PDF-лекции (1160463), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äëÿ èçáåæàíèÿ âëèÿíèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê ðàçðûâàóíêöèè u0 íà çíà÷åíèå â òî÷êå ((n + 1=2); (m + 1=2)h) øàã âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿmaxjF 0 (vmn )j h < 1:mÈç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ìåòîä îäóíîâà â îïèñàííîì çäåñü âàðèàíòå ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåò âîçìîæíîñòü òî÷íî ðåøèòü äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1) çàäà÷ó Êîøè ñ íà÷àëüíîé óíêöèåéâèäàu0 (x) =u ; x < 0;u+ ; x > 0;(5.2)è u+ ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.Òàêàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé èìàíà î ðàñïàäå ðàçðûâà. Äëÿ åå ðåøåíèÿ òðåáóåòñÿçíàòü òåîðèþ ðàçðûâíûõ îáîáùåííûõ ðåøåíèé äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1).  êîíöå ýòîé êíèãè âðàçäåëå 12.3 ïðèâåäåíî ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è äëÿ óíêöèè F (u) = u2 è â ðàçäåëàõ 12.4 è 12.5îïèñàí ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è äëÿ âûïóêëîé è íåâûïóêëîé óíêöèè F (u)ñîîòâåòñòâåííî.ãäå6uÓäàðîóëàâëèâàþùèå ðàçíîñòíûå ñõåìûÄëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîé òî÷íîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êàê â ðàçðûâíûõ, òàê è â ãëàäêèõîáëàñòÿõ ïðåäëîæåíû óäàðîóëàâëèâàþùèå ñõåìû, íàçûâàåìûå ñõåìàìè âûñîêîãî ðàçðåøåíèÿ.
Îñíîâíàÿ èäåÿ, ñòîÿùàÿ çà âñåìè ïîäîáíûìè ñõåìàìè, êàê ìîæíî áîëüøå èñïîëüçîâàòüñõåìû âûñøèõ ïîðÿäêîâ â îáëàñòÿõ ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ è â òî æå âðåìÿ ðàçóìíî äîáàâëÿòüäîñòàòî÷íîå ðàññåÿíèå â ëîêàëèçîâàííóþ îáëàñòü âûñîêîãî ãðàäèåíòà ñ òåì, ÷òîáû èçáåæàòüâîçìîæíîé ÷èñëåííîé îñöèëëÿöèè.  ðåçóëüòàòå óäàðîóëàâëèâàþùèå ñõåìû íåëèíåéíû äàæåïðè ïðèìåíåíèè èõ ê ëèíåéíûì çàäà÷àì.Îïèøåì ïðîñòåéøèå óäàðîóëàâëèâàþùèå ðàçíîñòíûå ñõåìû.
Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (1.1)ïî îáëàñòè Qnm = f(t; x)jn < t < (n + 1); (m 1=2)h < x < (m + 1=2)hg; ïîëó÷àåìZ (m+1=2)hZ (m+1=2)h(m 1=2)hu((n + 1); x)dx =9(m 1=2)hu(n; x)dxZ (n+1)F (t; (m + 1=2)h)dt +Z (n+1)F (t; (m 1=2)h)dt:nnÇàìåíèâ òî÷íûå èíòåãðàëû èõ ïðèáëèæåíèÿìè, ïîëó÷àåì ðàçíîñòíóþ ñõåìóv^ = v(ff);h m+1=2 m 1=2(6.1)â êîòîðîé ÷ëåíû fm+1=2 è fm 1=2 íàçûâàþòñÿ ãðàíè÷íûìè ïîòîêàìè è ÿâëÿþòñÿ óíêöèÿìèF íà îäíîì èëè áîëåå âðåìåííûõ ñëîÿõ.
Ïðàâèëüíîå âû÷èñëåíèå ãðàíè÷íûõ ïîòîêîâ ÿâëÿåòñÿêëþ÷îì ê ïîñòðîåíèþ õîðîøåé ðàçíîñòíîé ñõåìû.Òðè êëàññè÷åñêèå ñõåìû, íàçûâàåìûå ïðîòèâîïîòîêîâàÿ (3.1,3.2,3.8), ñ öåíòðàëüíîé ðàçíîñòüþ (3.3) è "òðåíîãà"(3.7), èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãðàíè÷íûõ ïîòîêîâ.ðàíè÷íûé ïîòîê â ïðîòèâîïîòîêîâîé ñõåìå ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæíî çàïèñàòü â âèäåF+FfmUP+1=2 = m+1 m2èëèãäåÑêîðîñòü âîëíûFFmsign(am+1=2 ) m+12(6.2)jam+1=2 j m2+1=2 ;(6.3)F+FfmUP+1=2 = m+1 m2a âû÷èñëÿåòñÿ êàêam+1=2 =8><>:m+1=2 = vm+1Fm+1 Fm;m+1=2F; èíà÷å:uvm :åñëè m+1=2(6.4)6= 0;(6.5)Âûáîð ãðàíè÷íîãî ïîòîêà â âèäå (6.3) ìîæåò íå óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè (ñì.
ðàçäåë 12.2), ïîýòîìó jam+1=2 j çàìåíÿåòñÿ íà (am+1=2 ), êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿêàê(am+1=2 ) = max(jam+1=2 j; Æ);(6.6)ãäåÆ ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.ðàíè÷íûé ïîòîê â ñõåìå ñ öåíòðàëüíîé ðàçíîñòüþ çàïèñûâàåòñÿ â âèäåFm+1 + FmfmCN:+1=2 =2(6.7) ñõåìå "òðåíîãà"(â çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðå îíà íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Ëàêñà-Âåíäðîà)ïîòîê îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìFm+1 + FmfmLW+1=2 =2a2m+1=2m+1=2 :2h(6.8)Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðîòèâîïîòîêîâàÿ ñõåìà ñëèøêîì äèññèïàòèâíàÿ, â òî âðåìÿ êàêñõåìû ñ öåíòðàëüíîé ðàçíîñòüþ è "òðåíîãà"ñëèøêîì äèñïåðñèîííûå â îáëàñòè ñèëüíûõ ãðàäèåíòîâ (ñì. ðàçäåë 9.3).àññìîòðèì, ñëåäóÿ [18℄, äâà ïîäõîäà äëÿ ïîñòðîåíèÿ óäàðîóëàâëèâàþùèõ ñõåì: àëãåáðàè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé.106.1Àëãåáðàè÷åñêèé ïîäõîäÁîëüøèíñòâî ìåòîäîâ, ñîçäàííûõ íà îñíîâå àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, èñïîëüçóþò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãðàíè÷íûõ ïîòîêîâ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ïðèáëèæåíèé íèçêîãî f L è âûñîêîãî f Hïîðÿäêîâ:fm+1=2 = fmL +1=2 + m+1=2 (fmH+1=2 fmL +1=2):(6.9)TVD-ñõåìûÊëþ÷ ê óñïåõó â àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå çàêëþ÷àåòñÿ â ïðàâèëüíîì âû÷èñëåíèè âåñîâîéóíêöèè m+1=2 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ðåøåíèå, âû÷èñëåííîå ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷èñëåííîãîïîòîêà, îïðåäåëåííîãî ïî îðìóëå (6.9) óäîâëåòâîðÿëî íåêîòîðûì æåëàòåëüíûì òðåáîâàíèÿì.
Îäíî èç òàêèõ òðåáîâàíèé, íàçâàííîå óìåíüøåíèåì îáùåé âàðèàöèè (total variationdiminishing, TVD), ïðåäëîæåíî äëÿ ðàçðàáîòêè ñâîáîäíûõ îò îñöèëëÿöèè ñõåì.I.fmL +1=2 = fmUP+1=2 ;fmH+1=2 = fmLW+1=2 :(6.10)Âåñîâàÿ óíêöèÿ âû÷èñëÿåòñÿ îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ:(r)1 = minimod(1; r);r + jrj;1+r(r)3 = max(0; min(2; 2r; (1 + r)=2));(r)4 = max(0; min(2r; 1); min(r; 2));(r+ ; r )5 = minimod(1; r+ ; r );(r+ ; r )6 = minimod(1; r+ ) + minimod(1; r ) 1;r+ + r(r+ ; r )7 = max(0; min(2; 2r+ ; 2r ;))):2(r)2 =Ôóíêöèÿ(6.11)(6.12)(6.13)(6.14)(6.15)(6.16)(6.17)minimod îò äâóõ àðãóìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàêminimod(a; b) = sign(a) max(0; min(jaj; sign(a) b)):(6.18)"Òðåõàðãóìåíòíàÿ"óíêöèÿ minimod, èñïîëüçóåìàÿ â (6.15), ðàâíà íàèìåíüøåìó ïî ìîäóëþ àðãóìåíòó, åñëè âñå àðãóìåíòû îäíîãî çíàêà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå åå çíà÷åíèå áåðåòñÿðàâíûì íóëþ.Äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå âåñîâûå óíêöèè ìîæíî ïîëó÷àòü, èñïîëüçóÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå óíêöèè (r) èç (6.11)-(6.14) ïî ñëåäóþùåé îðìóëå(r+ ; r ) = (r+ ) + (r ) ;ãäå êîíñòàíòà ìîæåò áûòü 1 (äëÿ minimod) èëè 2 (äëÿ äðóãèõ).Âåëè÷èíà r âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëår=ãäå(jam+1=2 j a2m+1=2 )m+1=2 ;(jam+1=2 j a2m+1=2 )m+1=2 = sign(am+1=2 ), âåëè÷èíû r+ è r(6.19)îïðåäåëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìèr+ = m+1=2+1 ;m+1=2r = m+1=2 1 :m+1=211(6.20)II.fmL +1=2 = fmUP+1=2 ;fmH+1=2 = fmCN+1=2 :(6.21)Âåñîâàÿ óíêöèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìhr i 1+3 minimod ; 1 +minimod(1; r!);4!4(r) =ãäå! ïàðàìåòð ñæàòèÿ, îïðåäåëÿåìûé êàê1!Âåëè÷èíà3 :1 ìîæåò ïðèíèìàòü îäíî èç ñëåäóþùèõ çíà÷åíèé1;Îòíîøåíèå1=3;0;1=3;1=2;1:r îïðåäåëÿåòñÿ êàêar = m+1=2 m+1=2 ;am+1=2 m+1=2(6.22) = sign(am+1=2 ).Âûøåïðèâåäåííàÿ ñõåìà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî âðåìåíè.
Ïîâûñèòü åãî ìîæíîçà ñ÷åò çàìåíû ýéëåðîâñêîé âðåìåííîé äèñêðåòèçàöèè (6.1) êàêèì-ëèáî ëèíåéíûì ìíîãîøàãîâûì ìåòîäîì, òàêèì êàê äèñêðåòèçàöèÿ óíãå-Êóòòà. Íàïðèìåð,ãäå nn+1=2 = v nvmm 2h fm+1=2 n+1=2n+1 = v nvmm h fm+1=2fmn 1=2 ;fmn+11==22 :(6.23)III.(r+ ) + (r ) LWfm+1=2 = fmUP+1=2 +(fm+1=2 fmUP+1=2 )2(6.24)1( (am+1=2 + m+1=2 )(am+1=2 ))m+1=2 ;2+ãäå óíêöèè , a, , r è r îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè (6.4)-(6.6) è (6.20) ñîîòâåòñòâåííî.Êîýèöèåíò çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì8(am+1=2 ) a2m+1=2 < Fm+1 Fm ; åñëè m+1=2 6= 0;m+1=2 =m+1=2:20; åñëè m+1=2 = 0:Âûáîð âåñîâîé óíêöèÿäå (6.10).ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí îäíèì èç ñïîñîáîâ, îïèñàííûõ â ìåòîIY.Ïðåäñòàâèì óíêöèþFâ òî÷êåm â âèäå ñóììûFm = F + + F ;ãäåFm+ = F (a+m );a+m = max(vm ; 0);Fm = F (am );am = min(vm ; 0):12 ëèòåðàòóðå ýòó îïåðàöèþ íàçûâàþò ðàñùåïëåíèåì ïîòîêà.Ïîòîê â ïðîòèâîïîòîêîâîé ñõåìå â òåðìèíàõ ðàñùåïëåíèÿ ïîòîêà çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìfmUP+1=2 = Fm+ + Fm+1 ;à ïîòîê â ñõåìå òðåíîãàFm + Fm+1fmLW+1=2 =2a(F2h m+1=2 m+1Fm ): ðåçóëüòàòå, TVD ïîòîê ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå (r+ ) + m+1 (r ) LW(fm+1=2 fmUP+1=2 )fm+1=2 = fmUP+1=2 + m2m (r+ ) + m+1 (r ) +( Fm am+1=2 + (Fm+ Fm ));2(6.25)ãäå f++ fr+ = + + ;r =; f f+ = ( )m+1 ( )m ; = ( )m ( )m 1 :Âûáîð âåñîâîé óíêöèÿ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí îäíèì èç ñïîñîáîâ, îïèñàííûõ âäå (6.10).ìåòî-FCT-ñõåìûÂàæíûì ïîäêëàññîì TVD-ñõåì ÿâëÿþòñÿ ñõåìû íàçûâàåìûå ñõåìàìè ïîòîêà êîððåêòèðóþùåãî ïåðåíîñ (flux orreted transport, FCT).
 ñìûñëå ñîõðàíåíèÿ ìîíîòîííîñòè ðåøåíèÿFCT ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç òèïîâ TVD ñõåìû. Îòëè÷èå æå â òîì, ÷òî îáû÷íûå TVD ñõåìû(íàïðèìåð, ïðèâåäåííûå âûøå) îäíîøàãîâûå, òîãäà êàê ó FCT äâà øàãà. Äâóõøàãîâàÿ FCT ýòî, ïî ñóùåñòâó, ãèáðèäíàÿ ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç êîìáèíèðîâàííûõ ñõåì ïåðâîãî è âûñøåãî ïîðÿäêîâ. Îíà âû÷èñëÿåò ïðåäâàðèòåëüíûå äàííûå èç ñõåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà, à çàòåìèëüòðóåò ïîïðàâêó âûñøåãî ïîðÿäêà, èñïîëüçóÿ âåñîâûå ìíîæèòåëè, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòüïîÿâëåíèå íîâûõ ýêñòðåìóìîâ.
Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè, ãäå èñêîìàÿ óíêöèÿ èçìåíÿåòñÿïëàâíî, èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà âûñøåãî ïîðÿäêà.  îáëàñòè ðåçêîãî èçìåíåíèÿ èñêîìîé óíêöèèïðåäïî÷òåíèå îòäàåòñÿ ñõåìå íèçøåãî ïîðÿäêà.Ôîðìàëüíî, FCT ïðîöåäóðà òàêîâà:L1) âû÷èñëÿåòñÿ ïîòîê íèçêîãî ïîðÿäêà fm+1=2 ;H2) âû÷èñëÿåòñÿ ïîòîê âûñîêîãî ïîðÿäêà fm+1=2 ;3) îïðåäåëÿåòñÿ àíòèäèóçèîííûé ïîòîêAm+1=2 = fmH+1=2 fmL +1=2 ;4) âû÷èñëÿåòñÿ ðåøåíèå íèçêîãî ïîðÿäêàtd = v nvmm L(ffL);h m+1=2 m 1=25) îãðàíè÷èâàåòñÿ èëè êîððåêòèðóåòñÿ àíòèóçèîííûé ïîòîêA = A (A);6) âû÷èñëÿåòñÿ ðåøåíèå íà âåðõíåì âðåìåííîì ñëîå, èñïîëüçóÿ îãðàíè÷åííûé àíòèäèóçèîííûé ïîòîên+1 = v td (Avmm h m+1=2 Am 1=2 ):I.13Ïîòîê âûñîêîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ ñõåìîé òðåíîãà, à ïîòîê íèçêîãî ïîðÿäêà ïðîòèâîïîòîêîâîé ñõåìîé.
Îãðàíè÷åííûé àíòèäèóçèîííûé ïîòîê çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé îðìóëîénAm+1=2 = s max 0;tdtd ) s h(v td v td ) os h(vmvm+2+1 ;mm 1min jAm+1=2 j;;ãäå s = sign(Am+1=2 ).(6.26)II.Ïîòîê âûñîêîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîéfm+1=2 =8><>:31ff ;åñëè am+1=2 0;2 m 2 m 131ff ;åñëè am+1=2 < 0:2 m+2 2 m+1(6.27)Ïîòîê íèçêîãî ïîðÿäêà çàäàåòñÿ ïðîòèâîïîòîêîé ñõåìîé ïåðâîãî ïîðÿäêà, à îãðàíè÷åííûéàíòèäèóçèîííûé ïîòîê îðìóëîé (6.26).6.2åîìåòðè÷åñêèé ïîäõîä ãåîìåòðè÷åñêîì ïîäõîäå äåëÿþòñÿ ïîïûòêè âîññîçäàòü çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ v â êàæäîé ÿ÷åéêå, ïîä÷èíåííóþ îïðåäåëåííûì ìîíîòîííûì îãðàíè÷åíèÿì.
Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ ïåðåìåííàÿ v ïîëó÷àåò íà îáåèõ ñòîðîíàõ ãðàíèöû, vm+1=2;L è vm+1=2;R . ðàíè÷íûé ïîòîêçàòåì âû÷èñëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèáëèæåííîãî èëè òî÷íîãî ðèìàíîâà àïïàðàòà (ñì.ðàçäåë 12). Ïåðâûì ñõåìó òàêîãî ðîäà ïðåäëîæèë Ñ.Ê.îäóíîâ â ðàáîòå [19℄ (ñì. ðàçäåë 5).MUSCL-ñõåìûÌîæíî óâåëè÷èòü ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé, åñëè çàìåíèòü â ïåðâîíà÷àëüíîé ñõåìå îäóíîâà êóñî÷íî ïîñòîÿííóþ óíêöèþ íà íèæíåì ñëîå íàêóñî÷íî ëèíåéíóþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
