PDF-лекции (1160463), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Äëÿ îïðåäåëåííîñòèfvm g âîçðàñòàåò, ò.å. ÷òî âñå vm vm 1 íåîòðèöàòåëüíû. Òîãäàv^m v^m 1 ==ò.å.Xkak m vmXkXkak m vm 1 =kXkak m+1 vm =ak m (vm vm 1 );v^m v^m 1 0:Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ äîêàçàíà.Äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü, íàïðèìåð, ak0n =vmÒîãäàXak m vmäîïóñòèì, ÷òîv^010< 0: Ïîëîæèìïðè m k0 ;ïðè m < k0 :v^ 1 = ak0 < 0;÷òî íåâîçìîæíî, åñëè ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñõåìà ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.Äëÿ ìîíîòîííûõ ñõåì ëåãêî îáîñíîâûâàåòñÿ óñòîé÷èâîñòü.
 ñàìîì äåëå, åñëè âñå åå êîýèöèåíòû ak 0 è, êðîìå òîãî,Xak = 1;(9.37)kòîXmaxjv^ j < jak m j maxjv j:(9.38)m mm mkÏðè íàøèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ìîíîòîííîñòè ñõåì âèäà (9.36) è ñïðàâåäëèâîñòè óñëîâèÿ (9.37),èç íåðàâåíñòâà (9.38) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâîmaxjv^ j < maxjv j;m mm mêîòîðîå è îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü. Óñëîâèå (9.37) ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî åñòåñòâåííûì äëÿ ñõåì,àïïðîêñèìèðóþùèõ ìíîãèå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, è îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèé u = onst ÿâëÿåòñÿ òàêæå ðåøåíèåì è ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé (9.36).30 ðàáîòå [19℄ äîêàçàíî, ÷òî ñðåäè ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ (9.14) íåò ñõåìû, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ìîíîòîííîñòè. Ïîýòîìó ïðèïðîâåäåíèè ðàñ÷åòà ïî ñõåìå âòîðîãî ïîðÿäêà ìîãóò ïîëó÷àòüñÿ ãðàèêè ðåøåíèÿ ïðèìåðíî òàêîãî âèäà, êàê íà ðèñ. 2.
Íà íåì èçîáðàæåí ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé ïðè ðàñ÷åòå çàäà÷è (9.14),(9.19) ïî ðàçíîñòíîé ñõåìå "òðåíîãà", àïïðîêñèìèðóþùåé åãî ñî âòîðûì ïîðÿäêîìòî÷íîñòè. ðàèê ñîîòâåòñòâóåò âðåìåíè t = 1 è ïîëó÷åí ïðè h = 0:1; a = 1 è = 0:1. Ïðèâåäåííûé ãðàèê ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè òàêèõ ñõåì â ñëó÷àÿõ, êîãäà ÷èñëî ìàëî(â êâàçèëèíåéíûõ çàäà÷àõ, êàê ïðàâèëî, äåëî îáñòîèò èìåííî òàê), íåîáõîäèìû ñïåöèàëüíûå ìåðû ïî ïîäàâëåíèþ âîçíèêàþùèõ îñöèëëÿöèé (ÿâëåíèÿ èááñà). Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ,èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1, ÿâëÿåòñÿ ãðàèêîì ñåòî÷íîé óíêöèè ïðè t = 1, ïîëó÷åííîé ïîñõåìå (9.29) ïðè òåõ æå ïàðàìåòðàõ h = 0:1; a = 1 è = 0:1.Ñïîñîáàìè áîðüáû ñ ÿâëåíèåì èááñà ÿâëÿþòñÿ ââåäåíèå â ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ÷ëåíîâ, íàçûâàåìûõ èñêóññòâåííîé âÿçêîñòüþ, èëè ïðèíóäèòåëüíîå ñãëàæèâàíèå ðåçóëüòàòîâ.
Ê ïîñëåäíèì ìîæíî îòíåñòè è ïîñòðîåíèå ñèììåòðè÷íûõ ÷åáûøåâñêèõèëüòðîâ [21℄.  ýòîé ðàáîòå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû óñïåøíîãî ïîäàâëåíèÿ âûñîêî÷àñòîòíûõ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ ñåòî÷íîãî ðåøåíèÿ â ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå äëÿ ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿýòèì ñïîñîáîì. Äðóãîé ïîäõîä ê ýòîé ïðîáëåìå ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè íåëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõìåòîäîâ äëÿ ðàñ÷åòà ðàçðûâíûõ ðåøåíèé. Ïðèìåðû òàêèõ ñõåì îïèñàíû â ðàçäåëå 6.9.6Âûâîäûàçíîñòíàÿ ñõåìà (9.1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (9.2) ïðè óñëîâèè, ÷òî øàãè ñåòêè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ óñòîé÷èâîñòè (9.35).Ïðè ýòîì ïðè âû÷èñëåíèÿõ ãëàäêèõ ðåøåíèé íà îñíîâàíèè òåîðåìû Ôèëèïïîâà [4℄ î ñâÿçèàïïðîêñèìàöèè, óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè áóäåò âûïîëíåíà îöåíêà ìåæäó òî÷íûì è ïðèáëèæåííûì ðåøåíèÿìè ïîðÿäêà O( + h), ÷òî äîëæíî ïîäòâåðæäàòüñÿ ðàñ÷åòàìè òåñòîâûõ=ïðèìåðîâ.
Ïðè ðàñ÷åòàõ ðàçðûâíûõ ðåøåíèé èçó÷åííàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà áóäåò èìåòü äèññèïàòèâíûé õàðàêòåð.1010.1×èñëåííûå ýêïåðèìåíòûÏîñòàíîâêà ðàçíîñòíîé çàäà÷èèñ. 7.Ïåðâîå, ÷òî òðåáóåòñÿ ñäåëàòü äëÿ ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïî ðåøåíèþ çàäà÷è (9.2) ,(9.3) ïî ñõåìå (9.1), ýòî îãðàíè÷èòü ðàñ÷åòíóþ îáëàñòü ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé. Äëÿýòîãî çàìåòèì, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è (9.2), (9.3) èìåþò òàíãåíñ óãëàíàêëîíà ê îñè x â ïðåäåëàõ îò 0,5 äî +1 (ñì ðèñ. 7). Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå ïðèx < 0 áóäåò ðàâíî 1 ïðè ëþáîì âðåìåíè t, ïîýòîìó ìîæíî îãðàíè÷èòü ðàñ÷åòíóþ îáëàñòüñëåâà ïðÿìîé x = 0, ïîñòàâèâ ïðè ýòîì íà íåé ãðàíè÷íîå óñëîâèå u = 1. Íàñ èíòåðåñóåòðåøåíèå ïðè âðåìåíè t = 1.
Ëþáàÿ õàðàêòåðèñòèêà çàäà÷è (9.2), (9.3), âûõîäÿùàÿ èç òî÷êèñ êîîðäèíàòàìè (0; x0 ), ãäå x0 1, ïðè t = 1 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (1; x),ãäå x 2. Ñëåäîâàòåëüíî, âî âñåõ òî÷êàõ (t; x) òàêèõ, ÷òî t 1 è x > 2, ðåøåíèå ðàâíî 0.Ïîýòîìó ñïðàâà ðàñ÷åòíóþ îáëàñòü äëÿ ñõåìû (9.1) ìîæíî îãðàíè÷èòü ïðÿìîé x = 2.31Çàìå÷àíèå. Òàêîå îãðàíè÷åíèå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíûì, ïîñêîëüêó äëÿ ðåàëèçàöèè ñõåìû (9.1) íà ïðàâîé ãðàíèöå îáëàñòè çàäàâàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íå òðåáóåòñÿ, íî, åñëè áûýòî áûëî íåîáõîäèìî, ìîæíî áûëî áû ñ÷èòàòü, ÷òî óíêöèÿ u ðàâíà íóëþ â òî÷êàõ ïðÿìîéx = 2 + , ãäå h (h- øàã ñåòêè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé).Èòàê, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (9.2), (9.3) ïðè t = 1, äîñòàòî÷íî ðåøèòü óðàâíåíèå (9.2) â îáëàñòèQT = f(t; x) j 0 < t 1; 0 < x 2g(10.1)ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìu0 (x) =è ãðàíè÷íûì óñëîâèåì1 xïðè 0 x 1;0ïðè 1 < x 2;ïðè 0 t 1:u(t; 0) = 1(10.2)(10.3)åøèâ çàäà÷ó (9.2), (10.2), (10.3), ìû ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (9.2), (9.3) ïðè t = 1 äëÿèç îòðåçêà [0; 2℄.
Ïðè x < 0, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, óíêöèÿ u(1; x) = 1, à ïðè x > 2ðàâíà 0.Äëÿ çàäà÷è (9.2) - (9.3) ìîæíî âûïèñàòü òî÷íîå ðåøåíèå, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðèåé, èçëîæåííîé â ïàðàãðàå "Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà". Çàìåòèì, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè, âûïóùåííûå èç òî÷åê ïðÿìîé t = 0, íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðè t < 0; 5.Cëåäîâàòåëüíî, ïðè t < 0; 5 ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è áóäåò íåïðåðûâíîé óíêöèåé, çàäàâàåìîéïðè êàæäîì t 2 (0; 0; 5) îðìóëîéxu(t; x) =8<:1ïðè x < 2t;(1 x)=(1 2t)0ïðè x > 1:ïðè 2t x 1;Ïðè ýòèõ t óíêöèþ u ìîæíî ïîíèìàòü, êàê ðåøåíèå çàäà÷è (9.2) - (9.3) â øèðîêîìñìûñëå. Ïðè t = 0; 5 ðåøåíèå ñòàíîâèòñÿ ðàçðûâíûìu(1=2; x) =10ïðè x 1;ïðè x > 1:àçðûâ ó óíêöèè u áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ïðè t > 0; 5, ÷òî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ "íåóáûâàíèÿýíòðîïèè".
Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ðàçðûâà íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ ýíêèíà-þãîíèî.  íàøåìñëó÷àå îíà ðàâíà 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t 2 [0; 5; 1℄ ðåøåíèå çàäà÷è (9.2) - (9.3) çàäàåòñÿîðìóëîéïðè x t + 0; 5;u(t; x) = 10(10.4)ïðè x > t + 0; 5:Çàìåòèì, ÷òî óíêöèþ (10.4) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåøåíèå çàäà÷è (9.2) - (9.3) òîëüêîâ îáîáùåííîì ñìûñëå.10.2Òåñòèðîâàíèå íà çàäà÷å ñ èçâåñòíûì ãëàäêèì ðåøåíèåìÍà÷íåì òåñòèðîâàíèå ñõåìûvt + v2 x = 0;(10.5)ñ ïîñòàíîâêè è ðàñ÷åòà çàäà÷è, îáëàäàþùåé èçâåñòíûì ãëàäêèì ðåøåíèåì.  îáùåì ñëó÷àåýòîò ïîäõîä îïèñàí â çàêëþ÷åíèè ê êíèãå [4℄ . Ïðèìåíèì åãî ê èññëåäóåìîé çàäà÷å.
Äëÿ ýòîãîâîçüìåì ãëàäêóþ óíêöèþ. Íàïðèìåð,u(t; x) = et os(x)(10.6)uu+a =ftx(10.7)è âûáåðåì ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ32òàêîé, ÷òîáû ýòà óíêöèÿ ÿâëÿëàñü òî÷íûì ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Åñëèðàâíûì 1, òî f áóäåò ðàâíàf (t; x) = et (os(x) sin(x)):aïîëîæèòüÇàäàâ íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â îáëàñòèQT = f(t; x) j 0 < t 1; 0 < x 2g(10.8)â âèäå çíà÷åíèé óíêöèè (10.6) â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõïðè 0 x 2;u0 (x) = os(x) sin(x);(10.9)ïðè 0 t 1;u(t; 0) = et ;(10.10)ïðèìåíèì ñõåìó (10.5) äëÿ ðàñ÷åòà ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.Ïîëó÷åííîå ðàçíîñòíîå ðåøåíèå ñðàâíèì ñ òî÷íûì ðåøåíèåì äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è (10.6).
Çíà÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ íîðì àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòåé ðàçíîñòíîãîðåøåíèÿ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1:.100.010.001.100.010.001.100.010.001h.100.100.100.010.010.010.001.001.001(v)Ch.130D+00.684D-01.628D-01.232D+09.137D-01.742D-02.347D+18.831+121.138D-02(v)L1;h.155D+00.868D-01.802D-01.865D+07.164D-01.904D-02.127D+16.103+120.165D-02Æ(v)Ch.486D-01.254D-01.233D-01.100D+01.504D-02.273D-02.100D+01.100D+01.507D-03Æ(v)L1;h.561D-01.308D-01.284D-01.100D+01.557D-02.307D-02.100D+01.100D+01.557D-03Òàáëèöà 1.åçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ, ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 1, ïîäòâåðæäàþò âûâîäû, ñäåëàííûå íàîñíîâå òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (10.5), îá óñòîé÷èâîñòè è îöåíêå ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ ê òî÷íîìó ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì ïî øàãàì ñåòêè è h, ðàçóìååòñÿïðè íàëè÷èè ãëàäêîñòè ïîñëåäíåãî.àññìîòðèì âîïðîñ î òî÷íîñòè ïðèáëèæåííûõ îöåíîê ïîãðåøíîñòè (v; v k ) è Æ (v; v k )ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ v , ïîëó÷åííûõ íà îñíîâàíèè ñðàâíåíèÿ ñ ðàçíîñòíûì ðåøåíèåì v k .åøåíèÿ v k k = 1; 2; 3; 4 âû÷èñëÿþòñÿ íà ñåòêàõ ñ øàãàìèk = =2k ;hk = h=2k ; è h øàãè ñåòêè, íà êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ðåøåíèå v.åçóëüòàòû âû÷èñëåíèé çàíåñåíû â òàáëèöû 2 è 3.
Òàáëèöà 2 ñîîòâåòñòâóåòh = 0; 1, à òàáëèöà 3 = 0; 01, h = 0; 01.ãäåv1v2v3v4u(v; )Ch.633D-01.964D-01.113D+00.122D+00.130D+00(v; )L1;h.749D-01.114D+00.134D+00.145D+00.155D+00Æ(v; )Ch.236D-01.360D-01.423D-01.454D-01.486D-01Òàáëèöà 2.33Æ(v; )L1;h.271D-01.414D-01.487D-01.524D-01.561D-01 = 0; 1,(v; )Cv1v2v3v4u(v; )L1h;h.683D-02.103D-01.120D-01.128D-01.137D-01.817D-02.123D-01.143D-01.154D-01.164D-01Æ(v; )Ch.251D-02.378D-02.441D-02.473D-02.504D-02Æ(v; )L1;h.278D-02.417D-02.487D-02.522D-02.557D-02Òàáëèöà 3.Àíàëèç òàáëèö 2 è 3 ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ âåëè÷èí (v; v k ) è Æ (v; v k )ìîæíî îïðåäåëÿòü ïîðÿäîê àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòåé ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ.10.3àñ÷åò ëèíåéíîé çàäà÷èÒåïåðü ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïî ñõåìåçàäà÷è, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåìñ íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìèu0 (x) =vt + 0:5vx = 0(10.11)uu+ 0:5 = 0tx(10.12)1 xïðè 0 x 1;0ïðè 1 < x 2;(10.13)u(t; 0) = 1â îáëàñòèïðè 0 t 1(10.14)QT = f(t; x) j 0 < t 1; 0 x 2g :åøåíèåì â øèðîêîì ñìûñëå ýòîé äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ, çàäàâàåìàÿ îðìóëîé8ïðè x < t=2;< 1ïðè t=2 x t=2 + 1;u(t; x) = 1 + t=2 x:0ïðè x > t=2 + 1:Ýòà óíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèðóåìîé â îáëàñòè QT , ïîýòîìó êëàññè÷åñêèå îöåíêè ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, âåðíûå äëÿ ãëàäêèõ ðåøåíèé, â äàííîì ñëó÷àåíåâåðíû.
Äîêàçàòåëüñòâî îöåíîê òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé äëÿ íåãëàäêèõ ðåøåíèé ãîðàçäî áîëåå ñëîæíîå. Îêàçûâàåòñÿ [2, 3, 8℄ , ÷òî ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (10.12) - (10.14) ïîñõåìå (10.11) ñ ñîáëþäåíèåì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè 2h, ïîëó÷àåòñÿðàçíîñòíîå ðåøåíèå ñpîöåíêîé ïîãðåøíîñòè â íîðìàõ ïðîñòðàíñòâ Ch è L1;h ïîðÿäêà h.åçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïî ðàñ÷åòó çàäà÷è (10.12) - (10.14) ïî ñõåìå (10.11)ïðèâåäåíû â òàáëèöå 4.  ýòîé òàáëèöå ñîäåðæàòñÿ âåëè÷èíû ðàçëè÷íûõ íîðì àáñîëþòíîé èîòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà ðàçëè÷íûõ ñåòêàõ ïðè t = 1..100.010.001.100.010.001.100.010.001h.100.100.100.010.010.010.001.001.001(v)Ch.615D-01.855D-01.875D-01.233D+07.199D-01.274D-01.618D+16.536D+91.631D-02(v)L1;h.250D-01.472D-01.494D-01.174D+06.250D-02.475D-02.452D+14.133D+90.250D-03Òàáëèöà 4.34Æ(v)Ch.615D-01.856D-01.876D-01.100D+01.199D-01.274D-01.100D+01.100D+01.631D-02Æ(v)L1;h.263D-01.497D-01.520D-01.100D+01.251D-02.477D-02.100D+01.100D+01.250D-03 ÷àñòíîñòè, èç äàííîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî òåîðåòè÷åñêèå îöåíêèp ïîäòâåðæäàþòñÿ ïðîâåäåííûìè ðàñ÷åòàìè, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
