинетическаяэнергия. Начало координат поместим в точкуqминимумаqU (x, y, z).Lq =kkkm(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) − 21 (k1 x2 + k2 y 2 + k3 z 2 ) и ω1 =, ω2 =, ω3 =2mmm- главные частоты.ЗадачуможносвестикзадачеовынужденныхколебаPниях. L = L0 + k Fk (t)xk , где L0 - функция ЛагранжаPсвободных колебаний.Вводя нормальные координатыполучим: L = 12 α (Q̇2α − ωα2 Q2α) +PP∆√α fα (t)Qα , где обозначено fα (t) =k Fk (t) m Qα . Тогда уравнение движения Q̈α + ωα2 Qα = fα(t) будут содержать лишь по одной неизвестнойфункции.αααα123kαα19ws :)oalexandrМеханика-10.
КаноническиеСкобки Пуассона.уравненияГамильтона.Ряд преимуществ представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. Полный дифференциалЛагранжа какP ∂LP ∂Lфункциифункция координат и скоростей ранен PdL = i ∂q dqi + i ∂ q̇ dq̇i . Это выPражение можно написать в виде dL = i ṗidqi + i pidq̇i.∂LПоскольку производные ∂∂Lq̇ являются обобщенными импульсами,=P ∂ q̇pi Pв силу уравненияЛагранжа. Перепишем второй член в видеi pi dq̇i =PPd( i pi dq̇i ) − i q̇i dpi , перенеся полный дифференциал d(P i pi dq̇i ) в левуюP сторонуPравенства и изменив все знаки, получим: d( i pi dq̇i − L) =− i ṗi dqi + i q̇i dpi величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы выраженную через координатыPи импульсы, она называется функцией Гамильтона системыt) = i pi q̇i − L.P H(p, q,PИз дифференциального равенства dH = − i ṗidqi + i q̇idpi следуютуравнения: q̇i = ∂H, ṗi = − ∂Hэто искомые уравнения движения в перемен∂p∂qных qi и pi, так называемые уравнения Гамильтона.Скобки Пуассона.
Пусть f (q, p, t) - некоторая функция координат,импульсови времени. Составим ее полную производную по времени: dfdt =P∂f∂f∂f+( ∂qq̇k + ∂pṗk ). Подставив сюда вместо q̇k и ṗk их выражения из∂tуравненийPГамильтона, получим dfdt = ∂f∂t + {Hf }, где введено обозначение∂H ∂f∂H ∂f{Hf } =( ∂p− ∂q). Это выражение называется скобками Пуас∂q∂pсона для величин H и f . Такие функции от динамических переменных,которые остаются постоянными при движении системы называются интегралами движения. Условие того, что бы величина f была интеграломдвижения ( dfdt = 0) ∂f∂t + {Hf } = 0. Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то {Hf }, то есть его скобки Пуассона с функциейГамильтона должны обращаться в ноль.
Для любойPпары величин f и gскобки Пуассона определяются аналогично: {f g} = ( ∂p∂f ∂q∂g − ∂q∂f ∂p∂g )Свойства:1. {f g} = −{gf }2. {f c} = 03. {f1 + f2, g} = {f1, g} + {f2, g}4. {f1f2, g} = f1{f2, g} + f2{f1, g}iiiikiikkkkkk20kkkws :)oalexandr5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
