PDF-лекции (1160463), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Èñêóññòâåííàÿ âÿçêîñòü ñãëàæèâàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, óìåíüøàÿ ãðàäèåíòûâñåõ ïàðàìåòðîâ íåçàâèñèìî îò ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ýòèõ ãðàäèåíòîâ, èçè÷åñêîé èëèâû÷èñëèòåëüíîé. Òàêîå ñâîéñòâî ðàçíîñòíîé ñõåìû, îáóñëîâëåííîå íàëè÷èåì â âûðàæåíèèäëÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ÷åòíîãî ïîðÿäêà, íàçûâàþò äèññèïàöèåé íàðàçíîñòíîé ñåòêå. Âîçäåéñòâèå äèññèïàöèè ïðèâîäèò ê ðàñòÿæåíèþ êðóòûõ ëèíèé ðàçäåëà,êîòîðûå ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ â ðàñ÷åòíîé îáëàñòè.èñ. 1.Äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.6) ñîäåðæèò òàêæå ÷ëåí ñ òðåòüåéïðîèçâîäíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé, íî îí áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïîøàãàì ðàçíîñòíîé ñåòêè, ïîýòîìó åãî ðîëü ïðàêòè÷åñêè íå âèäíà.
Ïðîèëëþñòðèðîâàòü âêëàä÷ëåíà ñ íå÷åòíîé ïðîèçâîäíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåíîé ìîæíî íà ïðèìåðå ñëåäóþùåéñõåìûavt + avxÆ = vxx :(9.21)2Åå äèåðåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå èìååò âèäv_ + av0 =ah2(1 2 )v0006ah3 (1 2 )v0000 + : : : :8(9.22)Ïðè ðàñ÷åòå çàäà÷è (9.14), (9.19) ïî ñõåìå (9.21) (åñòåñòâåííî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿóñòîé÷èâîñòè =h < 1) ïîëó÷àåòñÿ ðàçíîñòíîå ðåøåíèå, èìåþùåå õàðàêòåðíûå îñöèëëÿöèèíà îíå òî÷íîãî ðåøåíèÿ (9.20) (ðèñ. 2). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ãëàâíûì ÷ëåíîì, âíîñÿùèì ïîãðåøíîñòü â ÷èñëåííîå ðåøåíèå, ÿâëÿåòñÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå èç ïðàâîé ÷àñòè (9.22).Ýòîò ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ òðåòüåé ïðîèçâîäíîé ïî ïðîñòðàíñòâåíîé ïåðåìåííîé, ò.å.
íå âëèÿåò íàâåëè÷èíó àìïëèòóäû âîëí, èç êîòîðûõ ñîñòîèò ðàçíîñòíîå ðåøåíèå, çàòî ÷àñòîòà êîëåáàíèéïî âðåìåíè ó íèõ îêàçûâàåòñÿ ðàçíîé è ïðîèñõîäèò ÿâëåíèå àíàëîãè÷íîå ÿâëåíèþ äèðàêöèè.Òàêîå ÿâëåíèå, ñâÿçàííîå ñ ïðîèçâîäíûìè íå÷åòíîãî ïîðÿäêà â äèåðåíöèàëüíîì ïðèáëèæåíèè, íàçûâàþò äèñïåðñèåé. Äèñïåðñèÿ ïðèâîäèò ê èñêàæåíèþ ñîîòíîøåíèÿ àç ðàçëè÷íûõâîëí.25èñ. 2.Îáû÷íî, åñëè ãëàâíûé ÷ëåí â âûðàæåíèè äëÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ñîäåðæèò ïðîèçâîäíóþ ÷åòíîãî ïîðÿäêà, òî ñõåìà îáëàäàåò â îñíîâíîì äèññèïàòèâíûìè ñâîéñòâàìè, à åñëèïðîèçâîäíóþ íå÷åòíîãî ïîðÿäêà òî äèñïåðñèîííûìè.Îöåíèì øèðèíó ðàçìàçûâàíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.6) ñëåäóÿ [20℄.
Âîçüìåì íà÷àëüíûåäàííûå âèäàïðè m = 0;0vm = 10(9.23)ïðè m 6= 0è ïîñìîòðèì, êàê èõ ïðåîáðàçóåò ñõåìà (9.6).Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå èìååò âèä n m mn mïðè 0 m < 0;n = Cn (1 )vm(9.24)0ïðè îñòàëüíûõ m:Ôóíêöèÿ, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (áèíîìèàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ), ïðèáëèæåííîìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäån v~n =vmm12n (1 )p(m n )2e 2n (1 ) :(9.25)èñ.
3.ðàèê ðåøåíèÿ íà n ì øàãå áóäåò èìåòü âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ. 3. Ìàêñèìóì ïðàâîé÷àñòè (9.25) äîñòèãàåòñÿ ïðè m = n , ò.å. èìååò êîîðäèíàòó x = mh = an = at: Ò.ê. x at =0 õàðàêòåðèñòèêà óðàâíåíèÿ (9.14), òî ìû âèäèì, ÷òî ìàêñèìóì ðåøåíèÿ äâèæåòñÿ ïîõàðàêòåðèñòèêå. Íàçîâåì óñëîâíî øèðèíîé çîíû ðàçìàçûâàíèÿ äëèíó îòðåçêà, íà êîòîðîìðåøåíèå ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 3)2 v~maxv>e:Øèðèíà ýòîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëåpH = 2 2(1 )ath:26(9.26)èñ. 4.Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè h ! 0 îáëàñòü, â êîòîðîé ðåøåíèå ñóùåñòâåííî îòëè÷íî îò íóëÿ,ñòÿãèâàåòñÿ ê õàðàêòåðèñòèêå xp at = 0 (ðèñ. 4).
Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè t îáëàñòü ðàçìàçûâàíèÿðàñøèðÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî t: åøåíèå ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè ââèäå "ñòóïåíüêè-(9.19) ìîæíî ïîëó÷èòü ñóììèðîâàíèåì ñïåöèàëüíûõ ðåøåíèé òàêîãî âèäà,êàê ìû òîëüêî ÷òî èçó÷èëè.èñ. 5.Íà ðèñóíêå 5 ñðàâíèâàþòñÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà çàäà÷è (9.14),(9.19) ñ øàãîì h = 0:1 èïðè = 0:1 â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè t = 1: Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 5,ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîòÿæåííîñòü çîíû "ðàçìàçûâàíèÿ"óìåíüøèëàñü ñ óìåíüøåíèåì øàãà h â4 ðàçà ïðèìåðíî âäâîå.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè âåëè÷èíå ÷èñëà Êóðàíòà = 1 îðìóëà (9.26) äàåò äëÿ øèðèíû çîíû ðàçìàçûâàíèÿ çíà÷åíèå H = 0; ÷òî ïîäâåðæäàåòñÿ ÷èñëåííûì ýêñïåðèìåíòîì, âêîòîðîì ñõåìà âîñïðîèçâîäèò òî÷íîå ðåøåíèå.h = 0:0259.4Óñòîé÷èâîñòüÈñïîëüçóåì äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì èññëåäóåìîé ðàçíîñòíîé ñõåìûñïåêòðàëüíûé ïðèçíàê óñòîé÷èâîñòè è ïðèíöèï çàìîðîæåííûõ êîýèöèåíòîâ [4, 6℄.Íàïîìíèì îðìóëèðîâêó ñïåêòðàëüíîãî ïðèçíàêà óñòîé÷èâîñòè.
Ïóñòü íà ñåòêå ñ óçëàìè(n; m) òî÷êàìè (tn ; xm ) = (n; mh) ïîñòðîåíà íåêîòîðàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, íàïðèìåð âèäàL;hv jn;m =Xl;kn+k = 0;akl vm+lâûïèøåì âñå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ L;h vh = 0, èìåþùèå âèän = (('))n eim' :vm(9.27)Ñïåêòðàëüíûé ïðèçíàê óñòîé÷èâîñòè (ÑÏÓ).Åñëè ïðè çàäàííîì çàêîíå ñòðåìëåíèÿ øàãîâj(')j eCèh ê íóëþ ñóùåñòâóåò C < 1 òàêîå, ÷òîäëÿ ëþáûõ ';27(9.28)òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷èÊîøè. ïðîòèâíîì ñëó÷àå îò ïðèìåíåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû ñëåäóåò âîçäåðæàòüñÿ.Ïðèìåíèì ýòîò ïðèçíàê äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ëèíåàðèçàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.1)vt + avx = 0(9.29)ïî íà÷àëüíûì äàííûì, ãäå a íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.Îïðåäåëèì çàâèñèìîñòü = ('), ïðè êîòîðîé óíêöèÿ (9.27) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ðàçn = (('))n eim' :íîñòíîé ñõåìû (9.29).
Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå vmn+1 (')eim' n (')eim'n (')eim' n (')ei(m 1)'+a= 0:hÏîñëå ñîêðàùåíèÿ íà n (')eim' ïîëó÷èì(') 11 e i'+a= 0:hÎòêóäà çàêëþ÷àåì, ÷òîa(1 e i' ):h(') = 1èñ. 6.' îïèñûâàåò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè îêðóæa jajíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå (1; 0) è ðàäèóñîì(ðèñ. 6). Íåîáõîäèìîå óñëîâèå óñòîé÷èâîhhÓðàâíåíèå äëÿâ çàâèñèìîñòè îò óãëàñòè (9.28) áóäåò âûïîëíåíî, åñëè ýòà îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ýòî óñëîâèå íàêëàäûâàåò ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íàøàãè ñåòêè è ïàðàìåòð aa0 1:(9.30)hÍàïîìíèì, ÷òî óñëîâèÿ, ïîëó÷àåìûå ïî ñïåêòðàëüíîìó ïðèçíàêó, ÿâëÿþòñÿ ëèøü íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû.
Îäíàêî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àåìîæíî äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ (9.30) ÿâëÿþòñÿ òàêæå äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè.Äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.1) â èñõîäíîé íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå èñïîëüçóåì ïðèíöèï çàìîðîæåííûõ êîýèöèåíòîâ [4℄. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.1. Äëÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû ïèøåòñÿ óðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ (ò.å. óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ðàçíîñòü äâóõ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ðåøåíèé).
Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûìè â ñëó÷àå ëèíåéíûõ çàäà÷ ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì.2. Ôèêñèðóåòñÿ íåêîòîðàÿ òî÷êà P â îáëàñòè G, â êîòîðîé èùåòñÿ ðåøåíèå, çàìîðàæèâàþòñÿ êîýèöèåíòû ýòîãî óðàâíåíèÿ, ò.å. âñå çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ áåðóòñÿ ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì â ýòîé òî÷êå. Åñëè çàäà÷à íåëèíåéíàÿ, òî êîýèöèåíòûóðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ çàâèñÿò îò íåèçâåñòíîé óíêöèè è âñå çíà÷åíèÿ ñåòî÷íîãî ðåøåíèÿ,âõîäÿùèå â ýòî óðàâíåíèå, áåðóòñÿ ðàâíûìè èõ çíà÷åíèÿì â ýòîé æå òî÷êå P .283. Ïîëó÷èâøàÿñÿ ñåòî÷íàÿ çàäà÷à LPh (Æv ) = 0 èññëåäóåòñÿ íà óñòîé÷èâîñòü ìåòîäàìè,êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñåòî÷íûõ çàäà÷ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñåòî÷íàÿ çàäà÷à óñòîé÷èâà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ'(h; P ) 0(9.31)íà øàãè ñåòêè; ýòî óñëîâèå, åñòåñòâåííî ìîæåò çàâèñåòü îò âûáîðà òî÷êè P .4. Çà óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ïðèíèìàþò íåêîòîðîå óñëîâèå ' 0, èç âûïîëíåíèÿ êîòîðîãîñëåäóåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ '(h; P ) 0 äëÿ âñåõ òî÷åê P 2 G.
×àñòî, îñîáåííî â ñëó÷àåíåëèíåéíûõ çàäà÷, óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè '(h) 0 âûáèðàåòñÿ ñ íåêîòîðûì "çàïàñîì óñòîé÷èâîñòè".Ïðèìåíèì ýòîò ïðèíöèï äëÿ èçó÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (9.1). Ïåðåïèøåìóðàâíåíèå (9.1) â âèäån 2n 2n+1 v nvmvm1 = 0:m + (vm )(9.32)hn = v n + Æ n äðóãîå ðåøåíèå ñåòî÷íîé çàäà÷è (9.32), ò.å. Æ n ðàçíîñòü ìåæäóÏóñòü wmmmmn â (9.32)):äâóìÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è (9.32). Èìååì ðàâåíñòâî (ïîëó÷àåìîå ïðè ïîäñòàíîâêå wmn+1 + Æ n+1vmmn + Æn )(vmm+n + Æ n )2(vmmn + Æ n 2vm1 m 1 = 0:hÂû÷èòàÿ èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñîîòíîøåíèå (9.32), ïîëó÷èì2n + Ænvm1 m 1hn+1 Æ nnn 2 (v n )2Æmm + (vm + Æm )mhn 2vm1 = 0:(9.33)n è ÆnÑ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî âåëè÷èíàì Æmm 1 âûïîëíåíû ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâàn + Æ n )2 (v n )2 2v n Æ n ;(vmmmm m22n + Ænnnnvmvm1 m 11 2vm 1 Æm 1 :n )2 =h) áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿÒàêèì îáðàçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí O((Æm=n , åãî òàê íàçûâàåìàÿ âàðèàöèÿ, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÆmn nnnn+1 Æ nÆmm + 2vm Æm 2vm 1 Æm 1 = 0;hêîòîðîå íàçûâàþò óðàâíåíèåì â âàðèàöèÿõ äëÿ (9.33).n è 2v n , âçÿâ èõ çíà÷åíèÿìè â íåêîòîðîé òî÷êå.
 ðåçóëüÇàìîðîçèì êîýèöèåíòû 2vmm 1òàòå ïîëó÷èìnnn+1 Æ nÆmm + a Æm Æm 1 = 0;(9.34)hn è íîìåð óçëà m ìîæåò áûòü ëþáûì.ãäå a = 2vmÏðèìåíÿÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèÿ (9.34) ñïåêòðàëüíûé ïðèçíàê óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òî çàäà÷à óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûì äàííûì, åñëè êîýèöèåíò a è øàãèñåòêè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (9.30).  ñîîòâåòñòâèè ñ ÏÇÊ çàêëþ÷àåì, ÷òî èñõîäíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (9.1) äîëæíà áûòü óñòîé÷èâà ïðè óñëîâèèn0 2vmh29 1:(9.35)9.5Óñëîâèå ìîíîòîííîñòèÎáðàòèì âíèìàíèå íà ïëàâíóþ îðìó ðàçìàçàííûõ ðàçðûâîâ ïðè ðàñ÷åòå ïî ðàçíîñòíîéñõåìå (9.6). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äàííàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ìîíîòîííîñòè.Îïðåäåëåíèå 9.1 àçíîñòíàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, åñëè îíà ïåðåâîäèò âñåìîíîòîííûå óíêöèè â ìîíîòîííûå ñ òåì æå íàïðàâëåíèåì ðîñòà. ðàáîòå [19℄ äîêàçàí êðèòåðèé ìîíîòîííîñòè äëÿ ïðîñòåéøèõ ðàçíîñòíûõ ñõåì.Òåîðåìà 9.1Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàçíîñòíàÿ ñõåìà âèäàv^m =Xkak m vm(9.36)áûëà ìîíîòîííîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå êîýèöèåíòûöàòåëüíû.ak m áûëè íåîòðè-Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ak 0 è fvm g ìîíîòîííà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
