Теория, государственный экзамен (1161595), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Выбрав это направление в качестве осиz , имеем∆Е = µB Н (L̄z + 2S̄z ) = µB H(J¯z + S̄z ).(6)Среднее значение J¯z совпадает просто с заданным собственным значениемJ¯z = MJ . Среднее же значение Sz можно найти сле- следующим образом спомощью «поэтапного» усреднения.Усредним сначала оператор Ŝ по состоянию атома с заданны- заданными значениями S , L и J , но не Mj . Усредненный таким образом оператор Ŝ¯может быть «направлен» лишь вдоль J — единственного сохраняющегося«вектора», характеризующего свободный атом. Поэтому можно написатьS̄ = constJ.В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл, поскольку три компоненты вектора J не могут иметь одновременно определенныхзначений.
Буквальный же смысл имеет его z -проекцияS̄z = const · Jz = const · Mjи равенствоS̄J = constJ2 = const · J(J + 1),получающиеся умножением обеих его частей на J . Внеся сохраняющийсявектор J под знак среднего, пишем S̄J = SJ. Среднее же значение SJ127ws :)oalexandrсовпадает с собственным значением1SJ = [J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)],2которому оно равно в состоянии с определенными значениями L2, S2, J2.Определив const из второго равенства и подставив в первое, имеем, такимобразом,Sz = MJJSJ2Собрав полученные выражения и подставив в (6), находим следующееокончательное выражение для энергии расщепления:∆Е = µB gMJ H,гдеg =1+(7)J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)2J(J + 1)есть так называемый множитель Ланде или гиромагнитный множитель.Отметим, что g = 1, если спин отсутствует (S = 0, так что J = L) нормальный эффект Зеемана, и g = 2, если L = 0 (так что J = S ) аномальный эффект Зеемана.Формула (7) даёт различные значения энергии для всех 2J +1 значенийMJ = −J, .
. . , +J . Другими словами, магнитное поле полностью снимаетвырождение уровней по направлениям момента.Эффект Штарка (атом в электрическом поле)V = −dE = −Edz , d- дипольный момент, состояние с разными M - разнаяэнергия. 1е приближение - линейное - определяется диагональными матричными элементами возмущения, но диагональные матричные элементыдипольного момента равны нулю. Поэтому эффект Штарка - эффект второго порядка по полю (кроме водорода, у которого эффект линейный).(n)∆En = − 12 αik Ei Ek ; αik - симметричный тензор.
Выбрав ось z в направлении поля, получим12∆En = − d(n)zz E ;2(8)Тензор αik(n) прежставляет собой в то же время поляризуемость атомаво внешнем электрическом поле∂∆En(n)(n)d¯i == αik Ek∂Ei128ws :)oalexandrВычисление поляризуемости должно производиться по общим правилам теории возмущений.
Согласно формуле второго приближения имеем(n)αik = −2X0 (di )nm (dk )mn.E−EnmmПоляризуемость атома зависит от его (невозмущенного) состояния, втом числе от квантового числа MJ . Эта последняязависимость может(n)быть установлена в общем виде. Значения αik для различных значенииMJ можно рассматривать как собственные значения оператора2(n)α̂ik = αn δik + βn (Jˆi Jˆk + Jˆk Jˆi − δik Ĵ2 );3(9)это есть общий вид симметричного тензора второго ранга, зависящего отвектора Ĵ. Из (8) и (9) имеемE2∆En = −212αn + 2βn MJ − J(J + 1) .3(10)При суммировании по всем значениям MJ второй член в фигурныхскобках обращается в нуль, так что первый член представляет собой общеесмещение «центра тяжести» расщепленного уровня.
Отметим также, что,согласно (10), уровень с J = 1/2 остается нерасщепленным.129ws :)oalexandrАтомка-12. Уравнение Дирака. Квазирелятивистскоеприближение. Спин-орбитальное взаимодействие. Тонкая структура спектра атома водорода.= Ĥψ , где1. В релятивисткой теории волновое уравнение имеет вид: i~ ∂ψ∂tгамильтониан системы (для свободной частицы) имеет вид: Ĥ = C(α~ˆp) +mc2 β , где ~ˆp - оператор импульса. Пусть E 2 = c2 p2 + m2 c4 - релятивисткаяэнергия частицы.
Тогда из условия Ĥ 2 = E 2 получаем: 2 β =1β~α+α~β = 0αi αk + αk αi = 2δikЭтим требованиям удовлетворяют матрицыК = 1 - уравнение Дирака:i~αiиβпорядка4К .Приi∂ψ h= c(~αp~ˆ) + mc2 β ψ∂tСтадартное представление: I 0β = 0 −II,- единичная субматрица порядка К . 0 σi 0 1 0 −i , σ1 = , σ2 = , σ3 = 1 0αi = 0 −1σi 01 0i 0- матрицы Паули. Оператор спина: α~ и p не зависят от пространственныхпеременных, и как результат коммутируют с ~ˆl.
Следовательно, в случаесвободного движения ~ˆ = ~ˆl + ~sˆ - оператор полного момента частицы является интегралом движения. Стационарное решение уравнения Дирака(для свободной частицы с заданными значениями p̂i) exp(i p~ ~r ),c~σp~~a~mc2 +Epгде ~a - спиновая функция, не зависящая от координат. E = ± c2p2 + m2c4,при E > 0 - положительные решения, E < 0 - отрицательные.iEtψ(~r, t) = ψ(~r) exp(− );~ψ(~r) = 130~aws :)oalexandr2. Квазирелятивисткое приближение.Рассматриваются системы, состоящие из постоянного чиста частиц, с неизменным импульсом:а). Соотношение неопределённостей (∆px)2(∆x)2 > ~4 : если линейныеp~, то 2m>размеры пространства, в котором локализована частица ∆x < 4mc2mc2 - энергия, достаточная для образования пары частиц массы m.~б). ∆p ≈ ∆x~ ; ∆x ≈ c ∗ ∆t ⇒ ∆p ≈ c∆t, где ∆t - время, за котороереализуется данное состояние движения.
В стационарном случае ∆t → ∞,∆p → 0.Вывод: приближение применимо для стационарных систем с энергиямимного меньшими энергий покоя частиц системы mc2.3. Спин-орбитальное взаимодействие.Учет релятивистких поправок к гамильтониану заряда во внешнем электрическом поле дает:22Ĥ =~ˆp 2+ V (~r) + V̂1 + V̂2 + V̂3 ;2meE = − mz- энергия спектра без учета поправок.2~2 n24V̂1 = − 8mp̂3 c2 - учет релятивисткой зависимости2 4от импульса.кинетической энергииV̂2 = − 4m~~σ2 c2 [(∇U )×~p] - энергия спин-орбитального взаимодействия (вза-имодействия движущего магнитного момента с электрическим полем)ˆlŝ, V̂3 = ~ ∇2 U В центральном поле: ∇U = r̄r dUdr(r) ⇒ V̂2 = 2m~ c r dUdr4m cэнергия контактного взаимодействия.4.
Тонкая структура спектра атома водорода. Кулоновское поле ядра:U = − zr - учет в первом порядке теории возмущений.(1)V̂3 = − α8 z 4πδ(r̄), E3 = α2nz - для S состояния, для других = 0.222 222 22 43α2 z 2α2 z 2 31(1)V̂1 = −E+, E1 =−,242n3 4n l + 1/2α2 z 1 ˆ2α2 z 4 J(J + 1) − l(l + 1) − 3/4(1)22V̂2 =(J − L̂ − Ŝ ), E2 =(1 − δl0 ).4 r34n3l(l + 1/2)(l + 1)Суммарнаяпоправка: (для S состоянийhi13− α2nz j+1/2− 4n- тонкая структура спектра.(1)E2=0): Enj(1)=2 43131ws :)oalexandrАтомка-13.
Системы тождественных частиц. Бозоны ифермионы. Принцип Паули.Волновая функция системы N точечных частиц: ψ(q1, . . . , qn) где qi - совокупность координат и проекций спина i-й частицы. При замене qi ↔ qjможет вести себя:• Симметрично: ψ(. . . , qi , . . . , qj , . . . ) = (. . . , qj , . . . , qi , . . . ) - БОЗОНЫ тождественные частицы с целыми спинами.• Антисимметрично: ψ(. . . , qi , .
. . , qj , . . . ) = −(. . . , qj , . . . , qi , . . . ) - ФЕРМИОНЫ - тождественные частицы с полуцелым спином.Пусть ψi(q) - полная одночастичная система ортонормированных собственных функций. Базисные ортонормированные функции системы N бозонов имеют вид:Φ=XNn 1 , n2 , . . . , n i , . . .− 12(n1 )(n2 ) . . . (ni ) · · · =− 12=X N! ∞Qni !(n1 )(n2 ) . . .i=1Число упорядоченных разбиений по бесконечномучислу состояний, со−Nдержащих (n1)(n2) .
. . частиц - это n ,n ,...,n ,...Для двух частиц:121Φ(q1 , q2 ) =2i√1 (ψm (q1 )ψn (q2 )2+ ψn (q1 )ψm (q2 )), m 6= nψn (q1 )ψn (q2 ),m=nN фермионов: слабовзаимодействующие частицы, следовательно антисимметричная функция стационарного состояния системы может быть записана в виде: ψ = √1N ! det |ψα (qk )|, где ψα (qk ) - одночастичная волновая функция (i-е состония) часицы К . Из антисимметричности следует:ψ(q1 , ..., qi , qi , ...qN ) = 0 ⇒ ПРИНЦИП ПАУЛИ: для того, чтобы волновые функции системы невзаимодействующих фермионов была отличнаяот 0, (т.е.
состояния физические реализуемо) необходимо, чтобы в каждом состоянии находилось не более одной частицы. Для двух фермионов:ψ = √12 [ψm (q1 )ψn (q2 ) − ψm (q2 )ψn (q1 )] , m 6= n. При m = n ψ = 0.ii132ws :)oalexandrАтомка-14. Многоэлектронный атом. Приближение самосогласованного поля. Электронная конфигурация.Терм. Тонкая структура терма. Приближение LS и jj связей. Правила Хунда.1). Атом He (z = 2). H = H0 + V̂ (r1, r2) - с учетом взаимодействия электро⇒ основноенов. H0 = ~pˆ2m + ~pˆ2m − z er − z er ; V̂ (r1, r2) = (r e−r ) ; E (1) = 5ze8aсостояние, когда (z = a0)2122221221E = −z 2220e2 5 e2+ za0 8 a0подбор вариационным методом некого эффективного потенциала.2). Приближение центрального самосогласованного поля.
Волноваяфункция системы взаимодействующих фермионов имеет вид: Φ =√1 det |ϕi (~rj , σi )| Выбирают орбитали (одночастичные волновые функции)N!в виде ϕi(~rj ) = Rnl (ri)Yln(θi, ϕi), где n = nr + l + 1 - главное квановое число.3). Электронная оболочка - совокупность состояний, с заданными nи l (4l + 2 состояний - заполненная оболочка) - содержит эквивалентныеэлектроны.
а). Заполнение электронных оболочек с min(n + l). б). Из них сначала заполняются с min(n) - выполняется для легких атомов (z < 40),кроме хрома (z = 24) и меди (z = 29). В целом порядок заполнения такой:(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)10 (4p)6 (5s)2 . . .n+l123344555...n122334345...Таблица Менделеева: каждый период (кроме первого) - начинается сns и заканчивается np - оболочкой. Самосогласованное поле - центранотолько для атомов со всеми заполненными оболочками!4). L̂ и Ŝ - являются интегралами движения - ими можно характеризовать состояние атома с заданной конфигурацией (вклад в L и S - дают только незаполненные оболочки).
Состояние незаполненной оболочки спектральные термы. 2S + 1 - мультиплетность терма. 2s+1LJ - обозначениетерма.Пример: конфигурация (np)2 - 2 электрона, 6 возможных одноэлектронных состояний (4l + 2). Возможно 15 размещений (с учетом принципа Паули): s = ± 12 , m ∈ (−l, l) = −1, 0, +1133ws :)oalexandrM =2M =1|1 + 1−i|1 + 0−i|1 + 0+i|1 − 0+i|1 − 0−iE~1 + 1−E1 + ~1+E~1−1+E~1 − 1−|0 + 0−i M=0 E~1 + 0−E~1 + 0+E~1−0+E~1 − 0−E~ ~1 + 1−...................................................и т.д., в итоге перебора всех возможных состояний получается:• 1 D - спины противонаправлены, 5 состояний• 3 P - спины сонаправлены, 9 состояний• 1 S - 1 состояние5. Правило Хунда: наименьшей энергией обладает терм с наибольшимS , среди термов с равным S - с наибольшим L.ˆ6.
Спин-орбитальное взаимодействие: V̂ls = 2m~ c 1r ∂V∂r ~lˆ~si i . Можнорассматривать как малое возмущение, если его влияние мало по сравнениюс нецентральностью. Среднее значение энергии Els для заданного терма:матричные элементы22 2DV̂ lsE~2=2m2 c2!XW (nl)i∗ ai ∗ b iD Eˆ ˆ LM ‘Sµ‘ ~L~S LM Sµiˆ ~Sˆ = Jˆ2 − L̂2 − Ŝ 2 ⇒ если незаполнена только одна электронная2~LD Eоболочка, то V̂ ls = 14 m~22c2 A [J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)], где A =R~ (nl) (P ai ∗ bi ), W (nl) = 1 ∂V R2 (r) ∗ r2 dr - радиальный интеграл взаиWr ∂r nlмодействия, и ˆli = aiL̂; ~sˆ i = biŜ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
