PDF-лекции (1160463), страница 2
Текст из файла (страница 2)
 ãàçîâîé äèíàìèêå, ìîäåëüíûì óðàâíåíèåì êîòîðîé ñëóæèò óðàâíåíèå (1.1),ê òàêèì îñîáåííîñòÿì îòíîñÿòñÿ óäàðíûå âîëíû è êîíòàêòíûå ðàçðûâû. Ïîñëåäíèå âîçíèêàþò, â ÷àñòíîñòè, íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä ñ ðàçëè÷íûìè èçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.Ïîìèìî ýòèõ èçè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé, â ïðîöåññå ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëîñ íåðåãóëÿðíîñòÿìè ðàçíîñòíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ. Ê íèì ñëåäóåò îòíåñòè ïðåæäå âñåãî ãðàíè÷íûå òî÷êè ñåòêè.
Íàëè÷èå â çàäà÷å ïîäîáíûõ íåîäíîðîäíîñòåé âûíóæäàåò â îêðåñòíîñòèêàæäîé îñîáîé òî÷êè âèäîèçìåíÿòü àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ñ÷åòà, ïðèñïîñàáëèâàÿ åãî ê êàæäîéèíäèâèäóàëüíîé îñîáåííîñòè. Òàêîé ïóòü äîñòàòî÷íî ãðîìîçäîê è ïðèâîäèò ê óñëîæíåíèþëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû àëãîðèòìà, èáî, êàê ïðàâèëî, çàðàíåå ïîëîæåíèå íåðåãóëÿðíûõ òî÷åêíåèçâåñòíî. Åñòåñòâåííî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü òàêèå ðàçíîñòíûå ñõåìû, êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ ïîîäíèì è òåì æå îðìóëàì âî âñåõ óçëàõ ñåòêè, íåçàâèñèìî îò òîãî, ñîâïàäàåò äàííûé óçåë ñòî÷êîé íåðåãóëÿðíîñòè ðåøåíèÿ èëè íåò. Ñõåìû òàêîãî òèïà íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè èëèñõåìàìè ñêâîçíîãî ñ÷åòà [13℄.Âî âñåõ çàäàíèÿõ ïðàêòèêóìà óíêöèÿ F (u) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî ýåêò êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé è êîíå÷íîéîáëàñòè çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ â ëþáîé òî÷êå (t; x) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ çàäà÷è (1.1) - (1.2).Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü, ó÷èòûâàÿ çàäàííóþ íà÷àëüíóþ óíêöèþ u0 (x), ñâåñòè ðåøåíèå çàäà÷ïðàêòèêóìà ê çàäà÷å â îãðàíè÷åííîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé îáëàñòèQT = f(t; x) j 0 < t < T; Xmin < x < Xmax gòàêîé, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (1.1) - (1.2) îïðåäåëÿåòñÿ â îáëàñòèãðàíèöû1 = f(t; x) j x = Xming ;Tn QTè íà ó÷àñòêàõ2 = f(t; x) j x = Xmaxg :×òî â ñâîþ î÷åðåäü ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ýòè çíà÷åíèÿ â êà÷åñòâå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿðàçíîñòíûõ ðåøåíèé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è â îáëàñòè QT . ðàçíîñòíûõ ìåòîäàõ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1) - (1.2) â îãðàíè÷åííîéîáëàñòè QT , èñïîëüçóåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê Qh , íàçûâàåìîå ñåòêîé.
Òî÷êè, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ñåòêà, íàçûâàþòñÿ óçëàìè. Ïðîñòåéøàÿ ñåòêà ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñòðîÿòñÿäâå ñåòêè ! = fn j n = 0; : : : ; N g; ãäå N = T; è !h = fmh j m = Mmin ; : : : ; Mmax g, ãäåMminh = Xmin, Mmaxh = Xmax.  ðåçóëüòàòå â îáëàñòè QT ìîæíî ââåñòè ñåòêó Qh = ! !h.Çíà÷åíèå óíêöèè g , îïðåäåëåííîé íà ñåòêå Qh , â óçëå (n; m) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåçn . Åñëè èíäåêñû áóäóò îïóùåíû, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíè ðàâíû n è m.
Äëÿ ñîêðàùåíèÿgmçàïèñè çíà÷åíèÿ óíêöèè g ñ âðåìåííîãî ñëîÿ (n + 1) îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìn+1 = g^:gm ñëó÷àå, åñëè âû÷èñëåíèÿ ïî ðàçíîñòíîé ñõåìå îðãàíèçîâûâàþòñÿ ïî âðåìåííûì ñëîÿì, ò. å.íà êàæäîì øàãå èùóòñÿ çíà÷åíèÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ íà ñëîå (n + 1) ïî óæå èçâåñòíûìçíà÷åíèÿì ýòîãî ðåøåíèÿ íà ñëîÿõ ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè, òî ñëîé (n + 1) íàçûâàþò âåðõíèì,à ñëîè ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè, ÿâíî èñïîëüçóåìûå â ðàñ÷åòíûõ îðìóëàõ, íèæíèìè.Äëÿ ðàçíîñòíûõ îïåðàòîðîâ ïðèìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå â [11℄nn 1gn+1 gmgn+1 gmgn gn 1gt = m; gÆt = m; gt = m m ;24gngngngngn gngx = m+1 m ; gxÆ = m+1 m 1 ; gx = m m 1 :h2hhnn ).Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè íèæå ÷åðåç Fm îáîçíà÷åíî çíà÷åíèå F (vm3.1ßâíûå ñõåìûßâíûìè ñõåìàìè íàçûâàþòñÿ ñõåìû, â êîòîðûõ äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì àïïðîêñèìèðóåòñÿ íà íèæíèõ âðåìåííûõ ñëîÿõ.
Òàêîé ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðîñòûå ðàñ÷åòíûå îðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ.vt + (F (v))x = 0;vt + (F (v))x = 0;vt + (F (v))xÆ = 0;vÆt + (F (v))xÆ = 0;(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)hvt + (F (v))xÆ = vxx ;2h2vt + (F (v))xÆ = vxx ;2 0vt + (F (v))xÆ = (Fv (v)F (v)x )x ;2vt + 0; 5(1 sign(Fv0 (v))) (F (v))x ++0; 5(1 + sign(Fv0 (v))) (F (v))x = 0;(1) = v n F nnm h m+1 Fm ;(1) F (v (1) ) F (v (1) ) ;n+1 = 1 v n + vmvmmm 12 mh(1)nnnh Fm Fm 1 ;vm = vm(1) F (v (1) ) F (v (1) ) ;n+1 = 1 v n + vmvmmm+12 mhvm(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)Ìåòîä óñàíîâà(1) = 1 v n + v n F nnvm+0;5 2 m+1 m3h m+1 Fm ;(2) = v n 2 F (v (1) ) F (v (1) ) ;vmm 3hm+0;5m 0;5n+1 = v nn + 7F nnn (3.11)vm2F7Fm 24h m+2m+1m 1 + 2Fm 23 F (v (2) ) F (v (2) )m+1m 18h! vnn + 6v n 4v n + v n :4vm+1mm 1m 224 m+2240Ïàðàìåòð ! çàäàåòñÿ èç ïðîìåæóòêà [4 ; 3℄, ãäå = F (v)=h.
Äëÿ ñíèæåíèÿ äèññèïàòèâíûõ ñâîéñòâ ñõåìû ìîæíî ïîëîæèòü! = 4 2 4 ;à äëÿ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèîííûõ ñâîéñòâ ñõåìû âçÿòü4 2 + 1 4 2!=:5Ìåòîä Óîðìèíãà-Êàòëåðà-Ëîìàêñà5(1) = v n 2 F nnm 3h m+1 Fm ;(2) = 1 v n + v (1) 2 F (v (1) ) F (v (1) ) ;vmmmm 12 m3hnnnn n+1 = v nvmm 24h 2Fm+2 + 7Fm+1 7Fm 1 + 2Fm 2(2)(2)38h F (vm+1 ) F (vm 1 )! nnnnn 24 vm+2 4vm+1 + 6vm 4vm 1 + vm 2 :vmÏàðàìåòð3.2(3.12)! çàäàåòñÿ òàêæå, êàê â ñõåìå óñàíîâà.Íåÿâíûå ñõåìûÍåÿâíûìè ñõåìàìè íàçûâàþòñÿ ñõåìû, â êîòîðûõ äëÿ àïïðîêñèìàöèè äèåðåíöèàëüíîãîîïåðàòîðà ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîé óíêöèèíà âåðõíåì âðåìåííîì ñëîå.
 ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî çíà÷åíèÿ íàâåðõíåì âðåìåííîì ñëîå, ñõåìó íàçûâàþò ÷èñòî íåÿâíîé èëè ñ îïåðåæåíèåì.vt + (F (^v ))x = 0;vt + (F (^v ))x = 0;vt + 0:5 (F (^v))x + 0:5 (F (v))x = 0;vt + 0:5 (F (^v))x + 0:5 (F (v))x = 0;vt + 0; 5(1 sign(Fv0 (v))) (F (^v))x ++0; 5(1 + sign(Fv0 (v))) (F (^v ))x = 0;! nnnnn vt + (F (^v ))xÆ = vm+2 4vm+1 + 6vm 4vm 1 + vm 2 :8Ïàðàìåòð ! çàäàåòñÿ èç ïðîìåæóòêà [0; 1℄.vt + (F (^v ))xÆ = (Fv0 (v)F (^v )x )x ;2!h2vt + (F (^v ))xÆ =v ; xxvt + (F (^v ))xÆ = ! (Fv0 (v))2 v^x :Ïàðàìåòð3.3x! çàäàåòñÿ èç ïðîìåæóòêà (0; 1℄.(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)(3.19)(3.20)(3.21)Cõåìû ñ âåñàìèÄëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì òîëüêî äâóõñëîéíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû, ò. å. ñõåìû, â îðìóëàõêîòîðûõ ó÷àñòâóþò çíà÷åíèÿ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ òîëüêî ñî ñëîåâ n è (n + 1).
Ñ öåëüþñîêðàùåíèÿ çàïèñåé ââåäåì îáîçíà÷åíèåv = v^ + (1 )v:Ïàðàìåòð íàçûâàåòñÿ âåñîì. Îí îòâå÷àåò çà äîëè, â êîòîðûõ áåðåòñÿ óíêöèÿ v ñ âåðõíåãîñëîÿ è ñ íèæíåãî. Îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ 2 [0; 1℄. Ïðè = 0 ñõåìà èñïîëüçóåò âäàííîì ìåñòå òîëüêî çíà÷åíèå ñ íèæíåãî ñëîÿ, ò. å.
ÿâíûì îáðàçîì. Åñëè = 1, òî ïðèìåíÿåòñÿ çíà÷åíèå ñ âåðõíåãî âðåìåííîãî ñëîÿ, ò. å. ïîëó÷àåòñÿ ÷èñòî íåÿâíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.Ïðè 6= 0 è 6= 1 â ñõåìå ó÷àñòâóþò êàê çíà÷åíèÿ ñ íèæíåãî, òàê è ñ âåðõíåãî ñëîåâ. Ïðè = 1=2 ñõåìà îáëàäàåò ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî íèæíåãî è âåðõíåãî ñëîåâ.vt + (F (v))x = 0;vt + (F (v))x = 0;6(3.22)(3.23)vt + 0; 5(1 sign(Fv0 (v))) (F (v))x ++0; 5(1 + sign(Fv0 (v))) (F (v))x = 0;! nn + 6v n 4v n + v n :vt + (F (v))xÆ = vm4vm+2+1mm 1m 28Ïàðàìåòð ! çàäàåòñÿ èç ïðîìåæóòêà [0; 1℄.vt + (F 1 (v))xÆ = (Fv0 (v)F 2 (v)x )x ;2!h2 2(v )xx ;vt + (F 1 (v))xÆ =vt + (F 1 (v))xÆ = ! (Fv0 (v))2 vx2 :Ïàðàìåòð4x! çàäàåòñÿ èç ïðîìåæóòêà (0; 1℄.(3.24)(3.25)(3.26)(3.27)(3.28)Cõåìû äëÿ êðàåâîé çàäà÷èÇàïèñü ðàçíîñòíûõ ñõåì (3.1)-(3.28) ÿâíî íå ó÷èòûâàåò òîãî, ÷òî ðåàëüíî çàäà÷à (1.1) - (1.2)ðåøàåòñÿ â îãðàíè÷åííîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé îáëàñòè.
Ýòî äåëàåòñÿ ïîçæå íàýòàïå ïîñòàíîâêè ðàçíîñòíîé çàäà÷è (ñì. ðàçäåë 10). Îäíàêî óæå ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ðàçíîñòíûõ ñõåì ÷àñòî ó÷èòûâàþò îñîáåííîñòè òîé êðàåâîé çàäà÷è, ê êîòîðîé áóäåò ñâåäåíàçàäà÷à (1.1) - (1.2). àññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàçíîñòíûå ñõåìû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1) â îáëàñòèT = f(t; x) j 0 < t < T; 0 < x < +1gñ íà÷àëüíûì è êðàåâûì óñëîâèÿìèu jt=0 = u0 (x);u jx=0= w0 (t):(4.1)Íèæå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàäà÷à (1.1), (4.1) ïîñòàâëåíà êîððåêòíî. Äðóãèìè ñëîâàìèóíêöèè u0 , w0 è F òàêîâû, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè íà àçîâîé ïëîñêîñòè (t; x) ÿâëÿþòñÿ âûõîäÿùèìè èç òî÷åê âåðòèêàëüíîé ÷àñòè ãðàíèöû x = 0, à èìåííî îáðàçóþò îñòðûé óãîë ñíàïðàâëåíèåì îñè x.Íà ìíîæåñòâå (t 0; x 0) ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ñ øàãàìè è h.
Äëÿ ðåøåíèÿçàäà÷è (1.1), (4.1) â ñëó÷àåu0 (0) = w0 (0)â [5℄ ïðåäëîæåíà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà òðåòüåãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè ñëåäóþùåãî âèäàn+1 2v n + v n 1 = v nn 2n 1vmm 1 2vm + vm+11 m m+1n ) 2F (v n 1 ) + F (v n 2 )=h F (vm1mm+1n1nnF (vm 2 ) 2F (vm 1 ) + F (vm 2 ) :(4.2)Äëÿ ðåàëèçàöèè ñ÷åòà ïî ñõåìå (4.2) çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ â óçëàõ (; mh), m = 2; 3; : : : ; íàõîäÿòñÿ ïî ñõåìå (3.11), çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ â óçëàõ (n; h); n = 3; 4; : : : ; íàõîäÿòñÿ ïî ñõåìån+1 2v n + v n 1 = v nn 2n 1vmm 1 2vm + vm+11 m m+1n 1 ) 2F (v n 2 ) + F (v n 3 )=h F (vmm+1m+2n1nn2F (vm 1 ) 2F (vm ) + F (vm+13 ) :Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ â óçëàõ (; h), (2; h) ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ñõåìó (3.11), èñïîëüçóÿ äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î ðåøàåìîé çàäà÷å.
Íàïðèìåð, â çàäà÷àõ ïðàêòèêóìà ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü çíàíèå óíêöèè u0 (x) ïðè x < 0.7Âû÷èñëåíèå ïî ñõåìå (4.2) ìîæíî âåñòè ïðîãîíêîé ïî ëèíèÿì t = (=h)x + C .Îïèøåì òåïåðü ñõåìó òðåòüåãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, ïîñòðîåííóþ â [5℄, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1), (4.1) â ñëó÷àå, åñëèu0 (0) 6= w0 (0): îñíîâó àëãîðèòìà íàõîæäåíèÿ ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ ïîëîæåíà ñõåìà (4.2). Åñëè m > 1,òî âû÷èñëåíèå ðåøåíèÿ íà (n + 1)-îì ñëîå ïî n-ìó âåäåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî îðìóëàìñõåìû (4.2), à åñëè m = 1, òî èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ðàñ÷åòíûå îðìóëû(1) = 1 v n + v nnnvm+0;5 2 m+1 m3h Fm+1 Fm ;(2)(1)(1)2 F (vnvm = vmm+0;5 ) F (vm 0;5 ) ;3hn+1nnv1 = v1 24h (F0 12F1n + 15F2n 4F3n)(2)328h F (v2 ) F (w0 (n + 3 )) :(4.3)Àëãîðèòì ïîèñêà ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.1. Âû÷èñëÿåòñÿ ñêà÷îê íà÷àëüíûõ äàííûõ:sk = u0 (+0) w0 (+0)è ñîñòàâëÿþòñÿ íîâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:uI0 (x) = u0(x);èw0I (t) = w0 (t) + skuII0 (x) = u0 (x) sk;w0II (t) = w0 (t):vI è vII , ñîîòâåòñòâóþùèåÏóñòü íà n-îì ñëîå íàéäåíû äâà ðåøåíèÿïåðâûì è âòîðûìíà÷àëüíûì äàííûì.
Îïèøåì ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ íà (n + 1)-îì ñëîå. Ñïîìîùüþ ñõåìû (4.3) íà (n + 1)-îì ñëîå âû÷èñëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî v^I è v^II .Ïóñòü x0 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèè ðàçðûâà x(t) ñ n-ûì ñëîåì, x1 ñî ñëîåì (n + 1),òîãäàx1 = x0 +x 1 2 x 2+ +O( 3 ):=t 02 t2 0Ñîîòíîøåíèå íà ðàçðûâå èìååò âèä(v+v )dx= F (v+ ) F (v );dtãäå v + , v ïðàâîå è ëåâîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå óíêöèè íà ëèíèè ðàçðûâà.Îòñþäàdx F (v+ ) F (v )=;dtv+ v )d2 x d F (v+ ) F (v )=:dt2 dtv+ vÑîîòíîøåíèÿ (4.4) èìåþò ñìûñë, êîãäà x(t) íå èìååò âåðòèêàëüíîé êàñàòåëüíîé.(4.4)Òîãäà:F (v+ ) F (v ) 1 d F (v+ ) F (v ) 23x1 = x0 ++ +O= ( ):v+ v2 dtv+ v00Àïïðîêñèìèðóÿ v + , v ñ òðåòüèì ïîðÿäêîì òî÷íîñòè, âû÷èñëÿåì x1 .Çà çíà÷åíèå ðàçðûâíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1), (4.1) ñ ðàçðûâîì íà÷àëüíûõ äàííûõ â òî÷êå(0; 0) ïðèíèìàåòñÿ óíêöèÿ v^, îïðåäåëåííàÿ ïî ïðàâèëó:I;v^m = v^mïðè xm x1 ;II ;v^m = v^m8ïðè xm< x1 :5Cõåìà îäóíîâàÑ.Ê.îäóíîâ â ñâîåé ðàáîòå 1959 ã.
[19℄ îïèñàë îðèãèíàëüíûé ìåòîä ðåøåíèÿ îäíîìåðíûõçàäà÷ ñ ðàçðûâíûìè ðåøåíèÿìè. Îïèøåì ýòîò ìåòîä äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1) - (1.2). Ìåòîäñîñòîèò â òîì, ÷òî ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì óíêöèè v íà n îì âðåìåííîì ñëîå âû÷èñëÿþòñÿn+1=2ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ Fm+1=2 , à çàòåì íàõîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ v^ ïî öåíòðèðîâàííîé îðìóëå n+1=2Fm+1=2 Fmn+11==22 :hv^ = v(5.1)n+1=2Çíà÷åíèÿ vm+1=2 , íåîáõîäèìûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èí=2n+1=2Fmn+1+1=2 = F (vm+1=2 );áåðóòñÿ ðàâíûìè â òî÷êå ((n + 1=2); (m + 1=2)h) ðåøåíèþ çàäà÷è èìàíà î ðàñïàäå ðàçðûâàäëÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé íà÷àëüíîé óíêöèåéun0 (x) =n;vmx < (m + 1=2)h;n ;vmx > (m + 1=2)h;+1ïðè t = n:n+1=2îâîðÿ èíûìè ñëîâàìè, äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé vm+1=2 èùåòñÿ òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1) ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé íà÷àëüíîé óíêöèåé un0 ïðè t = n; ðàâíîé íà èíòåðâàëån è çà çíà÷åíèå v n+1=2 ïðèíèìàåòñÿ âåëè÷èíà ýòîãî ðåøå((m 1=2)h; (m +1=2)h) çíà÷åíèþ vmm+1=2íèÿ â òî÷êå ((n + 1=2); (m + 1=2)h).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
