PDF-лекции (1160463), страница 5
Текст из файла (страница 5)
×åðåç óíêöèþu îáîçíà÷åíà ïðîåêöèÿ íà ñåòêó òî÷íîãî ðåøåíèÿ.Òî÷íûå âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòåé ìîæíî âû÷èñëèòü, åñëè èçâåñòíî òî÷íîå ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è. Íà ïðàêòèêå òî÷íûõ ðåøåíèé çàäà÷ íå èçâåñòíî. Ïîýòîìó ÷àñòî äëÿïðèáëèæåííîé îöåíêè òî÷íîñòè èñïîëüçóþò ðàñ÷åòû íà ðàçëè÷íûõ ñåòêàõ.  ðåçóëüòàòå ìîæíî âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå âåëè÷èíû(v1 ; v2 ) = kv1v2 kè20Æ(v1 ; v2 ) =kv1 v2 k ;kv1 k(8.3)ãäå v k ðàçíîñòíîå ðåøåíèå, âû÷èñëåííîå íà ñåòêå Qkh ñ øàãàìè k è hk . Îáû÷íî øàãè ñåòîêQ1h è Q2h îòíîñÿòñÿ, êàê ñòåïåíü ÷èñëà 2, è ðåøåíèå, îïðåäåëåííîå íà ñåòêå ñ áîëåå ìåëêèìøàãîì, â îðìóëå (8.2) ïîíèìàåòñÿ â âèäå ïðîåêöèè íà áîëåå ðåäêóþ ñåòêó.Ïðè âûïîëíåíèè ïðàêòèêóìà íóæíî îöåíèòü òî÷íîñòü òàêèõ ïðèáëèæåííûõ îöåíîê, â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ øàãîâ ñåòêè, ïóòåì ñðàâíåíèÿ ñ òî÷íûìè îöåíêàìè, ïîëó÷åííûìèïî îðìóëàì (8.1).9Òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ðàçíîñòíîé ñõåìûÏðåæäå ÷åì ïðîâîäèòü ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû çàäà÷è íåîáõîäèìî ïðîâåñòè êàê ìîæíî áîëååïîëíîå òåîðåòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ðàçíîñòíîãî ìåòîäà.
åçóëüòàòû òàêîãî èññëåäîâàíèÿ ïîìîãóò ñäåëàòü àïðèîðíûå îöåíêè òî÷íîñòè, ãðàíèö ïðèìåíèìîñòè äàííîãî ìåòîäà è âûáðàòüíàèáîëåå îïòèìàëüíûå ïàðàìåòðû äëÿ ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.Ïðîâåäåì òàêîå èññëåäîâàíèå íà ïðèìåðå ðàçíîñòíîé ñõåìûvt + v2 x = 0;(9.1)ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿu u2+= 0:t x(9.2)åøåíèå óðàâíåíèÿ (9.2) òðåáóåòñÿ íàéòè â îáëàñòèT = f(t; x) j 0 < t < 1;1 < x < +1g ;óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþu0 (x) =9.18<:1ïðè x < 0;1 xïðè 0 x 1;0ïðè x > 1:(9.3)ÀïïðîêñèìàöèÿÈçó÷èì âîïðîñ î ïîðÿäêå àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.1) óðàâíåíèÿ (9.2) íà ãëàäêèõðåøåíèÿõ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî óíêöèÿ u = u(t; x) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (9.2) è äâàæäû äèåðåíöèðóåìà ïî îáîèì ñâîèì ïåðåìåííûì ïðè t 0.
Ïîäñòàâèì ïðîåêöèþ íà ñåòêó ýòîé óíêöèè â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (9.1).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìíåêîòîðóþ ñåòî÷íóþ óíêöèþ, êîòîðóþ îáîçíà÷èì :nm2unm+1 unm (unm )2 unm 12 ut + u x +:h(9.4)Ôóíêöèÿ â îáùåì ñëó÷àå îòëè÷íà îò íóëÿ è ðåøåíèå ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà ñâîäèòñÿ êóñòàíîâëåíèþ ïîðÿäêà çíà÷åíèé óíêöèè â çàâèñèìîñòè îò øàãîâ ñåòêè è h äëÿ ãëàäêèõóíêöèé u.Ââåäåì íîâóþ óíêöèþg(t; x) = u2 (t; x):(9.5)Ïîñêîëüêó óíêöèÿ g ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé äâóõ ãëàäêèõ óíêöèé, òî îíà äâàæäû äèåðåíöèðóåìà ïî ïåðåìåííîé x ïðè t 0.
Ïðåäñòàâèì çíà÷åíèÿ óíêöèé u â óçëå (n + 1; m) èg â óçëå (n; m 1) â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà â óçëå (n; m)unm+1 = unm + u_ nm + O( 2 );=n = g n h (g 0 )n + O(h2 ):gm1mm =21Çäåñü è íèæå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè âûêëàäîê ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ óíêöèè f = f (t; x):f _= f;tè åñòåñòâåííûå èõ êîìáèíàöèèf= f0x2f= f_0txè ò.ä.Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (9.4), ïîëó÷èìnm = u_ nm + O( ) + (g0 )nm + O(h) ===u(n; mh) u2 (n; mh)++O( + h):=txÏåðâûå äâà ñëàãàåìûõ â ñóììå äàþò íîëü, ò.ê. óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9.2). Ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ èìååò ïîðÿäîê O( + h), ò.å. ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (9.1)==àïïðîêñèìèðóåò óðàâíåíèå (9.2) ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè.9.2Äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèåÏóñòü ðàçíîñòíîå ðåøåíèå v h ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íà ñåòêó ãëàäêîé óíêöèè v .
Ôóíêöèÿ vâ îáùåì ñëó÷àå íå óäîâëåòâîðÿåò äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ, êîòîðîå àïïðîêñèìèðóåòðàçíîñòíàÿ ñõåìà.Îïðåäåëåíèå. Äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ v ,íàçûâàþò äèåðåíöèàëüíûì ïðèáëèæåíèåì ðàçíîñòíîé ñõåìû.Êàê ïðàâèëî, äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ, âêàæäûé èç êîòîðûõ âõîäèò ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè v ñ êîýèöèåíòîì, çàâèñÿùèì îò øàãîâ ñåòêè. ×åì âûøå ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé, òåì âûøå ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî è h ýòîãî ÷ëåíà. Íà ïðàêòèêå äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå îáû÷íî âûïèñûâàþò äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêàO( n + hm ), ïîòîìó ÷òî, êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî, èìåííî ÷ëåíû ñ íàèìåíüøèì=ïîðÿäêîì ïî è h âíîñÿò íàèáîëüøåå âîçìóùåíèå â óíêöèþ v , ïî ñðàâíåíèþ ñ òî÷íûì ðåøåíèåì äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è.
Áîëåå òîãî, äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ñòàðàþòñÿâûïèñûâàòü â òàêîì âèäå, ÷òîáû â äîïîëíèòåëüíûå ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ÷ëåíû íå âõîäèëè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé, ÷òîáîëåå óäîáíî äëÿ àíàëèçà õàðàêòåðà âíîñèìûõ âîçìóùåíèé.Âûâåäåì äëÿ ïðèìåðà äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ëèíåàðèçîâàííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.1)vt + avx = 0(9.6)ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà O( 3 + h3 ).=Ïîñêîëüêó óíêöèÿ v ïî ïðåäïîëîæåíèþ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, òî ïîäñòàâèì â (9.6) âìåñòîn+1 è v nvmm 1 èõ âûðàæåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Òåéëîðà, ñ öåíòðîì ðàçëîæåíèÿ â óçëå (n; m), ñòî÷íîñòüþ ðàçëîæåíèÿ äî O( 4 ) è O(h4 ) ñîîòâåòñòâåííî.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì==2 3 :::v + v + O( 4 ) v +=26ah2h3 0004 ) = 0:+ v v hv0 + v00v +O(h=h261v + v_ +(9.7)Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèå (9.7) ïðèâîäèòñÿ ê âèäóv_ + av0 =ahv + v00222 2 :::v ah v000 + O( 3 + h3 ):=6622(9.8) ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà çàïèñàíî èñõîäíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå, êîòîðîå àïïðîêñèìèðóåò ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (9.6), à â ïðàâîé ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè, êîòîðàÿ â îáùåìñëó÷àå îòëè÷íà îò íóëÿ. Äàëåå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè, âõîäÿùèå â ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè, çàìåíÿþòñÿ ïðîèçâîäíûìè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ.Äëÿ ýòîãî âûðàçèì ïðîèçâîäíóþ v ÷åðåç ïðîèçâîäíóþ ïî x. Äèåðåíöèðóÿ (9.8) ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì ::: ah 00 2 :::: ah2 000v + v_vv + av_ 0 =v_ + O( 3 + h3 );(9.9)266à äèåðåíöèðóÿ (9.8) ïî x è óìíîæàÿ íà a, íàõîäèìav_ 0 a2 v00 =2=a2 h 000 a 2 :::v 0 a2 h2 0000v ++v +O( 3 + h3 ):=266a 0v2(9.10)Ñêëàäûâàÿ (9.9) è (9.10), ïîëó÷àåì:::a2 000v +O(h) :=2:::Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ v , v0 , v_ 00 :v = a2 v00 + v a 0a+ v + O( ) + h v_ 00=222(9.11):::v = a3 v000 + O( + h);=02000v = a v + O( + h);=00000v_ = av + O( + h):=(9.12)Çàìåíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (9.8) ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé íà ïðîèçâîäíûå ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ïî îðìóëàì (9.11) è (9.12), ïîëó÷àåìv_ + av0 =ah(1 )v002ah2 2(263 + 1)v000 + O( 3 + h3 );=(9.13)ãäå = a=h.
Óðàâíåíèå (9.13) è íàçûâàþò äèåðåíöèàëüíûì ïðèáëèæåíèåì ðàçíîñòíîéñõåìû (9.6) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà O( 3 + h3 ).=Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè âûñøèõ ïîðÿäêîâ íåîáõîäèìîèñïîëüçîâàòü èìåííî óðàâíåíèå, ïîëó÷àþùååñÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, (â ðàçîáðàííîì ïðèìåðå ýòî óðàâíåíèå (9.8)), à íå èñõîäíîåóðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîãî ïðåäíàçíà÷åíà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà(äëÿ äàííîãî ïðèìåðà âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðåøåíèå èñõîäíîãîóðàâíåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, à äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ñëåäóåò èç ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ.
Ïîýòîìó èñõîäíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ íå äîëæíî èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè.9.3Äèññèïàòèâíûå è äèñïåðñèîííûå ñâîéñòâàÏðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ðåøàåòñÿ íà ñàìîì äåëå óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ äèåðåíöèàëüíûì ïðèáëèæåíèåì ðàçíîñòíîé ñõåìû, à íå èñõîäíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîàíàëèçèðîâàâ äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ðàçíîñòíîéñõåìû, ìîæíî îïðåäåëèòü îñíîâíûå êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ. Êîðîòêîîïèøåì îñíîâíóþ èäåþ òàêîãî àíàëèçà.åøåíèåì ïðîñòåéøåãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìuu+a =0tx(9.14)u(0; x) = eikx(9.15)23ÿâëÿåòñÿ âîëíàãäåu(t; x) = ei(!t+kx) ;(9.16)uu2u+a = 2txx(9.17)! = ak:Ëèíåéíîå óðàâíåíèå Áþðãåðñàñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (9.15) èìååò ðåøåíèå â âèäå âîëíû (9.16), ãäå! = ak + ik2. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.17) îñòàëàñü òàêîé æå,êàê è ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.14), à àìïëèòóäà âîëíû ñòàëà çàâèñåòü îò ÷èñëà : ïðè > 0àìïëèòóäà âîëíû ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè çàòóõàåò, à ïðè < 0 âîçðàñòàåò.
Áîëåå òîãî, ïðè < 0 çàäà÷à Êîøè â ïîëóïëîñêîñòè t > 0 äëÿ óðàâíåíèÿ (9.17) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (9.15)ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíîé.Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Êîðòâåãà -äå -Ôðèçàu3uu+a = 3:txx(9.18)Åãî ðåøåíèåì ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (9.15) ÿâëÿåòñÿ âîëíà (9.16), ó êîòîðîé! = ak k3. Òàêàÿ âîëíà íå ìåíÿåò ñâîåé àìïëèòóäû ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, íî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïîâðåìåíè çàâèñèò ïî äðóãîìó çàêîíó, ÷åì ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.14).Àíàëîãè÷íûå âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü è äëÿ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ ïðîèçâîäíûå ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà: ïðîèçâîäíûå ÷åòíîãî ïîðÿäêà îïðåäåëÿþò èçìåíåíèå àìïëèòóäû âîëíû, à íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ÷àñòîòó êîëåáàíèé ïî âðåìåíè.Òàêèì îáðàçîì, íåÿâíàÿ çàìåíà ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ðåøàåìîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèåì, ñîäåðæàùèì ñòàðøèå ïðîèçâîäíûå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì ó ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé çàäà÷è.
Áåçóñëîâíî, íàèáîëüøèé âêëàä â èçìåíåíèå ðåøåíèÿ âíîñèò òîò÷ëåí äèåðåíöèàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ, íå âõîäÿùèé â èñõîäíîå óðàâíåíèå, êîòîðûé èìååòíàèìåíüøèé ïîðÿäîê ìàëîñòè â çàâèñèìîñòè îò øàãîâ ðàçíîñòíîé ñåòêè.Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà ïðèìåðå ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.6). Ïóñòü ñ åå ïîìîùüþðàñ÷èòûâàåòñÿ çàäà÷à î ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì (9.14) ïðè a = 1è íà÷àëüíûì óñëîâèåìïðè x < 0;u0 (x) = 10(9.19)ïðè x > 0:Òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è çàäàåòñÿ îðìóëîéu(t; x) = u0 (x t);(9.20)èíûìè ñëîâàìè, ïðîèëü òî÷íîãî ðåøåíèÿ íå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñ ðîñòîì t, à áóäåò ëèøü ñäâèãàòüñÿ âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ a = 1.åøåíèå æå ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.6) ïðè =h < 1 áóäåò òîæå èìåòü ïðîèëü, ñäâèãàþùèéñÿ âïðàâî ñî ñêîðîñòüþ a = 1, íî êîòîðûé áóäåò ïîñòåïåííî ñãëàæèâàòüñÿ (ðèñ.
1). Ýòîîáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èåì â äèåðåíöèàëüíîì ïðèáëèæåíèè ýòîé ñõåìû ÷ëåíà ñî âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé, êîòîðûé èãðàåò ðîëü ãàñèòåëÿ àìïëèòóä âîëíâèäà (9.16), èç êîòîðûõ ñîñòîèò ðåøåíèå (9.20), ïîñêîëüêó=ah(1 =h) > 0:224Ñëåäîâàòåëüíî, ñõåìà (9.6) ïðè 6= 1 íåÿâíî ââîäèò â óðàâíåíèå èñêóññòâåííóþ âÿçêîñòü,êîòîðóþ ÷àñòî íàçûâàþò íåÿâíîé (ñõåìíîé) èñêóññòâåííîé âÿçêîñòüþ â îòëè÷èå îò ÿâíîéèñêóññòâåííîé âÿçêîñòè, êîòîðàÿ ïðåäíàìåðåííî ââîäèòñÿ â íåêîòîðûõ ñõåìàõ â ðàçíîñòíîåóðàâíåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
