PDF-лекции (1160463), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Êàæäûé òàêîé îòðåçîê áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ëó÷ó ðàçðûâà (óäàðíîé âîëíå) ïîñòðîåííîãî ðåøåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ãëàäêèìè àâòîìîäåëüíûìè ðåøåíèÿìè âèäàu(t; x) = (t; x); ãäå ( ) óíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê = F 0 (u).Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿíèåì ýòîé çàäà÷è ñëóæèò óíêöèÿÏðèìåð 12.3u(t; x) =8>>><>>>:F (u) = u3: Ïóñòü âåëè÷èíû u > 0, à u+ < 0: åøå-3u ; x (u )2 t;4rx 3;(u )2 t < x < 3(u+)2 t;3t 4u+ ; x 3(u+)2 t:48(12.23) ðàáîòå [7℄ çàäà÷à ñ óíêöèåé ñîñòîÿíèÿ F (u) = u3 ðåøåíà äëÿ ñëó÷àÿ u = 1 è u+ = 1:Ýòî ðåøåíèå áåç îñîáûõ óñëîæíåíèé ïåðåíîñèòñÿ íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé íà÷àëüíîé óíêöèèïðèìåðà refnvip.Àíàëîãè÷íî ðåøàåòñÿ çàäà÷à, ïðèâåäåííàÿ â ñëåäóþùåì ïðèìåðå.Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿíèåì ýòîé çàäà÷è ñëóæèò óíêöèÿÏðèìåð 12.4u(t; x) =F (u) = u3: Ïóñòü âåëè÷èíû u < 0, à u+ > 0: åøå-8>u ;>>< r>>>:3x (u )2 t;4x 3;(u )2 t < x < 3(u+ )2 t;3t 4u+; x 3(u+ )2 t:(12.24) ðàáîòå [7℄ òàêæå ðàçîáðàíû ñëåäóþùèå ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ èìàíà.Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿíèåì ýòîé çàäà÷è ñëóæèò óíêöèÿÏðèìåð 12.5u(t; x) =8>><>>:ãäå âåëè÷èíàóðàâíåíèÿ12.6k = osu;àu = 3 ,àu+ = 0:åøå-(12.25)F (u) = sin(u): Âåëè÷èíû u = 0, à u+ = 3: åøåíè-8<0; x kt;2 aros x=t;:3; x kt;âåëè÷èíà u ÿâëÿåòñÿu(t; x) =Âåëè÷èíû3; x t;aros x=t + 2;t < x < 0;aros x=t; 0 < x < t;0; x t:Ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿåì ýòîé çàäà÷è ñëóæèò óíêöèÿÏðèìåð 12.6F (u) = sin(u):kt < x < kt;(12.26)íàèìåíüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåìtgu = u:Èñïîëüçîâàíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèéÓñëîâèÿ ýíêèíà-þãîíèî ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ íåñêîëüêî äðóãèå ñîîáðàæåíèÿ, ÷åìáûëî ñäåëàíî âûøå.
àññìîòðèì âûâîä ýòèõ óñëîâèé, èçëîæåííûé â êíèãå [15℄. Çàìåòèì, ÷òîðåøåíèå çàäà÷è (1.1) - (1.2)u F (u)+= 0;txu jt=0 = u0 (x);èìååò íåÿâíûé âèäu = u0(x Fu0 (u)t);(12.27)ïîñòðîåíèå êîòîðîãî áûëî ïðîâåäåíî âûøå ñ èñïîëüçîâàíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû.Ýòî ðåøåíèå ñïðàâåäëèâî äî òàêîãî âðåìåíè t, ïîêà u(t; x) ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé óíêöèåéïåðåìåííîé x.
Ïðè îáðàçîâàíèè íåîäíîçíà÷íîñòè çàêîí ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû èçìåíÿåòñÿ,ò.ê. âìåñòî ïåðåõëåñòà â ïðîèëå âîëíû âîçíèêàåò ðàçðûâ. Äëÿ îïèñàíèÿ çàêîíà ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, ñîäåðæàùåé ðàçðûâ, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîéíà÷àëüíûé ïðîèëü âîëíû, êîîðäèíàòó ðàçðûâà è çíà÷åíèå ðåøåíèÿ ñïðàâà è ñëåâà íà ðàçðûâå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþu0(x) = 0 ïðè jxj > X (X íåêîòîðîå ÷èñëî):(12.28)49Òîãäà çíà÷åíèå èíòåãðàëà+1Z1u(t; x)dx;(12.29)u(t; x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1.1) - (1.2), íå áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà âñïîìíèì, ÷òî ñêîðîñòü âîçìóùåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) êîíå÷íà, è ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå ëîêàëüíîñòè 12.28 áóäåò âûïîëíåíî äëÿ óíêöèè u(t; x) íå òîëüêî ïðè t = 0, íî è äëÿ ëþáîãî âðåìåíè t.
Ïîñëå ÷åãî ïðîèíòåãðèðóåìóðàâíåíèå (1.1) â ïîëîñå [0; T ℄ ãäåR+1ZT Z0 1u(t; x)dxdt +t+1ZT Z0 1F (u(t; x))dxdt = 0x(12.30)è çàìåòèì, ÷òî+1Z1F (u(t; x))dx = x!limF (u(t; x)) x!lim1 F (u(t; x)) = 0+1x(12.31)â ñèëó ëîêàëüíîñòè âîçìóùåíèÿ.Ó÷èòûâàÿ 12.31 â ðàâåíñòâå 12.30, ïîëó÷àåì, ÷òî+1Z+1Z11u(T; x)dx =u(0; x)dx;÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ðàâåíñòâà íóëþ âòîðîãî ñëàãàåìîãî â 12.30 äîñòàòî÷íîïîòðåáîâàòü, ÷òîáûlim F (u(t; x)) = x!lim1 F (u(t; x));x!+1ò. å. óñëîâèå ëîêàëüíîñòè 12.28 ìîæíî çàìåíèòü íà ðàâåíñòâî óíêöèè u âíå îãðàíè÷åííîéîáëàñòè ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé íåêîòîðîé âåëè÷èíå èëè äàæå ðàçíûì âåëè÷èíàìu 1 è u+1 , íî ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâàF (u 1 ) = F (u+1 ):Íåçàâèñèìîñòü èíòåãðàëà 12.29 îò âðåìåíè t îçíà÷àåò ñîõðàíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ,îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà u. Ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå î÷åâèäåí è îáúÿñíÿåòñÿ òåì,÷òî ðàññìàòðèâàåìûé îáúåì ñðåäû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ ñèñòåìó, íà êîòîðóþ íåäåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû.
Íî ñèñòåìà îñòàåòñÿ çàìêíóòîé è ïîñëå îáðàçîâàíèÿ ðàçðûâà. Ñëåäîâàòåëüíî, èìïóëüñ è â ýòîì ñëó÷àå äîëæåí ñîõðàíÿòüñÿ.èñ. 16.50Ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ðîíòà â íåîäíîçíà÷íîì ïðîèëå âîëíû ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 16. Äëÿòîãî ÷òîáû êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ íå èçìåíèëîñü è ïîñëå îáðàçîâàíèÿ ðàçðûâà, ðîíò íóæíîïðîâîäèòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòñåêàåìûå îò îáåèõ ÷àñòåé ïåðåõëåñòà ïëîùàäè S1 è S2(çàøòðèõîâàííûå íà ðèñóíêå) áûëè ðàâíû.Îïðåäåëèì êîîðäèíàòó ðàçðûâà xp àíàëèòè÷åñêè. Èñõîäÿ èç ðèñ. 16, ïðàâèëî "ðàâåíñòâàïëîùàäåé"ìîæíî çàïèñàòü òàê:ddtèëè+ZuZu+[x(u) xp ℄du = 0udx(u)dxdu = (u+ u ) p :dtdtuÏîñêîëüêó íåîäíîçíà÷íûé ïðîèëü èñêàæåí â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîéñèñòåìû (12.1),ïîëó÷àåìdx(u)= Fu0 (u);dt+ZuuÎòêóäà ñëåäóåò, ÷òîdxFu0 (u)du = (u+ u ) p :dt +dxF (u)uu = (u+ u ) p :dt(12.32)Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî 12.32 ÿâëÿåòñÿ óæå èçâåñòíûì íàì óñëîâèåì ýíêèíà-þãîíèî (12.12).Ýòà îðìóëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ïîçâîëÿþùåå îïðåäåëèòüêîîðäèíàòó ðàçðûâà xp ïî èçâåñòíûì âåëè÷èíàì ïàðàìåòðîâ "ñêà÷êà"u (x) è u+ (x).Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ðàçðûâà áóäåò ñîñòàâëåíà, åñëè äîáàâèòü ê 12.32 äâà óðàâíåíèÿ äëÿ u è u+ .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u è u+ ðàñïîëîæåíû íà ïðîèëåâîëíû 12.27, ïîëó÷àåìu = u0 (xpFu0 (u )t); u+ = u+0(xpFu0 (u+ )t):Çäåñü u0 è u+0 óíêöèè, îïèñûâàþùèå îðìó âîëíû íà ó÷àñòêàõ äî è ïîñëå ðàçðûâà, ò.å.ïðè x < xp è x > xp . Òàêèì îáðàçîì, îáîçíà÷èâ ÷åðåç f1 è f2 óíêöèè, îáðàòíûå ê u0 è u+0,ïîëó÷àåìxp = f1 (u ) + Fu0 (u )t;xp = f2 (u+ ) + Fu0 (u+ )t;(12.33)dxp F (u+ ) F (u )dt=u+ u:Ýòî ñèñòåìà èç òðåõ óðàâíåíèé äëÿ òðåõ íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí: êîîðäèíàòû ðàçðûâà xp èâåëè÷èí u (x), u+ (x), îïðåäåëÿþùèõ "àìïëèòóäó"ñêà÷êà.51èñ. 17.Äëÿ èëëþñòðàöèè òåõíèêè ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé 12.33 ðåøèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó îá èçìåíåíèè àìïëèòóäû è äëèòåëüíîñòè îäèíî÷íîãî òðåóãîëüíîãîâîçìóùåíèÿ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ.
17, îïèñûâàåìîãî óðàâíåíèåì Áþðãåðñà 12.7uu+ u = 0:txÒàêîå âîçìóùåíèå â àêóñòèêå íàçûâàþò îäíîïîëÿðíûì òðåóãîëüíûì èìïóëüñîì. Èñõîäíàÿîðìà âîçìóùåíèÿ îïèñûâàåòñÿ óíêöèåéu0 (x) =8<:0; x < 1;1 + x;1 x 0;0; x > 0;(12.34)çíà÷åíèÿ êîòîðîé íåîòðèöàòåëüíû âî âñåõ òî÷êàõ. Ïîýòîìó âñå õàðàêòåðèñòèêè äàííîé çàäà÷è îáðàçîâûâàþò óãîë, íå ïðåâûøàþùèé 90Æ ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè x, èñëåäîâàòåëüíî, âîçìóùåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òîëüêî â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñ ðîñòîì t. Íàéäåì òåïåðü êîîðäèíàòó ðàçðûâà xp è âåëè÷èíó àìïëèòóäûðåøåíèÿ ñëåâà íà ðàçðûâå. Ïîñêîëüêó ñïðàâà íà ðàçðûâå ðåøåíèå ðàâíî 0, ïîýòîìó âìåñòîòðåõ óðàâíåíèé 12.33 íóæíî ðåøàòü òîëüêî äâàxp = u 1 + u t;dxp= u =2:dtåøàÿ ñèñòåìó 12.35 ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ xp (0) = 0, ïîëó÷àåìpxp = 1p+ t 1;u = 1= 1 + t:(12.35)(12.36)Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåóñëîâèåì 12.34 ðàâíî íóëþp óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà 12.7 ñ íà÷àëüíûì pïðè x 1 è x 1 + t 1.
Ôóíêöèþ u(t; x) ïðè x 2 [ 1; 1 + t 1℄ íàéäåì, ðåøèâõàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñèñòåìódX= u;dtdU= 0;dt íà÷àëüíûì óñëîâèåì 12.34.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òîu(t; x) =p1+xïðè x 2 [ 1; 1 + t 1℄:1+t52èñ. 18.Àíàëîãè÷íî ðåøàþòñÿ è äðóãèå, áîëåå ñëîæíûå çàäà÷è. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïðîöåññèñêàæåíèÿ îðìû ñèììåòðè÷íîãî òðåóãîëüíîãî èìïóëüñà, ÿâëÿþùåãî íà÷àëüíûì óñëîâèåìóðàâíåíèÿ Áþðãåðñà 12.7 (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 18). Íà ïåðâîì ýòàïå, äî ìîìåíòà îáðàçîâàíèÿðàçðûâà, îðìà âîçìóùåíèÿ òðàíñîðìèðóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû 12.1 (êðèâûå 2,3).
Êàê òîëüêî ïåðåäíèé ðîíò èìïóëüñà ïðèìåò âåðòèêàëüíîåïîëîæåíèå (êðèâàÿ 3), èñêàæåíèå ïðîèëÿ (êðèâûå 4,5) áóäåò îïèñûâàòüñÿ íàéäåííûì âûøåðåøåíèåì.12.7àñïðîñòðàíåíèå äâóïîëÿðíîãî èìïóëüñàåøèì òåïåðü óðàâíåíèå Áþðãåðñà 12.7uu+ u = 0;txñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì â âèäå äâóïîëÿðíîãî èìïóëüñà [16℄ (ñì. ðèñ.8<). Ïóñòü190; x a; x b;k1 x + v1 ; a x 0;(12.37):k2 x + v2 ; 0 x b:Íèæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïàðàìåòðû, çàäàþùèå óíêöèþ u0 , óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàìk1 0; k2 0; v1 0; v2 0:Ïðè k2 = 0, v2 = 0 ïîëó÷àåì ÷àñòíûé ñëó÷àé îäíîïîëÿðíûé òðåóãîëüíûé èìïóëüñ. Ñèñòå-u0 (x) =ìà 12.33 â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèäxp =uv1k1u+ v2+ u t;xp =+ u+ t;k+2dxp u + u=:dt2èñ. 19.53(12.38)Äàííàÿ ñèñòåìà ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäåk x (t) + v1u = 1 p;1 + k1 tk x (t) + v2u+ = 2 p;1+ + k2 tdxp u + u=:dt2Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿuè u+ â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷àåìdxp 1 k1 xp (t) + v1 k2 xp (t) + v2=+;dt 21 + k1 t1 + k2 tdxpdt1k1k21v1v+x =+ 2;2 1 + k1 t 1 + k2 t p 2 1 + k1 t 1 + k2 tñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì xp (0) = 0:åøåíèåì ïðè k1 6= k2 ïîëó÷èâøåéñÿ äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿxp (t) =1k2 k1=pv1 (1 + k2 t) v2 (1 + k1 t) + (v2 v1 ) (1 + k2 t)(1 + k1 t) =1ppv1 1 + k2 t + v2 1 + k1 tk2 k1 ñëó÷àå k1 = k2 = k äëÿ xp p1 + k2 tp1 + k1 t :èìååì óðàâíåíèådxpk1v +vx = 1 2dt 1 + kt p 2 1 + ktñ òåì æå íà÷àëüíûì óñëîâèåì xp (0) = 0: åøåíèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ1xp (t) = (v1 + v2 )t:2Ïðè k1 6= k2 ïðèâåäåì îðìóëó äëÿ xp (t) ê áîëåå óäîáíîìó âèäó:xp (t) ==k21k11p ppv1 1 + k2 t + v2 1 + k1 tpp1 + k2 tp1 + k1 t =v1 1 + k2 t + v2 1 + k1 tp1 + k t + p1 + k t ((1 + k2 t) (1 + k1 t)) =k2 k121ppv1 1 + k2 t + v2 1 + k1 tp= pt:(12.39)1 + k2 t + 1 + k1 tÑ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ xp (t) íàéäåì âðåìÿ t, ïðè êîòîðîì äâóïîëÿðíûé=òðåóãîëüíûé èìïóëüñ ñòàíîâèòñÿ îäíîïîëÿðíûì òðåóãîëüíûì.Îáðàòèìñÿ ê îðìóëå 12.37.
Ïóñòü v1 , v2 , k1 è k2 íå ðàâíû íóëþ èv1 = v2 ;S1 , S2ïðèk1 = k2 ;ïðè > 0; > 0: ïëîùàäè âåðõíåãî è íèæíåãî òðåóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåííî ïðèppv2 t 1 + k2 t 1 + k2 tppxp (t) =;1 + k t + 1 + k t2542t = 0. Òîãäà1v2v1 a = 1 ;22k11v2S2 = v2 b = 2 ;22k2 2S1vk2 2= 1= :S2v2 k1 S1 =åøèì óðàâíåíèå xp (t0 ) = b, ò.å. óðàâíåíèåpp1 + k2 t0 1 + k2 t0vp1 + k t + p1 + k t= 2:k22020Åñëè ýòî óðàâíåíèå èìååò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå t0 , òî ïðè t = t0 ðàçðûâ áóäåò èìåòüêîîðäèíàòó b, ò.å. èìïóëüñ ïðåâðàòèòüñÿ â òðåóãîëüíûé.v2 t0 pk2 t0 1 + k2 t0p1 + k2 t0 =ppp1 + k2 t0 + 1 + k2 t0 ;p1 + k2 t0 (k2 t0 1) = 1 + k2 t0 (t0 k2 + 1) ;p(k2 t0 1) = (1 + k2 t0 )(1 + t0 k2 );(k2 t0 1)2 = (1 + k2 t0 )(1 + t0 k2 ):Ïîñëå òîãî êàê ïîëó÷èì ðåøåíèå ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü, ÷òîk2 t0 1 0:(12.40)åøèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå1 2k2 t0 + 2 k22 t20 = 1 + (1 + )k2 t0 + t20 k22 );Ïîñêîëüêó t0 k26= 0, òîk2 t0 (1 + 2 + ) = t20 k22 (2 ):1 + 2 + :(12.41)k2 (2 )Ïîñêîëüêó â ñèëó íàøèõ ïðåäïîëîæåíèé âåëè÷èíû , è k2 < 0 ïîëîæèòåëüíû, òî çíà÷åíèåt0 , ïîëó÷åííîå ïî îðìóëå 12.41, ïîëîæèòåëüíî ëèøü ïðè 2 > 0, ò.å.
ïðè S1 > S2 .Ïðîâåðèì, ÷òî ïðè 2 > 0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 12.40. Äåéñòâèòåëüíî,1 + 2 + 2 + 22 + + + 2 + + 1== 0:2 2 2 Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî óðàâíåíèå xp (t) = b èìååò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîåîðìóëîé 12.41 ëèøü ïðè S1 > S2 .Àíàëîãè÷íî äëÿ óðàâíåíèÿ xp (t) = a, ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ëèøü ïðè S1 <S2 , è îíî îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå(2 + + )t0 =:(12.42)k2 ( 2 )Êàê äâèæåòñÿ äâóïîëÿðíûé èìïóëüñ ïðè âîçðàñòàíèè t?Ïóñòü u(t = 0; x) = u0 (x), ãäå u0 (x) çàäàåòñÿ îðìóëîé 12.37. Åñëè S1 > S2 , òî íà ïðîìåæóòêå t < t0 , ãäå t0 îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé 12.41, èìïóëüñ îñòàåòñÿ äâóïîëÿðíûì è â ìîìåíòt îïèñûâàåòñÿ óíêöèåé80; x a; x b;>>>< k1 x + v1; x 2 [a; xp ℄;u(t; x) =(12.43)1 + k1 t>>k x + v2>: 2; x 2 [xp ; b℄:1 + k2 tt0 =55Çäåñü xp (t) íàõîäèòñÿ èç îðìóëû 12.39.Ïðè t = t0 ñèãíàë ïðåâðàùàåòñÿ â òðåóãîëüíûé:u(t0 ; x) =Äåëàÿ çàìåíó8<:0; x a; x > b;k1 x + v1; x 2 [a; b℄:1 + k1 t0t~ = t t0 , x~ = x b è ïðèìåíÿÿ îðìóëó 12.39 äëÿ ñëó÷àÿv~2 = k~2 = 0;ïîëó÷àåì, ÷òî ïðèk~1 =k1;1 + k1 t0k b + v1v~1 = 1;1 + k1 t0t t0 , óíêöèè, îïèñûâàþùèå îðìó ñèãíàëà, èìåþò âèäu(t; x) =8<:0; x a; x > xp ;k~1 x~ + v~1; x 2 [a; xp ℄;1 + k~1 t~0ãäå xp (t) = x~p (t~) + b,qv~x~p (t~) = ~11 + t~k~1 1 :k1Åñëè S1 < S2 , òî ïðè t 2 [0; t0 ), ãäå t0 îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé 12.42, èìïóëüñ îïèñûâàåòñÿóíêöèåé 12.43 è ÿâëÿåòñÿ äâóïîëÿðíûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
