Теория, государственный экзамен (1161595), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Применим условия квантования Бора-ЗоммерфельдагдеI12π12πpr dr = nr ~,Ipϕ dϕ = nϕ ~- обобщённые импульсыnr - радиальное квантовое число, nϕ - азимутальное квантовое число.Для упрощения решим сначала задачу о круговых орблитах, а потомобобщим результат.pr = mṙpϕ = mr2 ϕ̇Ipdq = nh ⇒ 2πrmv = nh → v =Из 2го з-на Ньютонаn~mvmv 2 /r = ze2 /r2(∗)(∗∗).Из (*) подставляем значение v в (**) и выражаем r:~2 n 2rn =,me2 Zr0 ≈ 0.5Å- I боровский радиусВ (*) подставляем значение rn И получаемvn =Полная энергия системыe2 Z~ n(∗ ∗ ∗)mv 2 Ze2E = Eкин + Eпот =−2r107ws :)oalexandrИз (**) имеем, что Zerляем значение vn2= mv 2 ⇒ E =En = −mv 22− mv 2 = − mv22.
Из (***) подстав-me2 Z 22~2 n2Обобщение на 2D случайEn = −me2Z22~2 (nr + nϕ )2Обобщение на 3D случайEn = −me2Z2,2~2 (nr + nθ + nΨ )2где nθ - экватроиальное квантовое число, nψ - широтное квантовое число.Hpr = mṙpr dr = 2πnr ~H2pθ = mr θ̇H pθ dθ = 2πnθ ~ pϕ = mr2 sin2 θΨ̇pΨ dΨ = 2πnΨ ~— условия квантования Б.-З. в 3D случае108ws :)oalexandrАтомка-3. Основные постулаты квантовой механики.Чистые и смешанные состояния квантовомеханическойсистемы. Волновая функция, матрица плотности.Постулаты:1. Каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор L̂: L̂ = L̂+ ⇔ Lnm = L∗mn2. Каждому состоянию физической системы сопоставляется нормированная волновая функция Ψ.3.
Физическая величина L может принимать только собственные значения оператора L̂.4. Математическое ожидание hLi значений величины L в состоянии Ψопределяется диагональным матричным элементом hLi = h Ψ | L̂ |Ψi5. Матричные элементы операторов декартовых координат и декартовых компонент обобщенного импульса x̂i; p̂k , вычисленные междуволновыми функциями системы f и g, удовлетворяют уравнениямГамильтона классической механики:∂ Ĥd∂ Ĥd= h f | p̂i | g i = −h f || g i = h f | x̂i | g i = h f || gidt∂ x̂idt∂ p̂i- оператор, соответствующий классической функции Гамильтона6. Операторы p̂i и x̂i удовлетворяют коммутационным соотношениям:Ĥ[p̂i , x̂k ] = i~δik [p̂i , p̂k ] = 0 [x̂i , x̂k ] = 0Замечания1. Если есть физическая величина L(xi, pk ), то для построения оператора L̂ заменяем в ней pk → p̂k , xi → x̂i, члены вида xipk заменяемтаким образом, чтобы соблюдалась эрмитовость.
НапримерW (xi , pi ) =Xxi pi → Ŵ (x̂i , p̂i ) =iX1i1092{p̂i , x̂i }.ws :)oalexandr2. PЕслиΨ не естьn λn an Ψn ,СФ L̂, тоhLi = h Ψ | L̂ | Ψ i =Ψ =XPnan Ψn ,гдеL̂Ψ = λn Ψn . L̂Ψ =a∗m an λn hΨm | Ψn i =m,nX|am |2 λmm- вероятность принять значение λm.3. Под производной оператора подразумевается|am |2"#ˆF (L̂ + εI) − F (L̂)∂F (L̂)= lim.ε→0ε∂ L̂Волновая функция описывает только чистые состояния. Свойства матрицы плотности.1. Всякое состояние (чистое или смешанное) описывается матрицейплотности ρ̂.
Она эрмитова: ρ̂ = ρ̂+.2. Все собственные значения ρ лежат в интервале [0, 1]; ρ | Ψii = pi | Ψii,0 6 pi 6 1 - верятность чистого состояния | Ψi i.P3. Условие нормировки: Sp ρ = n ρnn = 14. Если ρ- матрица плотности, то вероятность находиться в состоянииΨ равна P|Ψi = h Ψ | ρ | Ψ i.5. Среднее значение физической величины Â в состоянии с м.п. ρ hAi =Sp(Âρ)6.
Необходимое и достаточное условие чистоты ρ2 = ρ. При этом ρ =|ΨihΨ |, | Ψi - чистое состояние.110ws :)oalexandrАтомка-4. Принцип неопределенности.Пусть K̂ и F̂ - самосопряженные операторы, [K̂, F̂ ] = iM̂ , где M̂ - тожесамосопряженный оператор. Средние значения K и F по состоянию Ψ:hKi = h Ψ | K̂ | Ψ i,hF i = h Ψ | F̂ | Ψ iОператоры отклонения от средних значений:d = K̂ − hKi ,∆Kd = F̂ − hF i .∆FДля них также выполняется коммутационное соотношениеd ∆Fd ] = iM̂[∆K,Рассмотрим вспомогательный интеграл:Z 2 dd )Ψ dV > 0I(α) = (α∆K− i∆FZI(α) =d + i∆Fd )(α∆Kd − i∆Fd )ΨdV > 0Ψ∗ (α∆Kd + i∆Fd )(α∆Kd − i∆Fd ) = α2 (∆K)d 2 + αM̂ + (∆Fd )2 > 0(α∆Kd 2 (∆Fd )2 6 0D = M̂ 2 − 4(∆K)d 2 (∆Fd )2 >⇒ (∆K)M̂ 24Для средних значений1h(∆F )2 i h(∆K)2 i > hM i 24Если положить K̂ = x̂, F̂ = p̂, получим соотношение неопределенностейГейзенберга:∆p∆x >111~2ws :)oalexandrАтомка-5.
Описание эволюции квантовомеханическихсистем. Уравнения Гейзенберга и Шредингера. Стационарные состояния.Эволюцию квантовомеханической системы можно рассматривать двумяспособами:1) Операторы физических величин зависят от времени, а ВФ - нет.Тогда для оператора F̂ (t) физической величины выполняется уравнениеГайзенберга:idF̂ (t) = [Ĥ, F̂ (t)]dt~для консервативных систем, F̂ не зависит от времени явно. РешениеiiF̂ (t) = e ~ Ĥt F̂ (0)e− ~ Ĥt .Общий вид:∂idF̂ (t) = F̂ (t) + [Ĥ(t), F̂ (t)].dt∂t~2) ВФ состояний зависят от времени, а операторы физических величин- нет.
Уравнение Шредингера:i~d|Ψ(t)i = Ĥ(t) |Ψ(t)idtСостояния, описываемые собственными функциями гамильтониана Ĥ называются стационарными, а множество СЗ - энергетическим спектром.ĤΨ = EΨ - стационарное уравнение Шредингера. Решение |Ψ(t)i =e− Ht |Ψ(0)i.i~112ws :)oalexandrАтомка-6. Линейный квантовый гармонический осциллятор. Энергии и волновые функции стационарных состояний.kx2p2+H=2m2Введем операторы:~x0x̂ = √ (â + â+ ), x20 = √ , x0 p0 = ~2kmr√kp0,p̂ = √ (â − â+ ), p20 = ~ km, ω =m2iгде â+ - оператор рождения, а̂ - оператор уничтожения.Если выразить â, â+ через x̂, p̂ и воспользоваться коммутационнымисоотношениями для x̂, p̂, то можно показать, что[â, â+ ] = 1,(a)+ = a+Гамильтониан тогда примет вид Ĥ = ~ω(â+â + 21 )1[Ĥ, â] = [~ω(â+ â + ), a] = ~ω[â+ â, â] =2= ~ωâ+ [â, â] +~ω [â+ , â] â = −~ωâ| {z }| {z }=0=−1[Ĥ, â+ ] = ~ωâПусть нашли решение ĤΨ = EΨ.
Рассмотрим состояние |χi = â |ΨiĤ |χi = Ĥa |Ψi = ([Ĥ, â] + âĤ) |Ψi == (−~ωâ + Eâ) |Ψi = (E − ~ω)â |Ψi = (E − ~ω) |χi ,Ĥ |ξi = Ĥâ+ |Ψi = (E + ~ω) |ξi .Таким образом:• â - увеличивает энергию на ~ω ,• â+ - уменьшает энергию на ~ω ,113ws :)oalexandrи строят ненормированные ВФ.Введем основное состояние |0i - вакуум: â |0i = 0, h0 | 0i = 1:x̂ip̂1x̂d1+=√+ x0â = √dx2 x0 p02 x01x̂dψ00x√+ x0ψ0 (x) = 0,= − 2,dxψ0x02 x0x2− 2Ze 2x0dx |ψ0 |2 = 1ψ0 = p√πx0ψ0 (x) ≡ |0i в координатном представлении~ωĤ |0i =~ω â+ â + 1/2 |0i =|0i2E0 =~ω2венства:- энергия основного состояния. Можно доказать следующие раâ+ |ni =â |ni =√√n + 1 |n + 1in |n − 1iĤ |ni = ~ω (n + 1/2) |niaa+ |ni = (n + 1) |nia+ a |ni = n |nihn | ni = 1hn | mi = δnmВсе ВФ строятся следующим образом:â+|nin+1n(a+ )|ni = √ |0in!|n + 1i = √114ws :)oalexandrАтомка-7.
Прохождение частиц через потенциальныйбарьер. Туннельный эффект.Гамильтониан свободной частицы в координатном представлении:Ĥ =Уравнение Шредингера:iBe− ~√2mEx~2 ∂ 2p̂2=−2m2m ∂x2~ ∂ ψ− 2m= Eψ .∂x222Решения:i√ψ(x) = Ae ~2mEx+Потенциальный барьерx < 0 ψ1 = eikx + Be−ikx1√2mE~1pq=2m(E − U0 )~k=0 < x < a ψ2 = B1 eiqx + B2 e−iqxx > a ψ3 = CeikxD = |C|2 -коэффициент прохождения. Потребуем непрерывности волновых функций ψ и ψ0 на гарнице потениального барьера (точки x = 0,x = a).
В x = 0: 1 + A = B1 + B2 , k(1 − A) = (B1 − B2 )q В x = a:B1 eiqa + B2 e−iqa = Ceika , q(B1 eiqa − B2 e−iqa ) = kCeika ОтсюдаD(E) =1+(k 2 − q 2 ) sin qa2kq2 !−1Если E < U0, то q - чисто мнимое.D(E) =D(E) 6= 01+(k 2 + γ 2 ) sh aγ2kγ2 !−1при конечных a.115> 0,γ = Imq > 0ws :)oalexandrε = E/U0Туннельный эффект - прохождение частицей потенциального барьеракогда ее полная энергия меньше высоты барьера.116ws :)oalexandrАтомка-8. Движение частиц в периодическом потенциале.U (x) = U (x + a)ГамильтонианĤ(x) =p̂2p̂2+ U (x) =+ U (x + a) = Ĥ(x + a)2m2m(1)По теореме Блоха для такого гамильтониана СФ можно представить ввиде: ψk (x) = ei~k~xuk (x), где ~k - произвольный вещественный вектор, аuk (x) = uk (x + a) - периодическая функция.
Можно показать, что для системы с гамильтонианом, удовлетворяющим (1), выполняется соотношениеψ(x + na) = einkx ψ(x)Рассмотрим свойства спектра:0 < x < a ψ1 (x) = Au1 (x) + Bu2 (x)a < x < 2a ψ2 (x) = eikx ψ1 (x − a) = eikx (Au1 (x − a) + Bu2 (x − a))u1и u2 - фундаментальные решения УШ.Au1 (a) + Bu2 (a) = eika (Au1 (0) + Bu2 (0))ψ1 (a) = ψ2 (a) ⇒00Au01 (a) + Bu02 (a) = eika (Au01 (0) + Bu02 (0))ψ1 (a) = ψ2 (a) Условие разрешимости u (a) − eika u1 (0) u2 (a) − eika u2 (0)det 10u1 (a) − eika u01 (0) u02 (a) − eika u02 (0)cos ka ==0(u1 (0)u02 (a) + u1 (a)u02 (0)) − (u2 (0)u01 (a) + u2 (0)u01 (a))2 (u1 u02 − u01 u2 )(аргументы в знаменателе не важны, т.к. это определитель Вронского, онне зависит от x)E = E(k) - полосы, где есть решение - разрешенная зона (правая часть6 1) и полосы, где нет решения - запрещенная зона (правая часть > 1).С ростом E запрещённые зоны сужаются, разрешённые зоны расширяются.117ws :)oalexandrАтомка-9.
Угловой момент. Сложение моментов.ˆMαкл = εαβγ xβ pγ ⇒ M̂ кв = ~~l~ˆl - оператор момента отдельной частицы.ˆlα = 1 εαβγ x̂β p̂γ ,~ihˆlα , x̂β = iεαβγ x̂γ ,L̂ihˆlα , p̂β = iεαβγ p̂γ ,ihˆlα , ˆlβ = iεαβγ ˆlγ ,- оператор полного момента системы:~ˆ 2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z ,LСЗ: L~ 2 = L(L + 1),L̂+ = L̂x + iL̂y ;hiL̂+ , L̂− = 2L̂z ,Lz = M,M = L, L − 1, . .
. , −LL̂− = L̂x − iL̂yhiL̂z , L̂+ = L̂+ ,hiL̂z , L̂− = −L̂− ,Три компоненты момента не могут одновременно иметь определённые значения. Квадрат момента может иметь определённое значение одновременно с одной из его составляющих.Сложение моментов Рассмотрим систему, состоящую из двух слабовзаимодействующих частей. При полном пренебрежении взаимодействиемдля каждой из них справедлив закон сохранения момента импульса, а полный момент L~ всей системы можно рассматривать как сумму моментов L~ 1и L~ 2 ее частей.
В следующем приближении при учете слабого взаимодействия законы сохранения L~ 1 и L~ 2 уже не выполняются строго, но определяющие их квадраты чисел L~ 1 и L~ 2 остаются «хорошими» квантовымичислами, пригодными для приближенного описания состояния системы.Наглядно, т. е. рассматривая моменты классически, можно сказать, чтов этом приближении L~ 1 и L~ 2 вращаются вокруг направления L~ , оставаясьнеизменными по величине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
