Теория, государственный экзамен (1161595), страница 16
Текст из файла (страница 16)
При учете V̂ls спектральный терм расщепляется на группу уровней. Расстояние между ними: ∆EJ,J−1 = A0J -правило интервалов Ланде. Уровни - образуют тонкую структуру атомныхуровней.Мы рассматривали случай постоянных L и S , и V̂ls - малой поправки.Пригодно, если ∆EJ,J−1 ∆EL,L−1 - интервалы тонкой структуры малыпо сравнениюсPрасстоянием между термами. Приближение LS-связи J~ =P~ +S~=L~+i lij~sj134ws :)oalexandrЕсли спин-орбитальной взаимодействие превышает энергию остаточного взаимодействия (что верно для очень крупных ядер), то в качествеволновых функций отдельных электронов берут общие волновые функцииоператоров Jˆi2, Jˆz , ˆli2, ŝ2i .PВ этом случае уровни с различными значеˆниями J определяют как: J = ~jii135ws :)oalexandrАтомка-15. Нестационарная теория возмущений.
Золотое правило Ферми.Нестационарная теория возмущений.Если Ĥ зависит от времени явно: источник внешнего переменного поля,вляние которого мало: H(t) = H0 + V (t). Если V̂ (t) → 0 при t → ±∞, тоиспользуется полная система собственных функций Ĥ0, а V̂ (t) - по теориивозмущений.Дискретный спектр Ĥ0: {ϕk }. Тогда рещение нестационарного уравнения Шредингераi~∂ψ= [Ĥ0 + v̂(t)]ψ∂tможно представить в виде разложения по СФ Ĥ0∂ϕkdan XVnk (t)ak ,= Ĥ0 ϕk = Ek ϕk ⇒ i~=∂tdtkkгде матричный элемент Vnk (t) = V (t)eiωnk t = V (t) exp ~i (En − Ek ) t ; ωnk =1|En − Ek |.
Обозначим wmn = |amn |2 - вероятность перехода из состояния~ϕn в состояние ϕm .2R∞Vkn eiωkn t dt2 - применимо, еслиПри t = 0 akn = δkn, wnk = ~12 −∞2R ∞limt→+∞ V̂ (t) = 0, иначе wnk = ~2 ω1 2 −∞ ∂V∂tkn eiωkn t dt2 . Внезапное включеψ=Xние поляak (t)ϕk (t),∂Vkn∂t= Vkn δ(t),i~тогда wnk = ~|V ω | .Периодическое возмущениеR = ω − ωknWnkполучим|Vnk |2=×2~2nk2kn2 2knV̂ (t) = V̂0 cos ωt.Обозначая S= ω + ωkn ,1 − cos(Rt) 1 − cos(St)++R2S21 + cos(2ωkn t) − cos(Rt) − cos(St)+RSRt;Если ω близка к собственной частоте ωnk , то R S , и wnk ≈ |V2~ | 1−cosR|V | 2в случае точного резонанса (R = 0) wnk = 2~ t - наиболее вероятнымибудут переходы между состояниями ϕn и ϕm.Если при гармоническом воздействии на систему значение энергииE+ = E0 ~ω попадает в область непрерывного спектра, то переход в состояние E+ будет резонансным. Для вычисление w заменим непрерывныйnk2nk2136222ws :)oalexandrспектр конечных состояний дискретным квазинепрерывным: наложим наВФ непрерывного спектра условие периодичности на границах куба с реборм L (L велико по сравнению с размерами системы).
Тогда вероятностьперехода из состояния ν в состояние из области непрерывного спектраw0νZ21 +∞iω0 t V0ν e dt ,= 2~−∞суммарная вероятность перехода (скорость распада начального состояния)2X 1 Z +∞iωt0 .W =Vedt0ν2 ~−∞νЧисло дискретных уровней Nν в интервале (Eν , Eν + ∆Eν ) при L3 → ∞пропорционально ∆Eν . Определим функцию плотности состояний ρ(ν) =N∼ L3 . Тогда при L → ∞∆Eνν1W = 2~ZZdEν ρ(ν) +∞−∞V0ν eiω0 t2dt .Пусть на систему в течении достаточно длительного времениствует возмущение V̂ (t) = V̂ e−iωt. ТогдаW = ρ(E+ )|v0+ |22πT~Tдей-- золотое правило ФремиВероятность перехода в состояние с непрерывным спектром под воздействием гармонического возмущения пропорциональна времени действияэтого возмущения.137ws :)oalexandrАтомка-16.
Вторичное квантование свободного электромагнитного поля. Взаимодействие атома с квантованным излучением.Зачем это нужно: в системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности, вместе с ними сохраняются и числа заполнения. Еслиже частицы взаимодействуют друг с другом - тогда отдельные импульсыуже не сохраняют-ся, также не сохраняются и числа запол-нения. В такомслучае уместно строить математический аппарат, в котором не координаты частиц, а числа заполнения играют роль независимых переменных. Дляначала бозе-частицы (спин целый, в.ф. симметрична). Введём симметричный операторX(1)fˆ(a) ,F̂ (1) =aгдекаждое слагаемое - оператор, относящий-ся только к одной a-й частице- т.е.
оператор будет действовать только на функ-ции, содержащие переменную ξа . В общем случае N -частичная волновая функция записываетсяв виде определителяψN1 N2 ...1 =√ N! Действие оператора:ψp1 (ξ1 ) ψp1 (ξ2 ) . . . ψp1 (ξN )ψp2 (ξ1 ) ψp2 (ξ2 ) . . . ψp2 (ξN )...............................ψpN (ξ1 ) ψpN (ξ2 ) . . . ψpN (ξN )(1)hNi Nk−1 | F̂ (1) |Ni−1 Nk i = fik ×Z(1)fik = ϕ∗i (ξ)fˆ(1) ϕk (ξ)dξX (1)F (1) =fii NipNi N kiВведём операторы уничтожения и рождения и запишем их свойства:pNi |N1 , ..., Ni − 1, ...ipâ+Ni + 1 |N1 , ..., Ni + 1, ...ii |N1 , ..., Ni , ...i =â+i âi = Ni ;âi â+i = Ni + 1;[âi â+i ] = 1âi |N1 , ..., Ni , ...i =138ws :)oalexandrся:И в терминах этих операторов, введённый выше оператор F (1) запишет_(1)F=например, для гамильтониана:X(1)+__fi,k × a i a ki,k(1)_H=X(1)_+_Hi,k × a i a ki,kВ случае ферми частиц всё более криво:_(1)h1i 0k | F(1)P (i+1,k−1)|0i 1k i = fik × (−1),где (i + 1, k − 1) - суммв сех чисел заполнения от i + 1 до k − 1.
Опер-рырожд. и уничтож. и их свойства:P (1,i−1)h0i | ai |1i i = h1i | a+i |0i i = (−1)P (i+1,k−1)+P__h1i 0k | a i a k |0i 1k i = (−1)_+_a i a i = Ni ; Ni ∈ 0, 1_ _+_+_a i a k + a k a i = δikВзаимодействие атомов с излучением: Уравн-е и реш-е для векторпотенциала A с учётом калибр-ки Лоренца: div(A) = 0P (1,i−1)h0i | ai |1i i = h1i | a+|0i=(−1)iiP (i+1,k−1)+__h1i 0k | a i a k |0i 1k i = (−1)_+_a i a i = Ni ; Ni ∈ 0, 1_ _+_+_a i a k + a k a i = δikвведём ещё 2 вектора поляризации εkλ и разложим исходный векторпотенциал:X(εkλ )i (ε∗kλ )j = δij − ki kj k 2 ; ~k · ~εkλ = 0λ∈1,2X X _→−−→−−∗→→− −→_A (→r , t) =Ck[ a kλ (t)εkλ ei k r + a kλ (t)ε∗kλ e−i k r ]kλq2Ck = 2π~c ωk V , V − объём!!!139ws :)oalexandrНапряжённость электрического поля тоже выражается через это разложение:→−−→iωk ~1∂A ~; Ek =E =−Akc ∂tXcAk (t) = Ckakλ (t)εkλλВведённые коэффициенты аkλ ,аkλ∗ будут теми самыми опер-ми уничтож и рожд.
Отметим, что при испускании фотона и переходе ϕi → ϕfвыполнено:_hnkλ + 1, t| A(~r, t) |nkλ , ti = Af i (~r)e+iωk t√~Af i (~r) = nkλ + 1Ck ε∗kλ e−ik~rТеперь: взаимодействие атома с излучением (испускание фотона и переход ϕi → ϕf ) рассматриваем как возмущение, причём пренебрегаем зависимостью вектор-потенциала от расстояния (берём его в нуле)eV̂ = − Â(~r)p̂mcωaborvатомаkr ∼∼1cÂ(~r) ≈ Â(0)˙ f i = m i hϕf | Ĥr − rĤ |ϕi i = −iωrf ip~f i = m~r~V̂ = −erÊ(0), Ê - оператор напряжённости поляТогда вероятность атомом испустить фо-тон ~ω:dwf i =2πV d3 k|Vf i |2 δ(~ω + Ef − Ei )~(2π)3:dwkλω3=|erf i ε∗kλ |2 (nkλ + 1)dΩ32π~c140ws :)oalexandrОбъём сократился! Смысл сомножителя (nkλ + 1) таков: первое слагаемое описыва-т индуцированное излучение фотонов (nkλ - это число квантов в падающей волне), а единица описывает спонтанное излучение фотона(есть даже в отсутствии поля!!!) Работает лишь та поляризация, котораялежит в той же плоскости, что и k и rf i.
Примечание: 2 вектора поляризации соответствуют поперечности электромагнитных волн.Ещё одна тема: Препод может спросить: если вы говорите о электромагнитном поле, то почему вы от интегрирования векторного потенциала перешли к суммированию (см выше, первые формулы для векторпотенциала), ведь поле - это бесконечный набор осцилляторов с непрерывным спектром?? На это ему надо бодро отвечать: конечно, но для большей на-глядности мы мысленно переходим от непрерывного к дискретному спектру - рассмотрим поле в конечном объёме V и зададим условиепериодичности поля на границах объёма. При этом, компоненты волновоговектора становятся дискрет-ными, можно заменить интегрирование суммированием. В конечном ответе объём сокращается, как и должно быть.141ws :)oalexandrАтомка-17.
Теория упругого рассеяния. Борновскоеприближение. Парциальное разложение амплитудырассеяния.при столконвении можно рассматривать как квантовыйпереход в состояниях непрерывного спектра из начального состояния симульсом p~ a = ~~k a в конечное состояние p~ b = ~~k b под воздействием оператора возмущения V̂ , определяющего энергию взаимодействия частиц.Упругое рассеяние - равенство относительных скоростей частиц до ипосле столкновения va = vb.Задача рассеяния: задача отыскания волновых функций рассеяния функций вида ψk (t, θ, ϕ) = eikz +f (θ)ei~k~r - суперпозиция волновых функцийпадающей и рассеянной частицы, f (θ) - амплитуда рассеяния.mh ψa | V̂ | ϕb i.
Если энергиюБорновское приближение: f (θ) = − 2π~возмущения V (~r) рассматривать как малое возмущение (|V | ma~ , где а- это характерная длина потенциала-возмущения), то методом последовательных приближений получаемРассеяние частиц222ψk (~r) = ϕ0 (~r) −m eikr −i~k~reV (~r)ψ(~k, ~r)d~r + . . . ,2π~2 rи амплитуда рассеяния запишется в виде ряда0 m 2 Z Zmeik|~r −~r |∗f (θ) = −hψ|V̂|ψi+ϕ(~r)V (~r )V (~r 0 )d3 rd3 r0 +. . . .bab202π~2π~|~r − ~r |Если ряд сходится, то его первые N членов дают N -е борновское прили.Дифференциальное сечение упругого рассеяния (отношение числа рассеянных в dΩ частиц к плотности потока падающих частиц)жениеdσ =k|f (θ)|2 dΩ = |f (θ)|2 dΩka(k = ka для упругого рассеяния)В 1м борновском приближенииdσ(б )2 m 2 =h ψb | V̂ | ϕa i dΩ.22π~142ws :)oalexandrВ случае центрального поляf(б )2m(θ) = − 2~∞Zr0sin(~q~r)V (r)dr,~rгде ~q = ~k − ~k0 - изменение импульса при рассеянии, |q| = 2k sin(θ/2).Пусть τ = ka, где a - характерная длина (расстояние действия) потенциала.
Тогда для медленных частиц (τ . 1)2mf (θ) = − 2~Z∞r2 V (r)dr0Для быстрых частиц (τ 1) главный вклад в f (θ) даёт область малыхзначений углов (θ . 1/τ ), т.е. быстрые частицы рассеиваются в основномвперёд, т.к. интеграл отличен от нуля только в области максимума функции бесселя.Z+∞r2 j0 (|q| |r|)U (r)dr,2mf (θ) = − 2~0j0 (x) =sin(x)x- сферическая ф-ция БесселяПарциальное разложение амплитуды рассеяния: Пусть потенциал обладает сферической симметрией - тогда сохраняется момент импульса - тогда падающую волну можно рассматривать как суперпозицию+∞P lпарциальных волн (с разным моментом импульса): ϕa (r) =i (2l +l=01)Pl (cos(θ))jl (kr).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
