Теория, государственный экзамен (1161595), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В связи с рассмотрением таких систем возникает вопрос о законе сложения моментов. Каковы возможные значения L~ призаданных значениях L~ 1 и L~ 2? Что касается закона сложения для проекциймомента, то он очевиден: из Lz = L1z + L2z следует, что иМ= M 1 + M2118ws :)oalexandr. Для операторов же квадратов моментов такого простого соотношения нети для вывода их закона сложения рассуждаем следующим образом.Если выбрать в качестве полной системы физических величин величины L~ 21, L~ 22, L1z , L2z , то каждое состояние будет определяться значениями чисел L1, L2, M1, M2. При заданных L1 и L2 числа M1, М2 пробегают соответственно по (2L1 + 1) и (2L2 + 1) значений, так что всегоимеется (2L1 + 1)(2L2 + 1) различных состояний с одинаковыми L1, L2;~ = (L1 + L2 ), .
. . , |L1 − L2 |. Волновые функции состояний в этом описанииLобозначим как ϕL L M M .Вместо четырех указанных величин в качестве полной системы можновыбрать четыре величины L~ 21, L~ 22, L~ 2, Lz . Тогда каждое состояние будетхарактеризоваться значениями чисел L1, L2, L, М (соответствующие волновые функции обозначим как ψL L LM )).
При заданных L1 и L2 должнобыть, разумеется, по-прежнему (2L1 +1)(2L2 +1) различных состояний, т.е.при заданных L1, L2 пара чисел L, М может пробегать (2L1 + 1)(2L2 + 1)пар значений. Эти значения можно определить следующими рассуждениями. Складывая друг с другом различные допустимые значения М1 и М2,получим соответствующие значения М :12121М1М2L1L2L1L2 − 1L1 − 1L22ML1 + L2L1 + L2 − 1L1 − 1L2 − 1 L1 − 1L2 − 2L1 + L2 − 2L1 − 2L2....................................Мы видим, что наибольшее возможное значение М есть М = M1 + M2,причем ему отвечает одно состояние ϕ (одна пара значений M1, M2).
Поэтому и наибольшее возможное значение М в состояниях ϕ, а следовательно, и наибольшее L, есть L1 + L2 Далее, имеются два состояния ϕ cM = L1 + L2 − 1. Следовательно, должны быть и два состояния ϕ с этимзначением М ; одно из них есть состояние с L = L1 + L2 (и М = L − 1), адругое — с L = L1 + L2 − 1 (причем М = L).
Для значения М = L1 + L2 − 2есть три различных состояния ϕ. Это значит, что наряду со значениямиL = L1 + L2 , L = L1 + L2 − 1 возможно также и значение L = L1 + L2 − 2.119ws :)oalexandrЭти рассуждения можно продолжать в таком же виде, пока при уменьшении М на 1 увеличивается на 1 число состояний с заданным значением М .Легко сообразить, что это будет иметь место до тех пор, пока М не достигнет значения |L1 − L2|.
При дальнейшем уменьшении М число состоянийперестанет возрастать, оставаясь равным 2L2 +1 (если L2 6 1). Это значит,что |L1 − L2| есть наименьшее возможное значение L.Таким образом, мы приходим к результату, что при заданных L1 и L2число L может пробегать значенияL = L1 + L2 , L1 + L2 − 1, ..., |L1 − L2 |,всего L2 + 1 (считая, что L2 6 L1) различных значений.
Легко проверить,что получается действительно (2L1 + 1) × (2L2 + 1) различных значенийпары чисел М , L.120ws :)oalexandrАтомка-10. Движение в центральном поле. Атом водорода: волновые функции и уровни энергии.Если взаимодействие 2-х частиц можно описать потенциалом U (|~r1 −~r2|), тозадача сводится к задаче о движении частицы в центрально-симметричномполе. Лагранжианm1~r˙ 12 m2~r˙ 22~ = m1~r1 + m2~r2+− U (|~r1 − ~r2 |);~r = ~r1 − ~r2 , R22m1 + m2M ~˙ 2 m ˙ 2m1 m2L=R + ~r − U (r); M = m1 + m2 ; m =22m1 + m2L=Импульсы: p~ = ∂∂LR~˙ = M R~˙ , P~ = ∂L= m~r˙ .∂~r˙pP+ 2m+ U (r). Опреатор Гамильтонп получим, заГамильтониан p = 2m~меняя P и p~ операторами22[Pi , Rk ] = −i~δik ,[pi , rk ] = −i~δikГамильтониан в операторном видеĤ = −Волновая функция~2~2∆R −∆r + U (r)2M2m~Φ(~r1 , ~r2 ) = ϕ(R)ψ(~r),~ описывает движение центра инерции, ψ(~r) - движение частицыгде ϕ(R)m в поле U (r).
Для стационарных состояний:∆ψ +В сферической СК:1 ∂r2 ∂rr2 ∂ψ∂r2m[E − U (r)]ψ = 0~211 ∂∂ψ1 ∂2ψ2m+sin θ++ 2 [E − U (r)]ψ = 022r sin θ ∂θ∂θ~sin θ ∂ϕВводя оператор орбитального моментаˆl2 = ˆl− ˆl+ + ˆl2 + ˆlz = −z1 ∂sin θ ∂θ121∂sin θ∂θ1 ∂2+sin2 θ ∂ϕ2,ws :)oalexandrполучим2~2m−1 ∂r2 ∂rr2∂ψ∂rlˆ2+ 2ψr!+ U (r)ψ = Eψи ˆlz коммутируют с Ĥ , следовательно, сцществуют функции, являющиеся собственными для операторов Ĥ , ˆl2, ˆlz одновременно. Будем рассматривать стац. состояния с определенными значениями момента l и егопроекцией m. Решение ищем в виде:ˆl2Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm (θ, ϕ),где Ylm - сферические функцииYlm1= √ eimϕ (−1)ml2πPlm (cos θ) =s(2l + 1)(l − m)! mPl (cos θ),l(l + m)!dm+l1msinθ(cos2 θ − 1)l .2l l!(d cos θ)m+lДля радиальной функции R(r):1 dr2 drr2Rr−2ml(l + 1)R + 2 [E − U (r)]R = 02r~В случае водородоподобных атомов2R 2 dR l(l + 1)2mα+−R+[E+]R = 0,r2r drr2~2rВ атомных единицах (a0 = me~уравнение примет вид:22= 0.529 · 10−8 см , t0 =α = Ze2~3me4= 0.242 · 10−16 с )d2 R 2 R l(l + 1)1+−R+2 E+R=0dr2rrr2rПри E < 0 движение финитно и энергетический спектр дискретен.
Обо1значим: n = √−2E, ρ = 2rnd2 R 2 dR++dρ2ρ dρn 1 l(l + 1)− −ρ 4ρ2122R=0ws :)oalexandrПри ρ → ∞, опуская члены ∼ ρ−1, ρ−2, получим:Rd2 R=2dρ4Подстановка R(ρ) = ρl e−ρρ2ω(ρ)d2 ωdω+ (2l + 2 − ρ)+ (n − l − 1)ω = 02dρdρПодставим ω(ρ в виде степенного рядаω(ρ) = 1 +(0 − ν) (1 − ν) ρ20−νρ++ ...,0+λ(0 + λ) (1 + λ) 2где λ = 2l + 2, ν = n − l − 1 Отсюда энергетический спектр En = − 2n1 , илив обычных единицах En = −Z 2 2~men .242 2123ws :)oalexandrАтомка-11.
Стационарная теория возмущений в отсутствие и при наличии вырождения. Эффекты Зеемана иШтарка.Ĥ = Ĥ0 + V̂ ;Ĥ0 ψ (0) = E (0) ψ (0) ;Ĥψ = (Ĥ0 + V̂ )ψ = EψПусть уровни невырожденные, спектр дискретный. Разложим ψ по СФ:XXX(0)ψn(0)Cm ψm⇒ψ=m(0)(0)Cm (Em+ V̂ )ψm=m(0)Cm EψmmУмножая на ψk(0) и интегрируя, найдем:(E −Ek0 )Ck=XZVkm Cm ,Vkm =(0)∗(0)ψk V̂ ψmdq(1)mБудем искать значения коэффициентов Cm и энергии E в виде рядовE = E (0) + E (1) + E (2) + .
. . ,(0)(1)(2)Cm = Cm+ Cm+ Cm+ ...,(1) (1)где E (1), c(1), cm ∼ O(V̂ 2 ). Определим поправки к n-му СЗ иm ∼ O(V̂ ), EСФ, полагаем Cn(0) = 1, Cm(0) =(0)0, m(1)6= n. Для (0)отысканияпервого прибли(1)жения подставим в (1) E = En + En , Ck = Ck + Ck . Уравнение с k = nдает:Zψn(0)∗ V̂ ψn(0) dq.En(1) = Vnn =Такимобразом, поправка первого приближения к собственномузначению(0)(0)En равна среднему значению возмущения в состоянии ψn .Уравнение (1) с k 6= n даёт(1)Ck =аVkn(0)En(0)− EkCn остается произвольным и оно(0)(1)ψn = ψn + ψn была нормирована с(1)124,k 6= n,должно быть выбрано так, чтобыточностью до членов 1-го порядкаws :)oalexandrвключительно. Для этого надо положить Cn(1) = 0. Действительно, функцияXVmn0ψn(1) =m(0)En−(0)Em(0)ψm(2)(штрих означаетсуммированиепо m 6= n) ортогональна ψ(0)n , а поэтому2 (0)(1) интеграл от ψn + ψn отличается от единицы лишь на величину второгопорядка малости.Формула (2) определяет поправку первого приближения к волновымфункциям.
Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство|Vmn | En(0) − En(1) ,т.е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению ссоответствующими разностями невозмущённых уровней энергии.Случай вырожденный. Обратимся теперь к случаю, когда невозмущённыйоператорĤ0 имеет вырожденных СЗ. Будем обозначать посредством(0)(0)(0)ψn , ψn , . . . СФ, относящиеся к одному и тому же СЗ энергии En . Правильные функции нулевого приближения - линейные комбинации вида0(0)(0)Cn(0) ψn(0) + Cn0 ψn0 + . .
.Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с поправкамипервого приближения к СЗ, следующим образом.Выпишем ур-я (1) с k = n, n0, . . . , подтавив в нх в первом приближении(0)E = En +E (1) , причём для величин Ck достаточно ограничиться нулевыми(0)0значениями cn = c(0)n , cn = cn , . . .
; cm = 0 при m 6= n, n , . . . . Тогда получим00E (1) Cn(0) =X(0)Vnn0 Cn0 ,n0илиX(0)(Vnn0 − E (1) δnn0 )cn0 = 0,3n0где n, n0 пробегают все значенияЮ(0)нумерующие состояния, относящиесяк данному невозмущённому СЗ En . Эта система однородных линейных125ws :)oalexandrуравнений для величин c(0)n имеет отличные от нуля решения при условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов принеизвестных. Таким образом, получаем уравнениеVnn0 − E (1) δnn0 = 0(4)Это уравнение — s-й степени по E (1) и имеет, вообще говоря, s различныхвещественных корней. Эти корни и представляют собой искомые поправкипервого приближения к СЗ.
Уравнение (4) называют секулярным.Подставляя поочередно корни этого уравнения в систему (3), найдем(0)Cn и т.о. определим СФ нулевого приближения.В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии перестаёт, вообще говоря, быть вырожденным (корни уравнения (4),вообще говоря, различны); как говорят, возмущение снимает вырождение.
Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным(в последнем случае после наложения возмущения остаётся вырождениеменьшей кратности, чем первоначальная).Эффект Зеемана.Рассмотрим атом, находящийся в однородном магнитном поле H~ . Его гамильтониан2|e|~ ~ ~ˆ|e| ~1 X ˆ~pa + A(~r a ) + U +H S,Ĥ =2m acmcгде суммирование производится по всем электронам, u 0 энергия взаимоPдействия электронов друг с другом, S~ˆ = a ~sˆa - оператор полного (электронного) спина атома.~ r], то оператор ~ˆpЕсли векторный потенциал выбран в виде A~ = 21 [H~коммутативен с A~ . Учитывая это при раскрытии квадрата, и обозначаячерез Ĥ0 гамильтониан атома в отсутствие поля, находимĤ = Ĥ0 +|e| X ˆe2 X ~|e|~ ~ ~ˆ[~r a ~pa ] +[H~r a ]2 +H S.22mc a8mc amcНо векторное произведение [~ra ~ˆpa] есть оператор орбитального моментаэлектрона, а суммирование по всем электронам даёт оператор ~L~ˆ полногоорбитального момента атома.
Таким образом,2 X~ + 2S)~ˆ H~ + e~ ra ]2 .Ĥ = Ĥ0 + µB (L[H~8mc2 a126(5)ws :)oalexandrВнешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, сни- снимая вырождение по направлениям полного момента (эффект Зеемана). Определим энергию этого расщепления для атом- атомных уровней, характеризующихся определенными значениями квантовых чисел J , L, S (т. е. предполагая для уровней случай LS -связи).Будем считать магнитное поле настолько слабым, что µB H мало посравнению с расстояниями между уровнями энергии атома, в том числепо сравнению с интервалами тонкой структуры уровней.
Тогда второй итретий члены в (5) можно рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уровнями являются отдельные компоненты мультиплетов. Впервом приближении третьим членом, квадратичным по полю, можно пренебречь по сравнению с линейным вторым членом. В этом приближенииэнергия расщепления ∆Е определяется средними значениями возмущенияв состояниях (невозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на направление поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
