PDF-лекции (1160463), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèÿçàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ v0n+1 = u0 è vMMn+1vm äëÿ m = 1; : : : ; M 1, äëÿ ÷åãî èìååì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ÿâëÿþùåéñÿçàïèñüþ ñõåìû (11.3) íà ñëîå n:8>>>>>><>>>>>>:F (u ) = 0;G1 (^v) v^1 + F (^v2 ) v12h2h 0Gm (^v) F (^v ) + v^m + F (^vm+1 ) vm = 0;2h m 12hm = 2; : : : ; M 2;GM 1 (^v ) F (^v ) + v^M 1 vM 1 + F (uM ) = 0:2h M 22hÈñïîëüçóÿ ââåäåííóþ âåêòîð-óíêöèþ(11.4)G, äàííóþ ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå G(^v) =0.
åêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû èìåþò âèäG(^vk ) + J (^vk )(^vk+1v^k ) = 0; k = 0; 1; 2; : : : ;ãäå ÷åðåç ìàòðèöó J îáîçíà÷åíà ìàòðèöà ßêîáè âåêòîð-óíêöèè÷àå ìàòðèöà J âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì0BBBBBBB1:0:0 0 kF (^v2 )2h: : : :::: 0: : : :: : : :0 : : : :: : : : : 0 kF (^vm 1 )2h: : : : :: : : : :(11.5)G.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó-: : : : : : : : : 0: : : : : : : : : : 0 k1F (^vm+1 ) 0 : : : 02h: : : : : : : : : : 0 k: : 0F (^vM 2 ) 12h1CCCCC:CCAÇàäà÷à (11.5) îáðàçóåò ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ v^k+1 äëÿ íåèçâåñòíîé óíêöèè v^ íà âåðõíåì âðåìåííîì ñëîå ïî èçâåñòíîìó ïðèáëèæåíèþ v^k .
Ìàòðèöà ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòüîðìàëüíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðîãîíêè äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû. Äðóãîé âîïðîñ ýòîóñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ýòîãî àëãîðèòìà. åçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà ïðîãîíêè ìîæíî íàéòè â [4, 11, 6℄. Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà îñòàåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé äëÿ ëþáîéðàçíîñòíîé ñõåìû, èñïîëüçóþùåé òðè ñîñåäíèõ óçëà íà âåðõíåì âðåìåííîì ñëîå. Ïðèìåíåíèåìåòîäà ïðîãîíêè ïîçâîëÿåò íàéòè íåèçâåñòíûé âåêòîð çà 8M àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, ãäåM ðàçìåðíîñòü èñêîìîãî âåêòîðà. êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ v^0 îáû÷íî áåðóò èçâåñòíûé âåêòîð v , îïèñûâàþùèéèñêîìóþ óíêöèþ íà íèæíåì âðåìåííîì ñëîå.
Òàêîå çàäàíèå v^0 îáåñïå÷èâàåò íåïëîõóþ òî÷íîñòü, ïîýòîìó, êàê ïðàâèëî, òðåáóåòñÿ âñåãî íåñêîëüêî èòåðàöèé äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîéòî÷íîñòè íàõîæäåíèÿ âåêòîðà v^.  ïðîãðàììå îáû÷íî çàäàþò öèêë ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì÷èñëîì èòåðàöèé, íî íà êàæäîì øàãå ïðîâåðÿþò äîñòèãíóòóþ òî÷íîñòü è ïðè äîñòèæåíèèòðåáóåìîé òî÷íîñòè ñîâåðøàåòñÿ âûõîä èç öèêëà.39àçóìååòñÿ ïðè ðåøåíèè ðåàëüíûõ çàäà÷ òî÷íîå ðåøåíèå íåèçâåñòíî, ïîýòîìó î òî÷íîñòèíàõîæäåíèÿ î÷åðåäíîãî ïðèáëèæåíèÿ v^k+1 ìîæíî ñóäèòü ëèøü ïî åãî èçìåíåíèþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì ïðèáëèæåíèåì v^k .
Áîëåå òîãî, ÷àñòî èùóò íå ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèåv^k+1 , à ðàçíîñòü ìåæäó v^k+1 è v^k , êîòîðóþ îáîçíà÷èì rk . Èñïîëüçóÿ âåêòîð rk ìîæíî ëåãêîíàéòè âåêòîð v^k+1 , à âåëè÷èíà íîðìû rk ïîçâîëÿåò ñóäèòü î äîñòèãíóòîé òî÷íîñòè.12Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêàÍàïîìíèì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû íåëîêàëüíîé òåîðèè ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (1.1) - (1.2)u F (u)+= 0;txu jt=0 = u0 (x);çíàíèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî ïðè âûïîëíåíèè âàðèàíòîâ çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà. Ïîäðîáíî ñíèìè ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî [7, 10℄.12.1Ñâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ê íåÿâíîìó óíêöèîíàëüíîìóóðàâíåíèþÑîãëàñíî îáùåé òåîðèè [10℄ èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ (1.1) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìûäâóõ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèédX= Fu0 (U );dtdU= 0;dt(12.1)êîòîðóþ íàçûâàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìîé óðàâíåíèÿ (1.1).
Êàæäîå åå ðåøåíèå x =X (t), u = U (t) çàäàåò õàðàêòåðèñòèêó â ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ t, x è u.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óíêöèÿ Fu0 íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà. Òîãäà ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó(t; x; u) ïðîõîäèò îäíà è òîëüêî îäíà õàðàêòåðèñòèêà. Çàäà÷à Êîøè (1.1) - (1.2) ãåîìåòðè÷åñêè èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè óðàâíåíèÿ (1.1) âïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ t, x, è u, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ íà÷àëüíóþ êðèâóþ: t = 0,u = u0 (x). Òàê êàê ïðè ýòîì ìû õîòèì ïîëó÷èòü îäíîçíà÷íóþ äèåðåíöèðóåìóþ óíêöèþu(t; x), ïåðåìåííûõ t, x, ýòà ïîâåðõíîñòü, î÷åâèäíî, äîëæíà îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðîâàòüñÿ íàïëîñêîñòü u = 0 ïåðåìåííûõ t è x.
Ïîñêîëüêó ðåøåíèå u îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âäîëüêàæäîé õàðàêòåðèñòèêè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (t; x; u), ýòà çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèèïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùåé èç õàðàêòåðèñòèê, ïðîâåäåííûõ ÷åðåç äàííóþ íà÷àëüíóþ êðèâóþ, èîäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóþùóþñÿ íà ïëîñêîñòü u = 0.Îáîçíà÷èì ÷åðåç x = X (t; x0 ; u0 ), u = U (t; x0 ; u0 ) ðåøåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû (12.1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿìX (0; x0 ; u0 ) = x0 ; ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå óíêöèèU (0; x0 ; u0 ) = u0 :(12.2)x = X (t; x0 ; u0 ) è u = U (t; x0 ; u0 ) èìåþò ïðîñòîé âèäx = Fu0 (u0 )t + x0 ;u = u0 ;(12.3)ò.å.
âñå õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (1.1) ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè è çíà÷åíèå u îñòàåòñÿ íåèçìåííûìâäîëü ëþáîé õàðàêòåðèñòèêè. åøåíèå u çàäà÷è Êîøè (1.1) - (1.2) â òî÷êàõ (t; x) õàðàêòåðèñòèêè (12.3) çàäàåòñÿ îðìóëîéu(t; x) = u(t; Fu0 (u0 )t + x0 ) = u0 :40(12.4)Ôîðìóëà (12.4) íåÿâíûì îáðàçîì îïðåäåëÿåò óíêöèþ u(t; x), êîòîðàÿ â ñëó÷àå u0 (x) 2íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà âî âñåõ òî÷êàõ t, x, â êîòîðûõ îäíîçíà÷íî ðàçðåøàåòñÿîòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà x0 óðàâíåíèåC1x = Fu0 (u0 (x0 ))t + x0 :Ïóñòü â ýòèõ òî÷êàõ(12.5)x0 = X 1 (t; x) = x0 (t; x)åñòü ðåçóëüòàò ðàçðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (12.5) îòíîñèòåëüíî x0 .
Òîãäà èç îðìóëû (12.4) ïîëó÷àåì ÿâíóþ îðìóëó äëÿ ðåøåíèÿ u(t; x) çàäà÷è (1.1) - (1.2):u(t; x) = u0 (x0 (t; x)):(12.6)èñ. 10.Ïîÿñíèì ãðàè÷åñêè ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1) - (1.2). ×åðåç ëþáóþ òî÷êóx0 ïðîâåäåì ïðîåêöèþ õàðàêòåðèñòèêè (12.3) íà ïëîñêîñòü u = 0. Ýòó ïðîåêöèþ òàêæå ÷àñòîíàçûâàþò õàðàêòåðèñòèêîé. Ýòîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå u0 (x0 ), êîòîðîå è çàäàåòðåøåíèå u(t; x) íà ëèíèè x = Fu0 (u0 )t + x0 : Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî â íåêîòîðûõ òî÷êàõ (t; x)ïðè t > 0 ìîãóò ïåðåñå÷üñÿ äâå èëè áîëåå ëèíèé x = Fu0 (u0 )t + x0 , îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûìçíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà x0 (ðèñ. 10).  ýòèõ òî÷êàõ óðàâíåíèå (12.5) îòíîñèòåëüíî x0 èìååò áî-ëåå îäíîãî ðåøåíèÿ è îðìóëû (12.4), (12.6) îïðåäåëÿþò íåêîòîðóþ ìíîãîçíà÷íóþ óíêöèþïåðåìåííûõ (t; x).  ýòîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ u(t; x) çàäà÷è (1.1) (1.2).Ïîÿñíèì ñêàçàííîå íà ïðèìåðå ïðîñòåéøåãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿuu+ u = 0;txäëÿ êîòîðîãî ïîñòàâèì íà÷àëüíîå óñëîâèåu(0; x) = u0 (x) =8<:u = a + ïðè x a;x + ïðè a x b;u+ = b + ïðè x b:èñ.
11.41(12.7)(12.8)Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà (12.1) óðàâíåíèÿ (12.7) èìååò ðåøåíèåX (t; x0 ; u0) = x0 + u0t;U (t; x0 ; u0 ) = u0;(12.9)êîòîðîå îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ t, x0 , u0 . Ïóñòü 0. Ïðîåêöèèõàðàêòåðèñòèê (12.9) íà ïëîñêîñòü u = 0 èìåþò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 11 .
 ýòîì ñëó÷àå÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (t; x) ïîëóïëîñêîñòè t 0 ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà x =X (t; x0 ; u0 (x0 )), ò.å. óðàâíåíèå (12.5) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî x0 . Ôóíêöèÿu(t; x) ïîñòîÿííà âäîëü õàðàêòåðèñòèê (12.5), ïîýòîìó â çîíå I, ò.å. ïðè x a + u t,u(t; x) = u = a + ;à â çîíå III, ïðèx b + u+ t,u(t; x) = u+ = b + : çîíå II, ïðè a + u t x b + u+ t, óðàâíåíèå (12.5) ðàçðåøàåòñÿ îòíîñèòåëüíî x0 :x t:x0 =1 + tÏî îðìóëå (12.6) îïðåäåëÿåì ðåøåíèå u(t; x) â çîíå II:x tx + u(t; x) = u0 (x0 (t; x)) = + =:1 + t1 + tÈòàê, óíêöèÿ u(t; x) ïðè 0 çàäàåòñÿ îðìóëîéu(t; x) =8><>:u = a + ïðè x a + u t;x + ïðè a + u t x b + u+ t;1++ tu = b + ïðè x b + u+t:(12.10)èñ. 12.Ïîñòðîåííàÿ óíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (12.7) - (12.8),ïîñêîëüêó õîòü óíêöèÿ u(t; x) ïðè t 0 è íåïðåðûâíà, íî åå ïðîèçâîäíàÿ òåðïèò ðàçðûââ òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà ïðÿìûõ x = a + u t è x = b + u+ t.
Îäíàêî ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèåðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1) - (1.2) â øèðîêîì ñìûñëå [10℄.Îïðåäåëåíèå.Íåïðåðûâíóþ óíêöèþ u(t; x) íàçîâåì ðåøåíèåì çàäà÷è (1.1) - (1.2) âøèðîêîì ñìûñëå, åñëè u(0; x) = u0 (x) è óíêöèÿ u(t; x) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà ïîïåðåìåííîìó t âäîëü õàðàêòåðèñòèêè x = X (t; x0 ; u0 ), ïðè÷åìdu(t; X (t; x0 ; u0 )) = 0:dtÔóíêöèÿ u(t; x), çàäàííàÿ îðìóëîé (12.10), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (12.7) - (12.8) âøèðîêîì ñìûñëå.  ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ t, x, u ðåøåíèå (12.10) îïðåäåëÿåò èíòåãðàëüíóþ ïîâåðõíîñòü S , èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 12. Ýòà ïîâåðõíîñòü îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóåòñÿ íàïëîñêîñòü u = 0 ïðè t 0.42 ñëó÷àå < 0 (u > u+ ) êàðòèíà õàðàêòåðèñòèê (12.9) â ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòü (t; x)èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
13. Âñå õàðàêòåðèñòèêè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (0; x0 ), ïðè a x0 b, ñõîäÿòñÿ â òî÷êå (t ; x ), ãäå t = 1= > 0, x = =.x + u(t; x) = u , â çîíå III u(t; x) = u+ .  çîíå II u(t; x) =. Íàêîíåö, â çîíå IY,1 + tóíêöèÿ U (t; x0 (t; x); u0 (x0 (t; x))) òðåõçíà÷íà è ïðèíèìàåò òðè çíà÷åíèÿ: çîíå Ix + u1(t; x) = u ; u2 (t; x) =; u3 (t; x) = u+:1 + t òî÷êå(t ; x ) óíêöèÿ U ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [u+ ; u ℄.èñ. 13.Èòàê, â ñëó÷àå < 0 íåïðåðûâíîå ðåøåíèå u(t; x) çàäà÷è Êîøè (12.7) - (12.8) â øèðîêîìñìûñëå ñóùåñòâóåò ëèøü ïðè t < 1=, à èíòåãðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü S îïðåäåëåíà ïðè âñåõt 0 (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
