PDF-лекции (1160463), страница 4
Текст из файла (страница 4)
 çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðå òàêèå ñõåìû ïîëó÷èëè íàçâàíèå MUSCL (monotoni upwind sheme for onservational laws ìîíîòîííàÿ ïðîòèâîïîòîêîâàÿ ñõåìà äëÿ çàêîíîâñîõðàíåíèÿ).I.Çíà÷åíèå çàâèñèìîé ïåðåìåííîé íà ãðàíèöå ÿ÷åéêè ñåòêè ïîëó÷àåòñÿ ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùåãî îãðàíè÷èòåëÿ íàêëîíà:i1h(1 )m+3=2 + (1 + )m+1=2 ;4i1hvm+1=2;L = vm(1 )m 1=2 + (1 + )m+1=2 ;4him+1=2 = minimod m+1=2 ; !m 1=2 ;hi=minimod;!m+1=2m+3=2 ;m+1=2vm+1=2;R = vm+1âûáèðàþòñÿ òàê æå1hfm+1=2 = F (vm+1=2;R ) + F (vm+1=2;L )2 F (vm+1=2;R ) + F (vm+1=2;L ) (vm+1=2;R vm+1=2;L ) :vm+1=2;R vm+1=2;L(6.29)ãäå âåëè÷èíà m+1=2 îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (6.4), à âåëè÷èíûêàê â TVD-ñõåìå (6.21).ðàíè÷íûé ïîòîê îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé îðìóëå!(6.28)èÄëÿ äîñòèæåíèÿ âðåìåííîé äèñêðåòèçàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà (â äîïîëíåíèå ê ïðèâåäåííîé âûøå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñêðåòèçàöèè) ìîæíî çàìåíèòü ÿâíóþ ýéëåðîâñêóþ äèñêðåòèçàöèþ (6.1) ëèíåéíûì ìíîãîøàãîâûì ìåòîäîì (6.23) èëè äèñêðåòèçàöèåé òèïà óíãå-Êóòòà.14II.Êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ óíêöèÿv íà îòðåçêå [xm 1=2 ; xm+1=2 ℄ çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé îðìóëîén + sn x xm ;v(tn ; x) = vm(6.30)m hãäå snm îïðåäåëÿåòñÿ èç íåêîòîðûõ îãðàíè÷èòåëüíûõ óíêöèé.
Íàïðèìåð,snm = minimod(m+1=2 ; m 1=2 ):Ñ ïîìîùüþ óíêöèènv âû÷èñëÿþòñÿ vm+1=2;Rnè vm+1=2;L(6.31):snm+1;2nnn + sm+1 :vm=vm+1=2;L20:Ââåäåì êóñî÷íî-ëèíåéíóþ óíêöèþ ïîòîêà g ñ óãëîì íàêëîíà gmnnvm+1=2;R = vm0 =gm8><>:nnF (vm+1=2;R ) F (vm+1=2;L ) ;nnvm+1=2;R vm+1=2;L0nF (vm );åñëè snm = 0:åñëè snm6= 0;(6.32)(6.33)Òîãäà ïîòîê ðàâåí=8><>:1 (n+1)g(v(xm+1=2 ; t))dt = n nsm+1 0 2nF (vm(g ) ;åñëè F 0 > 0;+1=2;R )2nh msm+1 0 2nF (vm(g ) ;åñëè F 0 < 0:+1=2;L )2h m+1Zfm+1=2 =(6.34)III.Äëÿ ðàñ÷åòà óãëà íàêëîíà snm óíêöèè v (6.30) íà êàæäîì îòðåçêå èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé äâóõøàãîâûé àëãîðèòì. Ïåðâûé øàã ýòî ìîíîòîíèçèðîâàííûé öåíòðàëüíî-ðàçíîñòíûéàëãîðèòì:Æm = 2minimod(m+1=2 ; m 1=2 );(6.35)f = minÆmhm+1=2 + m 1=22i; Æm sign(m+1=2 + m 1=2 ):(6.36)Íà âòîðîì øàãå âûáèðàåòñÿ óãîë íàêëîíà ïî îðìóëåh2m+1=2 + m 1=23iÆf ); Æf sign(m+1=2 + msnm = min1 f(Æ4 m+1mm1=2 ):(6.37)Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, åñëè ìèíèìóì â óðàâíåíèÿõ (6.35)-(6.37) äîñòèãàåòñÿ â ïåðâîìàðãóìåíòå, òî ïîëó÷àåì2snm = (vm+13vm 1 )1(v12 m+2vm 2 ):Ýòî êîíå÷íî-ðàçíîñòíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé óíêöèè v ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.IY.15Óãîë íàêëîíà snm óíêöèèsnm =8>><>>:v (6.30) íà êàæäîì îòðåçêå çàäàåòñÿ îðìóëîéh1 sign(m+1=2 + m 1=2 ) min m+1=2 + m 1=2 ;2i2jm+1=2 j; 2jm 1=2 j ;åñëè m+1=2 m 1=2 > 0;0;èíà÷å:Äàëåå ïðèìåíÿåòñÿ äâóõøàãîâûé àëãîðèòìnsnmn + smnF vmF vm;2h22i h n+1=2n+1=2 ;n = vnvmffm h m+1=2m 1=2h=2 = 1 F (v n+1=2 ) + F (v n+1=2 )fmn+1m+1=2;Rm+1=2;L+1=2 2n+1=2 ) + F (v n+1=2 ) F(vm+1=2;Rm+1=2;L n+1=2n+1=2 (vm+1=2;R vm+1=2;L ) ;n+1=2n+1=2vm+1=2;R vm+1=2;L n+1=2 = v nvmmãäån+1=2 = v n+1=2 + sn =2;vmmm+1=2;R(6.38)(6.39)(6.40)(6.41)n+1=2 = v n+1=2 sn =2:vmm+1m+1+1=2;LENO-ñõåìûTVD-ñõåìû èìåþò ïîðÿäîê òî÷íîñòè íå âûøå ïåðâîãî.
Ñõåìû, èìåþùèå ðàâíîìåðíî âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè áûëè íàçâàíû ENO-ñõåìàìè (essentially nonosiallatory ñóùåñòâåííîíåêîëåáàòåëüíûå). Ýòè ñõåìû íå îáëàäàþò íåæåëàòåëüíûìè îáðåçàþùèìè ÿâëåíèÿìè, íî îáëàäàþò áîëüøèìè âðåìåííûì çàòðàòàìè ïî ñðàâíåíèþ ñ TVD-ñõåìàìè. Ýòî âûçâàíî òåì, ÷òîENO-ñõåìû èñïîëüçóþò áîëåå øèðîêèé (7-òî÷å÷íûé âìåñòî 5-òî÷å÷íîãî) êîíå÷íî-ðàçíîñòíûéøàáëîí.I.Óãîë íàêëîíà snm óíêöèè v (6.30) íà êàæäîì îòðåçêå çàäàåòñÿ îðìóëîéhisnm = minimod m+1=2 Dm+1=2 ; m 1=2 + Dm 1=2 ;ãäå âåëè÷èíà(6.42)D õàðàêòåðèçóåò êðèâèçíó ãðàèêà óíêöèè v :Dm+1=2 = minimod vm+1 2vm + vm 1 ; vm+2 2vm+1 + vm :Âåëè÷èíà ïîòîêà íà ãðàíèöå âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå8n)+anF (vmm+1=2 (1 am 1=2 =h)sm =2>>;>>1 + (am+1=2 am 1=2 )=h>><fm+1=2 = F (vnåñëè) ama+1=2 (10;+ an>m+1=2m+3=2 =h)sm+1 =2m+1>;>>>1 + (am+1=2 am 1=2 )=h>:åñëè am+1=2 < 0:(6.43)II.Êîýèöèåíò snm âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå (6.42), à âåëè÷èíà ïîòîêà íà ãðàíèöå âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå81 (am+1=2 + am+3=2 )=(2h) snm>n>F vm +;>>1 + (am+1=2 am 1=2 )=(2h) 2>>< åñëè am+1=2 > 0;fm+1=2 =(6.44)n >n + 1 (am+1=2 + am+3=2 )=(2h) sm+1 ;>Fv>m+1 1 + (a>>m+3=2 am+1=2 )=(2h) 2>:åñëè am+1=2 0:16PPM-ñõåìàÑõåìà PPM (pieewise-paraboli method - êóñî÷íî-ïàðàáîëè÷åñêèé ìåòîä) èñïîëüçóåò èíòåðïîëÿöèþ, êîòîðàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíà ïî v; äàâàåìîìó ïàðàáîëè÷åñêèì ïðîèëåì â êàæäîé çîíåv(x) = vm 1=2;R + vm + v6;m (1 ) ;(6.45)ãäåx xm;xm+1=2 xm 1=2vm = vm+1=2;L vm 1=2;R ;v6;m = 6 vm (vm+1=2;L + vm 1=2;R )=2 :çíà÷åíèé vm+1=2;L è vm 1=2;R âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ vm+1=2=Äëÿ îïðåäåëåíèÿîðìóëåvm+1=2 = (vm+1 + vm )=2 + (Æl vm Æl vm+1 )=6;ãäåÆl vm =8<:Ævm = (vm+1Åñëè(6.46)min(jÆvm j; 2m+1=2 ; 2m 1=2 )sign(Ævm );åñëè m+1=2 m 1=2 > 0;0;èíà÷å,èÇàìå÷àíèå 6.1è vm 1=2 ïîvm 1 )=2:Æl vm = Ævm ; òî âåëè÷èíà vm+1=2âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå1(v+ v ):12 m+2 m+1Âåëè÷èíû vm+1=2 è vm 1=2 îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ vm+1=2;L è vm 1=2;R :vm+1=2 =7(v+v )12 m+1 mvm+1=2;L = vm+1=2vm 1=2;R = vm 1=2 ;è(6.47)åñëè óíêöèÿ v (x), çàäàâàåìàÿ îðìóëîé (6.45), ïðèíèìàåò íà îòðåçêå [xm 1=2 ; xm+1=2 ℄ çíà÷åíèÿ òîëüêî ìåæäó vm+1=2;L è vm 1=2;R : Äðóãèìè ñëîâàìè v (x) äîëæíà áûòü ìîíîòîííàíà îòðåçêå [xm 1=2 ; xm+1=2 ℄.
Ýòî ñâîéñòâî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ â îáëàñòè ãëàäêîñòè èñêîìîéóíêöèè è, â ðåçóëüòàòå, óíêöèÿ v (x) áóäåò íåïðåðûâíà â òî÷êàõ xm+1=2 : ïðîòèâíîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ vm+1=2;L è vm 1=2;R èçìåíÿþòñÿ òàê, ÷òîáû v (x) ñòàëà ìîíîòîííîé óíêöèåé íà êàæäîì îòðåçêå [xm 1=2 ; xm+1=2 ℄ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó.Îáîçíà÷èìd1 = vm+1=2;L vm è d2 = vm 1=2;R vm :Òîãäà èçìåíèì çíà÷åíèÿ vm+1=2;L è vm 1=2;R , îïðåäåëåííûå ïî ïðàâèëó (6.47), ñëåäóþùèìîáðàçîì:vm+1=2;L = vm è vm 1=2;R = vm ;åñëè d1 d2 0;vm 1=2;R = 3vm vm+1=2;L ;vm+1=2;L = 3vm vm 1=2;R ;åñëèd22 ) > (d1 d2 )2 =3;(d21åñëè (d21d22 ) > (d1d2 )2 =3:(6.48)(6.49)Îêîí÷àòåëüíî, ïîòîê íà ãðàíèöå ÿ÷åéêè âû÷èñëÿåòñÿ òàê:fm+1=2 =FFv~m+1=2;L(am+1=2 ) ;v~m+1=2;R ( am+1=2 ) ;ãäåv~m+1=2;L (x) = vm+1=2;Lhvm217åñëè am+1=2 0;åñëè am+1=2 < 0;1i2v6;m ;3(6.50)ïðèèïðè7=x xm;xm+1=2 xm 1=2v~m+1=2;R (x) = vm+1=2;R +=hvm+1 + 12i2v6;m+1 ;3x xm+1:xm+3=2 xm+1=2Ïðèìåðû äèåðåíöèàëüíûõ çàäà÷u u2+= 0;t x2ïðè x < 0;a) u0 (x) =3ïðè x > 0;8ïðè x < 0:5;< 23x + 0:5ïðè 0:5 x 0:5;á) u0 (x) =:1ïðè x > 0:5:uu2)+ u2 = 0;tx0ïðè x < 0;a) u0 (x) =2ïðè x > 0;8ïðè x < 0:5;< 23x + 0:5ïðè 0:5 x 0:5;á) u0 (x) =:1ïðè x > 0:5:uu+ os u = 0;3)txïðè x < 0;a) u0 (x) =0ïðè x > 0;ïðè x < 0;á) u0 (x) =2ïðè x > 0;8ïðè x < 0:5;< 0â) u0 (x) =x + 0:5ïðè 0:5 x 0:5;:ïðè x > 0:5:3ïðè x < 0;ã) u0 (x) =0ïðè x > 0;0ïðè x < 0;ä) u0 (x) =3ïðè x > 0;1)u u u+e = 0;tx0ïðè x < 0;a) u0 (x) =1ïðè x > 0;8ïðè x < 0:5;< 1x + 0:5ïðè 0:5 x 0:5;á) u0 (x) =:0ïðè x > 0:5:4)18u ln u+= 0;txeïðè x < 0;a) u0 (x) =1ïðè x > 0;81ïðè x < 0;><5(e1)x + 1ïðè 0 x 0:2;á) u0 (x) =>ïðè x > 0:2:: e5)8Îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíûõ ðåøåíèéÄëÿ ñðàâíåíèÿ äâóõ ñåòî÷íûõ óíêöèé òðåáóåòñÿ çàäàòü ñïîñîá îöåíêè èõ ðàçíîñòè, èíûìè ñëîâàìè îïðåäåëèòü íîðìó ñåòî÷íîé óíêöèè.
Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè.Ïðèâåäåì íåñêîëüêî èç íèõ, ÿâëÿþùèõñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè:kvkC = xmax2! jvi j;hskvkL2 = h;hikvkL1 = h;hhXxi 2!hvi2 ;Xxi 2!hjvi j;qkvkW21 = kvk2L2 + kvx k2L2 :;h;h;hÇàìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ïîñëåäíåé íîðìû èñïîëüçóåòñÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè v , îïðåäåëåííàÿ íå âî âñåõ óçëàõ ñåòêè !h .
Ïîýòîìó íîðìà kvx kL2;h âû÷èñëÿåòñÿ òîëüêîïî òåì óçëàì, ãäå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà óíêöèÿ vx . âû÷èñëèòåëüíîé ïðàêòèêå ïîëó÷èëè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå íîðìû, êîòîðûå ïîðîæäàþòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûìè ïîëîæèòåëüíûìè îïåðàòîðàìè, äåéñòâóþùèìè â ïðîñòðàíñòâåñåòî÷íûõ óíêöèé, çàäàííûõ íà ñåòêå !h . Îáîçíà÷èì òàêîé îïåðàòîð A è ââåäåì ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå ñåòî÷íûõ óíêöèé(v; u) =Xxi 2!hÒîãäà íîðìà óíêöèè, çàäàâàåìàÿ îïåðàòîðîìhvi ui :A, ìîæåò áûòü ââåäåíà ñëåäóþùèì îáðàçîìpkvkA = (Av; v):Î÷åâèäíî, ÷òî íîðìà kv kL2;h ÿâëÿåòñÿ íîðìîé åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà â âûøåóêàçàííîìñìûñëå. Áîëåå ñîäåðæàòåëüíûì ïðèìåðîì íîðìû kv kA ÿâëÿåòñÿ íîðìà, ïîðîæäåííàÿ îïåðàòîðîì Ëàïëàñà ñ îäíîðîäíûì ïåðâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì.
Äëÿ ïðîñòîòû îïèøåì îäíîìåðíûé ñëó÷àé.  ýòîì ñëó÷àå ñåòêà!h = fmh j m = Mmin; : : : ; Mmaxg;à îïåðàòîðL äåéñòâóåò ïî ïðàâèëóLv =8<:0; m = Mmin;vxx;m ; Mmin < m < Mmax;0; m = Mmax:Ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàþòñÿ óíêöèè, ðàâíûå íóëþ íà ãðàíèöå ñåòêè. Ìîæíî ïîêàçàòü [4, 11℄,÷òî â ýòîì ñëó÷àåkvkL = kvx kL2;h :Äðóãèì âàæíûì ïðèìåðîì íîðìû, ñâÿçàííîé ñ ââåäåííûì îïåðàòîðîì L, ÿâëÿåòñÿ íîðìàpkvkL 1 = (L 1 v; v):19Ìîæíî ïîêàçàòü [11℄, ÷òî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå0kvkL 1 = MXmaxm=MminhmXi=Mminhvi!2 11=2A:×àñòî ýòó íîðìó îáîçíà÷àþò ïðîñòî kv k 1 .Òàêîå ðàçíîîáðàçèå íîðì îáúÿñíÿåòñÿ ñëîæíîñòüþ è ìíîãîîáðàçèåì ðåøàåìûõ çàäà÷.
Âçàâèñèìîñòè îò êà÷åñòâåííûõ ñâîéñòâ çàäà÷è ñëåäóåò âûáèðàòü íîðìû, â êîòîðûõ áóäåò ïðîèçâîäèòüñÿ îöåíêà òî÷íîñòè ðåøåíèÿ. Âîïðîñ ýòîò íå ïðîñòîé è ðåøàåòñÿ äëÿ êàæäîé çàäà÷èîòäåëüíî. Èçó÷åíèå ýòîãî âîïðîñà ìîæíî íà÷àòü ïî ó÷åáíèêàì [4, 6, 11℄. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîéâ ïðàêòèêóìå çàäà÷è äëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íàèáîëåå ïîäõîäÿùèìèíîðìàìè ÿâëÿþòñÿ íîðìû kv kCh è kv kL1;h .Îáðàòèì âíèìàíèå åùå íà îäèí âîïðîñ, ñâÿçàííûé ñ âûáîðîì íîðì. Õîðîøî èçâåñòíîóòâåðæäåíèå, ÷òî â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, à ïðîñòðàíñòâî ñåòî÷íûõ óíêöèé êàê ðàçêîíå÷íîìåðíîå, âñå íîðìû ýêâèâàëåíòíû, ò.
å. äëÿ ëþáûõ äâóõ íîðì kk è kk ñóùåñòâóþòòàêèå êîíñòàíòû 1 è 2 , ÷òî äëÿ ëþáîé óíêöèè v âåðíî íåðàâåíñòâî1 kvk kvk 2 kvk :Íî äåëî â òîì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå êîíñòàíòû ýêâèâàëåíòíîñòè 1 è 2 ìîãóò çàâèñåòü îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà, èëè äðóãèìè ñëîâàìè îò øàãîâ ñåòêè. Ïîýòîìó ðàçíîñòíîå ðåøåíèåìîæåò ñõîäèòüñÿ ê òî÷íîìó â îäíîé íîðìå è íå ñõîäèòüñÿ â äðóãîé.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî k k ñèëüíåå k k , åñëè k k k k , ãäå êîíñòàíòà íå çàâèñèòîò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, åñëè k k ñèëüíåå k k è ñõîäèìîñòü íàáëþäàåòñÿ â íîðìå k k , òî îíà äîëæíà áûòü è â íîðìå k k . Ïðîñòåéøèå òåîðåìû î ïîäîáíûõñâÿçÿõ ìåæäó íîðìàìè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ñîäåðæàòñÿ â [11℄.
Íàèáîëåå èçâåñòíûå èç íèõñëåäóþùèå.Òåîðåìà.1. Äëÿ ëþáîé ñåòî÷íîé óíêöèè v , îáðàùàþùåéñÿ â íîëü â ãðàíè÷íûõ óçëàõ,ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâàpkvkC 2X kvxkL2 ;2kvk2L2 X8 kvx k2L2 :h;h;hÒåîðåìà.2.;hv âåðíîkvkC p1 kvkL2 :hÄëÿ ëþáîé ñåòî÷íîé óíêöèèh;hÏðè âûïîëíåíèè ïðàêòèêóìà òðåáóåòñÿ îöåíèòü àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ïîëó÷àåìîãî ðåøåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Âåëè÷èíà(v) = kv uk(8.1)íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ, à âåëè÷èíàÆ(v) =kv ukkvk(8.2)îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ v , âû÷èñëåííûìè â kk.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
