PDF-лекции (1160463)
Текст из файла
Ñîäåðæàíèå1Ââåäåíèå22Ïîñòàíîâêà çàäà÷è33Îäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû43.1 ßâíûå ñõåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Íåÿâíûå ñõåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Cõåìû ñ âåñàìè . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5664Cõåìû äëÿ êðàåâîé çàäà÷è75Cõåìà îäóíîâà96Óäàðîóëàâëèâàþùèå ðàçíîñòíûå ñõåìû96.1 Àëãåáðàè÷åñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 åîìåòðè÷åñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .789Ïðèìåðû äèåðåíöèàëüíûõ çàäà÷18Îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé19Òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû9.19.29.39.49.59.6Àïïðîêñèìàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .Äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå . . . . . .Äèññèïàòèâíûå è äèñïåðñèîííûå ñâîéñòâà .Óñòîé÷èâîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . .Óñëîâèå ìîíîòîííîñòè . . . . . . . . . . .
.Âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................21............................................................................................................. . . . . . .ðåøåíèåì. . . . . . .. . . . . . .....................................................10 ×èñëåííûå ýêïåðèìåíòû10.110.210.310.421222327303131Ïîñòàíîâêà ðàçíîñòíîé çàäà÷è . . . . . .
. . .Òåñòèðîâàíèå íà çàäà÷å ñ èçâåñòíûì ãëàäêèìàñ÷åò ëèíåéíîé çàäà÷è . . . . . . . . . . . .àñ÷åò íåëèíåéíîé çàäà÷è . . . . . . . . . . .11 Ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé ðàçíîñòíûõ ñõåì12 Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàÑâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ê íåÿâíîìó óíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþÎáîáùåííûå ðåøåíèÿ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷à èìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ Õîïà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷à èìàíà äëÿ âûïóêëîé óíêöèè ñîñòîÿíèÿ . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷à èìàíà äëÿ íåâûïóêëîé óíêöèè ñîñòîÿíèÿ . . . . . . . . . . . . . .Èñïîëüçîâàíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèé . . . . . . . . .àñïðîñòðàíåíèå äâóïîëÿðíîãî èìïóëüñà . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .313234363711.1 Ëèíåàðèçîâàííûå íåÿâíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.112.212.312.412.512.612.71114373940..............4043454748495313 Ïðèìåð çàäàíèé ïðàêòèêóìà56Ëèòåðàòóðà5811ÂâåäåíèåÌíîãèå èçè÷åñêèå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ êâàçèëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà,ïîýòîìó òðåáóåòñÿ ðåøàòü çàäà÷è, ïîñòàâëåííûå äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé.  òàêîãî ðîäà çàäà÷àõîäíîé èç íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, à èçè÷åñêèå ïðîöåññû,ìîäåëèðóåìûå èìè, ïðîòåêàþò äîñòàòî÷íî äîëãî.
Íåëîêàëüíàÿ òåîðèÿ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé ñîçäàåòñÿ íà÷èíàÿ ñ XYIII âåêà. Îñíîâíîé òðóäíîñòüþ ÿâèëàñü ïðîáëåìàîñîáåííîñòåé, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêàòü ó ãëàäêèõ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Äîëãîå âðåìÿ áûëè íåÿñíû äàæå ïîäõîäû ê âîïðîñó â êàêîì ñìûñëå ìîæíî ñ÷èòàòüðåøåíèåì äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ óíêöèþ, íå ïðèíàäëåæàùóþ ïðîñòðàíñòâó äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèé. Òîëüêî âî âòîðîé ïîëîâèíå XX âåêà áûëà ñîçäàíà òåîðèÿ îáîáùåííûõ ðåøåíèé êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ èìåíàìè Ý.Õîïà, Î.À.Îëåéíèê,À.Í.Òèõîíîâà, Ï.Ëàêñà, Î.À.Ëàäûæåíñêîé, È.Ì.åëüàíäà, Ñ.Í.Êðóæêîâà è ìíîãèõ äðóãèõ.Îñíîâíûå îñîáåííîñòè ó ðåøåíèé òàêèõ çàäà÷ áûâàþò äâóõ òèïîâ: ñëàáûå ðàçðûâû, êîãäàñàìî ðåøåíèå åùå íåïðåðûâíî, íî ðàçðûâíîé ñòàíîâèòñÿ ïðîèçâîäíàÿ, è ñèëüíûå ðàçðûâû,êîãäà çà êîíå÷íîå âðåìÿ ðåøåíèå ïðèîáðåòàåò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà.
Êðàòêî òåîðèÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ èçëîæåíà â ïàðàãðàå "Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêà"äàííîãî ïîñîáèÿ. Áîëåå ïîäðîáíî ñ íåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî êíèãàì [7, 10℄.Ïîñòðîåíèå òî÷íûõ ðåøåíèé ïðèêëàäíûõ çàäà÷ äàííîãî òèïà âîçìîæíî äàëåêî íå âñåãäà,ïîýòîìó ÷àñòî èñïîëüçóþò ÷èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ýòèõ ðåøåíèé. Âàæíîå ìåñòî ñðåäè ïðèìåíÿåìûõ ìåòîäîâ çàíèìàþò ðàçíîñòíûå ñõåìû.
Öåëîå ïîêîëåíèå ó÷åíûõ âñåãî ìèðà çàíèìàëîñü èõ ñîçäàíèåì, îáîñíîâàíèåì è âûÿñíåíèåì ãðàíèö èõïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ.  èõ ÷èñëå ðîññèéñêèå ó÷åíûå Í.Ñ.Áàõâàëîâ, Ñ.Ê.îäóíîâ,Í.Í.Êóçíåöîâ, À.À.Ñàìàðñêèé, Í.Í.ßíåíêî è ìíîãèå äðóãèå.Äàííûé ïðàêòèêóì ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçó÷åíèÿ ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ ñõåì êðåøåíèþ íåëèíåéíûõ çàäà÷ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Èìåííî ýòîò ñïîñîá ïîëîæåí â îñíîâóðåøåíèÿ ñëîæíûõ çàäà÷ ãàçîâîé äèíàìèêè, ãèäðîäèíàìèêè, àêóñòèêè, à òàêæå ìíîãèõ äðóãèõâàæíûõ çàäà÷ èçèêè è õèìèè [5, 20, 10, 13℄. Èçó÷åíèå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿïåðå÷èñëåííûõ çàäà÷ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåñòè íà ïðèìåðå îäíîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿu F (u)+= 0:tx(1.1)u jt=0 = u0 (x):(1.2)Ôóíêöèÿ u = u(t; x) íåèçâåñòíà è ïîäëåæèò îïðåäåëåíèþ.
Îíà çàâèñèò îò äâóõ ïåðåìåííûõ t (èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë âðåìåíè) è x (îäíîìåðíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà).Óðàâíåíèå (1.1) äîïîëíÿåòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì ïðè t = 0 íà èñêîìóþ óíêöèþ uÔóíêöèÿ F (u) ÿâëÿåòñÿ çàäàííîé. ×àñòî åå íàçûâàþò óíêöèåé ñîñòîÿíèÿ.Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.1) - (1.2) òðåáóåòñÿ íàéòè â ïîëîñåT = f(t; x) j 0 < t < T;1 < x < +1g :Ñîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à ñ îäíîé ñòîðîíû ñîõðàíÿåò â ñåáå âñå îñíîâíûå îñîáåííîñòèðåøåíèÿ ñëîæíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, à ñ äðóãîé ñòîðîíû ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî êîìïàêòíîé äëÿ ðåàëèçàöèè è äîñòóïíîé äëÿ ïîíèìàíèÿ â êà÷åñòâå ó÷åáíîé çàäà÷è.Ïîýòîìó íà åå ïðèìåðå óäîáíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ìåòîäû è òåõíîëîãèþèñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
Òàêèå çàäà÷è íàçûâàþòñÿ ìîäåëüíûìè. Áîëüøå òîãî, â çàäàíèÿõ ïðàêòèêóìà ïðèâåäåíû òàêèå óíêöèè F (u) èu0 (x), ÷òî çàäà÷à (1.1) - (1.2) èìååò òî÷íîå ðåøåíèå, âûïèñûâàåìîå â ÿâíîì âèäå. Ýòî ïîçâîëÿåò ñðàâíèòü ïîëó÷àåìîå ñåòî÷íîå ðåøåíèå ñ òî÷íûì, ïðîâåðèâ òåì ñàìûì òåîðåòè÷åñêèå èïðàêòè÷åñêèå îöåíêè òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ.Ïîñîáèå ñîäåðæèò âñå îñíîâíûå ñâåäåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà. Ïðè æåëàíèè ìîæíî áîëåå ïîäðîáíî îçíàêîìèòüñÿ ñ èñïîëüçóåìûìè ðàçäåëàìè òåîðèèïî êíèãàì, óêàçàííûì â áèáëèîãðàèè.2Õîòåëîñü áû ïîáëàãîäàðèòü àêàäåìèêà ÀÍ Í.Ñ. Áàõâàëîâà, äîöåíòîâ Â..
Äóøèíà, Å.À. Ëàïøèíà è Å.Â. ×èæîíêîâà çà âíèìàòåëüíîå ïðî÷òåíèå ðóêîïèñè ïîñîáèÿ è ñäåëàííûå çàìå÷àíèÿ. Òàêæå àâòîð áëàãîäàðèò äîöåíòà Ê.Þ. Áîãà÷åâà è ñòàðøåãî íàó÷íîãî ñîòðóäíèêàÀ.. ßêóøåâà çà ïîìîùü ïðè îîðìëåíèè îðèãèíàë-ìàêåòà êíèãè.2Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÇàäàíèå ïðàêòèêóìà ñîñòîèò â èçó÷åíèè âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ðàñ÷åòà îáîáùåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (1.1) - (1.2). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïðîâåñòè êàê òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ðàçíîñòíûõ ñõåì, òàê è ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.Âûáîð êîíêðåòíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è (1.1) - (1.2) è ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ åå ðàñ÷åòà îñòàåòñÿ çà ïðåïîäàâàòåëåì.
Ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì è ïîñòàíîâîê äèåðåíöèàëüíûõ çàäà÷ïðèâåäåíû íèæå.Ñîðìóëèðóåì òåïåðü ïîäðîáíî çàäàíèå ïðàêòèêóìà.1. Òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ñîñòîèò èç âûÿñíåíèÿ ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîéñõåìû íà ãëàäêèõ ðåøåíèÿõ äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è è èçó÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîéñõåìû êàê â ëèíåéíîì, òàê è â íåëèíåéíîì ñëó÷àÿõ.  íåëèíåéíîì ñëó÷àå ïðè âûïîëíåíèèçàäàíèé ïðàêòèêóìà èññëåäîâàíèå ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâîäèòü, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï çàìîðîæåííûõ êîýèöèåíòîâ ïî ñïåêòðàëüíîìó ïðèçíàêó óñòîé÷èâîñòè.
 ëèíåéíîì ñëó÷àå ñëåäóåòíàéòè äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå èññëåäóåìîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ñ òî÷íîñòüþ äî òðåòüåé ïðîèçâîäíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé è äàòü ïðîãíîç êàêèå ñâîéñòâà ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ â îñíîâíîì áóäóò íàáëþäàòüñÿ ïðè ÷èñëåííîì ýêñïåðèìåíòå: äèññèïàòèâíûåèëè äèñïåðñèîííûå. Ñ èñïîëüçîâàííûìè òåðìèíàìè è ìåòîäèêàìè èññëåäîâàíèÿ äàííûõ âîïðîñîâ áîëåå ãëóáîêî, ÷åì èçëîæåíî â ïðåäëàãàåìîì ïîñîáèè, ðåêîìåíäóåòñÿ çíàêîìèòüñÿïî ó÷åáíèêàì [4, 6, 11, 12℄. Ïðè âûâîäå äèåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåìïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü êíèãè [1, 14℄.  äàííîì ïîñîáèè ïðèâåäåí ïðèìåð òåîðåòè÷åñêîãîèññëåäîâàíèÿ ïðîñòåéøåé ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ çàäà÷è (1.1) - (1.2).2.
×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò ïðîâîäèòñÿ1) äëÿ òåñòà ñ èçâåñòíûì ãëàäêèì ðåøåíèåì [4℄,2) äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòàâëåííûì â çàäàíèè íà÷àëüíûì óñëîâèåì,3) äëÿ çàäà÷è, êîòîðàÿ äàíà â çàäàíèè.Âî âñåõ ñëó÷àÿõ òðåáóåòñÿ îöåíèòü àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ.
Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ïðèìåíèòü êàê ïðèáëèæåííûå îöåíêè, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ íà ðàçëè÷íûõ ñåòêàõ (ñìîòðè ïàðàãðà "Îöåíêèòî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèé"), òàê è òî÷íûå îöåíêè, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ïðîåêöèè íàñåòêó òî÷íîãî äèåðåíöèàëüíîãî ðåøåíèÿ, ïîñòðîåííîãî ïî ìåòîäèêå, èçëîæåííîé â ïàðàãðàå "Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà."Ñðàâíåíèå ñåòî÷íûõóíêöèé ñëåäóåò ïðîâîäèòü ïðè t = 1 â íîðìàõ, óêàçàííûõ â âûïîëíÿåìîì çàäàíèè. Ïðèìåðû íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ íîðì îïèñàíû â ïàðàãðàå "Îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõðåøåíèé".àñ÷åòû íóæíî ïðîâåñòè íà ðàçëè÷íûõ ñåòêàõ è ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñëåäóåò çàíåñòèâ òàáëèöû, êîòîðûå òðåáóåòñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü.
Ïî îêîí÷àíèè âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà äîëæåí áûòü íàïèñàí îò÷åò î ïðîäåëàííîé ðàáîòå, â êîòîðûé îáÿçàòåëüíî âêëþ÷àþòñÿñëåäóþùèå ðàçäåëû.Ñîäåðæàíèå îò÷åòà.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.2. Òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå àëãîðèòìîâ: èññëåäîâàíèå àïïðîêñèìàöèè, óñòîé÷èâîñòèðàçíîñòíîé ñõåìû è âûâîä äèåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.3. Îïèñàíèå îòëàäî÷íûõ òåñòîâ è èõ ðåçóëüòàòû. Îòìåòèòü, íàøëè ëè ïîäòâåðæäåíèåòåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ.4. åçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ëèíåàðèçîâàííîé çàäà÷è.35. åçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ íåëèíåéíîé çàäà÷è.6. ðàè÷åñêèå èëëþñòðàöèè ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ.7. Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ.Ñäà÷à çàäàíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ òîëüêî ïðè íàëè÷èè îò÷åòà è îòëàæåííûõ ïðîãðàìì, ïîêîòîðûì âûïîëíÿëèñü ðàñ÷åòû.3Îäíîðîäíûå ðàçíîñòíûå ñõåìûÏðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ ðàçëè÷íûå îñîáåííîñòè, íàïðèìåð, ðàçðûâû ðåøåíèÿ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
