PDF-лекции (1160463), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ê., íàïðèìåð, âåëè÷èíû A;h = Æ (v )Ch = h ïðè ðàçëè÷íûõ øàãàõñåòêè ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâûìèA0;1 0;1 = 0; 195;A0;01 0;01 = 0; 199;A0;001 0;001 = 0; 199:Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ ïðè èêñèðîâàííîì øàãå h â çàâèñèìîñòè îòâåëè÷èíû øàãà . Ïðè ðàñ÷åòå òåñòîâîãî ïðèìåðà (ñì. òàáëèöó 1) áûëè ïîëó÷åíû âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðûå óáûâàëè ïðè óìåíüøåíèè . Òàêîéõàðàêòåð çàâèñèìîñòè îøèáêè îò øàãà áûë äîêàçàí ïðè òåîðåòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ðàçíîñòíîé ñõåìû, ò. ê. äëÿ ãëàäêèõ ðåøåíèé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè èç òåîðåìûÔèëèïïîâà ñëåäóåò îöåíêà âåëè÷èíûÆ(v)Ch C1 + C2 h: ñëó÷àå íåãëàäêîãî ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è îöåíêó (10.3) äîêàçàòü óæåíåëüçÿ. Áîëüøå òîãî, ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïîêàçûâàþò, ÷òî âåëè÷èíû Æ (v ) äàæå íåìíîãîóâåëè÷èâàþòñÿ ïðè îäíîì è òîì æå h ïðè óìåíüøåíèè .
Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ðåàëüíî ðåøàåòñÿ íå óðàâíåíèå (10.12), à óðàâíåíèå (9.13), ÿâëÿþùååñÿ äèåðåíöèàëüíûìïðèáëèæåíèåì èñïîëüçóåìîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.  ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (9.13) ïî ñðàâíåíèþ ñ óðàâíåíèåì (10.12) äîáàâëåíû åùå ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå îò ïðîèçâîäíûõ áîëüøåãîïîðÿäêà íåèçâåñòíîé óíêöèè, ñ êîýèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò øàãîâ ñåòêè. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàèáîëüøèé âêëàä â îòëè÷èå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.13) îò ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (10.12) ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ âíîñèò òî ñëàãàåìîå, ïåðåä êîòîðûì ñòîèò êîýèöèåíò, èìåþùèé íàèìåíüøèé ïîðÿäîê ìàëîñòè îò øàãîâ è h. Ýòèì ñëàãàåìûìÿâëÿåòñÿah2u(1 ) 2 :2xÏîñêîëüêó âåëè÷èíà = a èç óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ìåíüøå èëè ðàâíà 1hè a = 0; 5, ñëåäîâàòåëüíî, êîýèöèåíò ïðè âòîðîé ïðîèçâîäíîé óíêöèè u íåîòðèöàòåëåí.Ïîýòîìó çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿu ah2uu+ a = (1 ) 2tx 2x(10.15)ïðè t > 0 êîððåêòíà.
 ïàðàãðàå "Äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå"îáúÿñíåíî, ÷òî ïðàâàÿ÷àñòü òàêîãî âèäà âíîñèò ñãëàæèâàþùèé (äèññèïàòèâíûé) ýåêò â õàðàêòåð ðåøåíèÿ. Ñãëàæèâàíèå ïðîèñõîäèò òåì ñèëüíåå, ÷åì áîëüøèé êîýèöèåíò ñòîèò ïðè âòîðîé ïðîèçâîäíîéïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé. Åñëè øàã h íå ìåíÿòü, òî ñ óìåíüøåíèåì êîýèöèåíòah(1 ) óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîýòîìó äèññèïàòèâíûé ýåêò áóäåò ðàñòè. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè2óìåíüøåíèè h ïðè óñëîâèè 1 âêëàä ýòîãî ñëàãàåìîãî â ðåøåíèå áóäåò óìåíüøàòüñÿ.Êàê ðàç ýòî è íàáëþäàåòñÿ ïðè àíàëèçå äàííûõ òàáëèöû 4.
Èç ðåçóëüòàòîâ ñ÷åòà âèäíî, ÷òîñõåìà (10.11) îáëàäàåò äîâîëüíî ñèëüíûìè äèññèïàòèâíûìè ñâîéñòâàìè. ×àñòî êîýèöè-ahåíò(1 ) íàçûâàþò ñõåìíîé âÿçêîñòüþ, èíòåðïðåòèðóÿ ÿâëåíèå ñãëàæèâàíèÿ ðåøåíèÿ2ìåõàíè÷åñêîé àíàëîãèåé. òàáëèöàõ 5 è 6 ïðèâåäåíû âåëè÷èíû (v; v k )Ch è (v; v k )L1;h ñîîòâåòñòâåííî ïðè t = 1,ãäå óíêöèÿ v ðàçíîñòíîå ðåøåíèå íà ñåòêå ñ è h, óêàçàííûìè â âåðõíèõ ñòðîêàõ òàáëèö, à óíêöèÿ v k ðàçíîñòíîå ðåøåíèå íà ñåòêå ñ =2k è h=2k .
Èç ýòèõ òàáëèö âèäíî, ÷òî ïîâåëè÷èíàì (v; v k ) ìîæíî îöåíèòü ïîðÿäîê àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ.35 = 0:1h = 0:1v1v2v3v4u.175D-01.302D-01.393D-01.458D-01.615D-01 = 0:01h = 0:1.245D-01.422D-01.548D-01.638D-01.855D-01 = 0:01h = 0:01.581D-02.993D-02.128D-01.149D-01.199D-01Òàáëèöà 5. = 0:1h = 0:1v1v2v3v4u.112D-01.172D-01.202D-01.218D-01.250D-01 = 0:01h = 0:1.222D-01.338D-01.396D-01.426D-01.472D-01 = 0:01h = 0:01.124D-02.186D-02.217D-02.233D-02.250D-02Òàáëèöà 6. çàêëþ÷åíèè ïðèâåäåì ãðàèêè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ íà îíå òî÷íîãîèñ.
8.èñ. 9.äèåðåíöèàëüíîãî ðåøåíèÿ (ðèñ. 8) è ãðàèê îøèáêè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (ðèñ. 9)ïðè t = 1. Èñïîëüçîâàííûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàèêîâ äàííûå áûëè ïîëó÷åíû ïðè ðàñ÷åòàõ íàñåòêå = 0; 1 è h = 0; 1. Èç ýòèõ ãðàèêîâ õîðîøî âèäåí äèññèïàòèâíûé õàðàêòåð ðåøåíèÿðàçíîñòíîé ñõåìû (10.11).10.4àñ÷åò íåëèíåéíîé çàäà÷èÍîðìû ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (9.2), (10.2), (10.3), íàéäåííîãî ïîñõåìå (9.1) íà ðàçëè÷íûõ ñåòêàõ, ïðè t = 1 ïðèâåäåíû â òàáëèöå 7:.05000.00500.00050.00005.00500.00050.00005.00050.00005h.100.100.100.100.010.010.010.001.001(v)Ch.500D+00.552D+00.555D+00.556D+00.500D+00.543D+00.546D+00.500D+00.543D+00(v)L1;h.518D-01.829D-01.864D-01.867D-01.518D-02.795D-02.825D-02.518D-03.795D-03Òàáëèöà 7.36Æ(v)Ch.500D+00.552D+00.555D+00.556D+00.500D+00.543D+00.546D+00.500D+00.543D+00Æ(v)L1;h.357D-01.572D-01.596D-01.598D-01.347D-02.532D-02.552D-02.345D-03.530D-03Èç ýòîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî ñåòî÷íîå ðåøåíèå íå ñõîäèòñÿ ê îáîáùåííîìó ðåøåíèþ (10.4)ðåøàåìîé äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå Ch .
Âåëè÷èíû (v )L1;h èìåþò ïîðÿpäîê h, ÷òî ïîäòâåðæäàåò ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííîãî â ðàáîòàõ[2, 8℄. Òàêæå êàê è â ëèíåéíîì ñëó÷àå ïðè èêñèðîâàííîì h íàáëþäàåòñÿ íåáîëüøîé ðîñòâåëè÷èí (v )L1;h ïðè óìåíüøåíèè øàãà ïî âðåìåíè. Ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü íàëè÷èåì ó ñõåìû (9.1) ñõåìíîé âÿçêîñòè, âåëè÷èíà êîòîðîé ðàñòåò ñ óìåíüøåíèåì ïðè íåèçìåííîì h. òàáëèöàõ 8 è 9 ïðèâåäåíû âåëè÷èíû (v; v k )Ch è (v; v k )L1;h ñîîòâåòñòâåííî ïðè t = 1,ãäå óíêöèÿ v ðàçíîñòíîå ðåøåíèå íà ñåòêå ñ è h, óêàçàííûìè â ïåðâûõ ñòðîêàõ òàáëèö,à óíêöèÿ v k ðàçíîñòíîå ðåøåíèå íà ñåòêå ñ =2k è h=2k .v1v2v3v4u = 0:05h = 0:1.902D-02.902D-02.902D-02.902D-02.500D+00 = 0:005 = 0:0005h = 0:1h = 0:01.109D+00.122D+00.123D+00.123D+00.552D+00.101D+00.118D+00.119D+00.119D+00.543D+00Òàáëèöà 8.v1v2v3v4u = 0:05h = 0:1.180D-02.180D-02.180D-02.180D-02.518D-01 = 0:005 = 0:0005h = 0:1h = 0:01.253D-01.284D-01.285D-01.285D-01.829D-01.226D-02.251D-02.252D-02.252D-02.795D-02Òàáëèöà 9.Èç òàáëèö 8 è 9 âèäíî, ÷òî ïî âåëè÷èíàì (v; v k ) ìîæíî ïðèáëèçèòåëüíî îöåíèòü ïîðÿäîê àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ â íîðìå ïðîñòðàíñòâà L1;h , à â íîðìåïðîñòðàíñòâà Ch ýòà ìåòîäèêà ïðèâåäåò ê íåâåðíûì âûâîäàì.11Ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé ðàçíîñòíûõ ñõåìÑàìûìè ïðîñòûìè äëÿ ðåàëèçàöèè, áåçóñëîâíî, ÿâëÿþòñÿ ÿâíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû, â êîòîðûõ ÷àñòü äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà, â êîòîðóþ âõîäÿò ïðîèçâîäíûå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, àïïðîêñèìèðóåòñÿ íà óæå âû÷èñëåííûõ âðåìåííûõ ñëîÿõ.
 òàêèõñõåìàõ çíà÷åíèå ðåøåíèÿ â ëþáîé òî÷êå (n + 1)-âðåìåííîãî ñëîÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ íà ñëîÿõ ñ íîìåðàìè ìåíüøèìè èëè ðàâíûìè n. ×àñòü èç ïðèâåäåííûõ âûøåíåÿâíûõ èëè ñ âåñàìè ðàçíîñòíûõ ñõåì èñïîëüçóåò íà âåðõíåì âðåìåííîì ñëîå çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ âñåãî â äâóõ óçëàõ. Íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ íà âåðõíåì ñëîå â ýòîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ êïîñëåäîâàòåëüíîìó ðåøåíèþ ñåðèè íåëèíåéíûõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé.
Ïðèíöèïèàëüíî áîëååñëîæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿþòñÿ òå ñõåìû, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ íå ìåíåå òðåõ óçëîâ ñ âåðõíåãîñëîÿ.  ýòîì ñëó÷àå íàõîæäåíèå ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ òðåáóåò ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåëèíåéíûõóðàâíåíèé. Íèæå áóäóò îáñóæäàòüñÿ äâà ïîäõîäà â ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ýòèõ ñõåì.11.1Ëèíåàðèçîâàííûå íåÿâíûå ðàçíîñòíûå ñõåìûÎïèøåì ýòîò ïîäõîä íà ïðèìåðå öåíòðèðîâàííîé ïî âðåìåíè íåÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.Èäåÿ ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè óðàâíåíèÿ (1.1) â âèäå ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâàu(t + ; x) u(t; x) FF(u(t; x)) + (u(t + ; x))2 xx37ñ ïîñëåäóþùåé çàìåíîé âûðàæåíèÿF (u(t + ; x)) ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííîãî ñîîòíîøåíèÿFF (u(t + ; x)) F (u(t; x)) +(u(t; x)) (u(t + ; x) u(t; x)):uÒîãäàãäåA=u(t + ; x) u(t; x)F(u(t; x)).u F2 (u(t; x)) + (A(u(t + ; x) u(t; x))) :2 xxÈñïîëüçóÿ öåíòðàëüíûå ðàçíîñòè äëÿ àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêîì òî÷íîñòè, ïîëó÷àåìnAnm 1 n+1n+1 + Am+1 v n+1 =vm 1 + vm4h4h m+1 nA Fmn +1 Fmn 1 Anm 1 nn :=v+ vn + m+1 vm+1h24h m 1 m4h (11.1) ÷åðåçAnmîáîçíà÷åíî çíà÷åíèåF n(v ), à ÷åðåç Fmnv mçíà÷åíèåxñî âòîðûì ïî-(11.1)n ).F (vmÌåòîä (11.1) ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ðåøåíèÿ íà âåðõíåì âðåìåííîì ñëîå.Äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä "ïðîãîíêè"[4℄, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ðåøàòü èõçà ÷èñëî àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, ïðîïîðöèîíàëüíîå ÷èñëó íåèçâåñòíûõ.Áîëåå ïðîñòîé âèä íåÿâíûõ ëèíåàðèçîâàííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ïîëó÷àåòñÿ, åñëè èõ çàïèñàòü â òàê íàçûâàåìîé äåëüòà-îðìå, ò.å.
â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿþòñÿ äëÿ ïðèðàùåíèé âåëè÷èí è äëÿ ïîòîêîâ, âõîäÿùèõ â çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ïåðåïèøåìñõåìó (11.1), èñïîëüçóÿ äåëüòà-îðìó çàïèñè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü v = v^ v . Òîãäàóðàâíåíèå (11.1) çàïèøåòñÿ â âèäånAnm 1 nn + Am+1 v n = F n(11.2)vm 1 + vmFmn 1 :m+1m+14h4h2hÑèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îñòàëàñü òðåõäèàãîíàëüíîé, íî ÷èñëî ÷ëåíîâ â ïðàâîé ÷àñòè óìåíüøèëîñü. Ñâÿçàííîå ñ ýòèì ñîêðàùåíèå îáúåìà âû÷èñëåíèé ìîæåòîêàçàòüñÿ îñîáåííî ñóùåñòâåííûì ïðè àäàïòàöèè ýòîãî ìåòîäà äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé, êîãäà îáúåì âû÷èñëåíèé î÷åíü áîëüøîé.Ñõåìà (11.1) áåçóñëîâíî óñòîé÷èâà, íî äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ýòîé ñõåìû ñîäåðæèò òîëüêî ïðîèçâîäíûå íå÷åòíîãî ïîðÿäêà. Âñëåäñòâèå ýòîãî äëÿ êà÷åñòâåííîãî óëó÷øåíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ â óðàâíåíèå (11.1) ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü èñêóññòâåííóþ äèññèïàöèþ.
Ìîæíî, íàïðèìåð, â ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ äîáàâèòü ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûéðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà! nv8 m+2n + 6v n4vm+1mn + vn4vm1 m 2 ;íå èçìåíèâ îðìàëüíî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (11.1) ñ ÿâíûì äåìïèðóþùèì ÷ëåíîì óñòîé÷èâà ïðè0 < ! 1:Èñêóññòâåííóþ âÿçêîñòü ìîæíî ââîäèòü, äîáàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (11.1) ÷ëåí,ïðîïîðöèîíàëüíûé âòîðîé ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé. Êîýèöèåíò ïðè ýòîì íóæíî âûáèðàòüòàê, ÷òîáû îí, ïî âîçìîæíîñòè, íå ñèëüíî èñêàæàë ðàçíîñòíîå ðåøåíèå è â òî æå âðåìÿ ñãëàæèâàë îñöèëëÿöèè, ñâîéñòâåííûå ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (11.1). Óíèâåðñàëüíîãî ðåöåïòà òàêîãîâûáîðà ïðåäëîæèòü íåëüçÿ.
Äîáàâëÿòü âÿçêèé ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé âòîðîé ðàçíîñòíîéïðîèçâîäíîé, èìååò ñìûñë ñ âåðõíåãî ñëîÿ, ò.ê. ýòî èçìåíåíèå ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî áåçóñëîâíîéóñòîé÷èâîñòè ñõåìû è â òî æå âðåìÿ îñòàâëÿåò ìàòðèöó ïîëó÷àþùåéñÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõóðàâíåíèé òðåõäèàãîíàëüíîé.3811.2Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåìÏðèìåíåíèå îïèñàííîãî âûøå ìåòîäà ëèíåàðèçàöèè íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì äàëåêî íå âñåãäà ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî áåçóñëîâíîé óñòîé÷èâîñòè ñõåìû, ïîýòîìó ÷àñòî ðåøàþò íåëèíåéíûåñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ê êîòîðûì ñâîäèòñÿ ïîèñê ðåøåíèÿ íåÿâíîé ñõåìû íàêàæäîì âðåìåííîì ñëîå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîõðàíèòü áåçóñëîâíóþ óñòîé÷èâîñòü, èñïîëüçóþòäëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ ñèñòåì ìåòîä Íüþòîíà [4℄.Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Íüþòîíà ðàçáåðåì íà ïðèìåðå íåÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ñ öåíòðàëüíîé ðàçíîñòüþvt + (F (^v)) o = 0:(11.3)xÁóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû (11.3) èçâåñòíî íà ñëîå n, à íà (n + 1)-ñëîån+1 = u .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
