PDF-лекции (1160463), страница 10
Текст из файла (страница 10)
14). Îäíàêî ïðè t 1= îíà íå ïðîåêòèðóåòñÿ îäíîçíà÷íî íà ïëîñêîñòü u = 0.12.2Îáîáùåííûå ðåøåíèÿÅñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî óíêöèÿ u(t; x) îïèñûâàåò êàêóþ-ëèáî èçè÷åñêóþ âåëè÷èíó â ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ t; x, òî åñòåñòâåííî, ÷òî ýòà âåëè÷èíà äîëæíà áûòü îäíîçíà÷íîé óíêöèåé t; x. Ïîýòîìó çàäà÷è èçèêè, ïðèâîäÿùèåñÿ ê çàäà÷å Êîøè (1.1) - (1.2), òðåáóþò îïðåäåëåíèÿ îäíîçíà÷íîé óíêöèè u = u(t; x). Êàê ìû âèäåëè, çàäà÷à Êîøè ðàçðåøèìà â øèðîêîìñìûñëå (ò.å. â êëàññå íåïðåðûâíûõ óíêöèé) äàëåêî íå âñåãäà. Ñëåäîâàòåëüíî, òðåáóåòñÿîïðåäåëèòü â êàêîì ñìûñëå ðàçðûâíóþ óíêöèþ ìîæíî ñ÷èòàòü ðåøåíèåì çàäà÷è (1.1) (1.2).
Äëÿ ýòîãî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1.1) - (1.2) â ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî-ãëàäêèõóíêöèé íàçûâàþò óíêöèþ u(t; x), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâóZ[u't + F (u)'x ℄ dxdt = 0;(12.11)Tïðè ëþáîé "ïðîáíîé"óíêöèè '(t; x) 2 C01 (T ), à íà÷àëüíîå óñëîâèå (1.2) âûïîëíÿåòñÿ äëÿïî÷òè âñåõ x 2 :R43èñ.
14.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå îáîáùåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1) óäîâëåòâîðÿåò ýòîìóóðàâíåíèþ â òî÷êàõ ãëàäêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ (u; F (u)) ÷åðåç ëþáóþãëàäêóþ êðèâóþ íà ïëîñêîñòè (t; x), îãðàíè÷èâàþùóþ îáëàñòü ãëàäêîñòè óíêöèè u(t; x),ðàâåí íóëþ. ßñíî, ÷òî åñëè ýòà êðèâàÿ îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü ñ ëèíèÿìè ðàçðûâà u(t; x),òî òàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ âûïîëíÿòüñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, óæå íå áóäåò. Îäíàêî, äëÿ ëþáîãîêóñî÷íî íåïðåðûâíîãî è êóñî÷íî ãëàäêîãî îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) â ñìûñëåèíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà (12.11) ýòîò âàæíûé èçè÷åñêèé çàêîí, ñóòü êîòîðîãî è âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì (1.1), âûïîëíÿåòñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî íà ëþáîé ëèíèè ðàçðûâà îáîáùåííîåðåøåíèå â ñìûñëå (12.11) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ýíêèíà-þãîíèî, êîòîðîå íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ëþáîå êóñî÷íî-ãëàäêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1) ÿâëÿëîñü îáîáùåííûì ðåøåíèåì â ñìûñëå èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà (12.11).
Ñîðìóëèðóåì òåïåðü ýòîóñëîâèå.èñ. 15.Ïóñòü u(t; x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíîå è êóñî÷íî ãëàäêîå îáîáùåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1)â îáëàñòè 2 â ñìûñëå èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà (12.11) Òî÷íåå ïóñòü äåëèòñÿ ëèíèåéíà äâå ÷àñòè (ñì. ðèñ. 15) è + , â êàæäîé èç êîòîðûõ óíêöèÿ u(t; x) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé,u(t; x) 2 C 1 ( ) \ C 1 (+ ); è ñóùåñòâóþò ïðåäåëû ñëåâà (u ) è ñïðàâà (u+ ) óíêöèè u ïðèïîäõîäå ê .Òàêèì îáðàçîì, íà êðèâîé â êàæäîé òî÷êå (t0 ; x0 ) 2 îïðåäåëåíûRèu (t0 ; x0 ) =lim(( ( )!)2( 0u+ (t0 ; x0 ) =limu(t; x):(( ( )!)(20 + 0 ))t;xt;xt;xt;xt ;xÒàêèå ðàçðûâû íàçûâàþò ðàçðûâàìè ïåðâîãî ðîäà.440 ))t ;xu(t; x);Ïóñòü êðèâàÿ â îáëàñòè åñòü ãðàèê ãëàäêîé óíêöèè x = x(t): Òîãäà êóñî÷íî-ãëàäêîåîáîáùåííîå ðåøåíèå u(t; x) óðàâíåíèÿ (1.1) óäîâëåòâîðÿåò íà ëèíèè ðàçðûâà ñëåäóþùåìóóñëîâèþ ýíêèíà-þãîíèî:dx [F (u)℄ F (u+ ) F (u )==;dt[u℄u+ uãäå [u℄ = u+ñêà÷îê F (u).u ñêà÷îê óíêöèèu(t; x) íà ëèíèè ðàçðûâàdx=dtos(; t), (os(; x) è os(; t) os(; x)íàïðàâëåííîé èç â + , os(; x) 6= 0),Ó÷èòûâàÿ, ÷òîëè ê êðèâîé ,ýêâèâàëåíòíîì âèäå(12.12),[F (u)℄ = F (u+ )F (u ) êîîðäèíàòû åäèíè÷íîé íîðìàïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (12.12) â[u℄os(; t) + [F (u)℄os(; x) = 0:(12.13)Îïðåäåëåíèå.
Óäàðíûìèâîëíàìè íàçûâàþòñÿ ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1).Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ýíêèíà-þãîíèî (12.12) ñâÿçûâàåò ñêîðîñòü x_ ðàñïðîñòðàíåíèÿóäàðíûõ âîëí ñ ïðåäåëüíûìè çíà÷åíèÿìè u+ è u ÷åðåç óíêöèþ ñîñòîÿíèÿ F (u). Åñëèóíêöèÿ u(t; x) òåðïèò ñëàáûé ðàçðûâ íà ëèíèè , ò.å. ÿâëÿåòñÿ íà íåé íåïðåðûâíîé è èìååòu, òî óñëîâèå ýíêèíà-þãîíèî (12.13), î÷åâèäíî,xâûïîëíåíî (ò.ê.
[u℄ = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêæå [F (u)℄ = 0.) Òàêèì îáðàçîì, êóñî÷íî-ãëàäêàÿíåïðåðûâíàÿ â îáëàñòè óíêöèÿ u(t; x), êîòîðàÿ â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ãëàäêîñòèÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì, áóäåò âî âñåé îáëàñòè îáîáùåííûì ðåøåíèåì (óíêöèÿu(t; x) êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì â , áåçóñëîâíî, íå ÿâëÿåòñÿ, ò.ê. îíà íå äèåðåíöèðóåìàïðè (t; x) 2 .)íàëèøü ðàçðûâû ïðîèçâîäíûõutèÎäíàêî ïðè òàêîì ïîíèìàíèè îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ îíî îêàçûâàåòñÿ íååäèíñòâåííûì(ïðèìåð ìîæíî íàéòè â [7℄). Ýåêò íååäèíñòâåííîñòè ñâÿçàí ñ íàëè÷èåì ðàçðûâîâ ó ðåøåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íå ëþáûå ðàçðûâû äîïóñòèìû.
Åñòåñòâåííûì òðåáîâàíèåì ê ðàçðûâíîìó ðåøåíèþ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå òîãî, ÷òî îíî äîëæíî ÿâëÿòüñÿ ïðåäåëîì êëàññè÷åñêèõðåøåíèé äàííîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ. Ñîðìóëèðóåì óñëîâèå ïðîâåðêè äîïóñòèìîñòèðàçðûâà ó ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ.Ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) âîçìîæåí ñêà÷îê îò u ê u+ (â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ x)ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè ðàçðûâà: â ñëó÷àå u < u+ ãðàèê óíêöèè F (u) íà îòðåçêå [u ; u+℄ äîëæåí áûòü ðàñïîëîæåííå íèæå õîðäû ñ êîíöàìè (u ; F (u )) è (u+ ; F (u+ )); â ñëó÷àå u > u+ ãðàèê óíêöèè F (u) íà îòðåçêå [u+ ; u ℄ äîëæåí áûòü ðàñïîëîæåííå âûøå õîðäû ñ êîíöàìè (u ; F (u )) è (u+ ; F (u+ )). ëèòåðàòóðå ñîðìóëèðîâàííîå âûøå óñëîâèå äîïóñòèìîñòè ðàçðûâà íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì "íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè".
Äåëî â òîì, ÷òî íåëèíåéíûå èçè÷åñêèå ïðîöåññû, ìîäåëèðóåìûå ðàññìàòðèâàåìûìè óðàâíåíèÿìè, íåîáðàòèìû âî âðåìåíè, à óíêöèÿ, ïðè ïîìîùèêîòîðîé õàðàêòåðèçóåòñÿ íåîáðàòèìîñòü, íàçûâàåòñÿ "ýíòðîïèåé".Âûâîä óñëîâèé ýíêèíà-þãîíèî è íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè ìîæíî ïðî÷èòàòü â [7℄.12.3Çàäà÷à èìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ Õîïà êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ óñëîâèé ýíêèíà-þãîíèî è íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè ðàññìîòðèì çàäà÷ó èìàíà î ðàñïàäå ðàçðûâà äëÿ óðàâíåíèÿ Õîïà:uu+u =0t xïðè x < 0;u jt=0 = u0 (x) = uu+ ïðèx > 0:45(12.14)Èñõîäíîå óðàâíåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå x ! kx, t ! kt, íà÷àëüíîå óñëîâèå ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè x ! kx, k > 0. Çíà÷èò, â ñèëó òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ èåäèíñòâåííîñòè [9℄, ïðè óêàçàííîé çàìåíå ñ ïîëîæèòåëüíûì k óíêöèÿ u(t; x) ïåðåõîäèò âñåáÿ:u(kt; kx) = u(t; x)8k > 0:Ýòî â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî u(t; x) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé íà âñåõ ëó÷àõ x = t, t > 0, âûõîäÿùèõ èç íà÷àëà êîîðäèíàò, ò.å.
ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé îò = x=t:u(t; x) = u(x=t);t > 0:(12.15)åøåíèÿ, çàâèñÿùèå îò x=t íàçûâàþòñÿ àâòîìîäåëüíûìè. Ó àâòîìîäåëüíûõ ðåøåíèé, â÷àñòíîñòè, ëèíèè ðàçðûâà ìîãóò áûòü òîëüêî ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç íà÷àëà êîîðäèíàò.Ïîäñòàâëÿÿ (12.15) â óðàâíåíèå Õîïà, ïîëó÷èìx 0 x 1 x 0 x 1 0 x x xu+ uu= uu= 0;t2tt ttttttò.å. ëèáî u0 = 0, ëèáî u = x=t. Òàêèì îáðàçîì, âñå ãëàäêèå àâòîìîäåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÕîïà ÿâëÿþòñÿ ëèáî êîíñòàíòàìè, ëèáî óíêöèåé x=t.Íàøà äàëüíåéøàÿ çàäà÷à ñîåäèíèòü ïðàâèëüíûì îáðàçîì (ò.å. ñ âûïîëíåíèåì íà ëó÷àõ ðàçðûâà óñëîâèé ýíêèíà-þãîíèî è íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè) ïîñòðîåííûå ãëàäêèå àâòîìîäåëüíûå ðåøåíèÿ òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíîìó óñëîâèþ u0 (x). Ïðåæäå âñåãîâûÿñíèì, ïî êàêèì ëó÷àì ìîæíî "ñòûêîâàòü"ðàçëè÷íûå êîíñòàíòû, à òàêæå êîíñòàíòó èóíêöèþ x=t.Äâå ïîñòîÿííûå óíêöèè u(t; x) u1 è u(t; x) u2 , ui = Const, êàê ñëåäóåò èç óñëîâèÿýíêèíà-þãîíèî, ñòûêóþòñÿ ïî ïðÿìîéx=1 u2 u2u +uF (u2 ) F (u1 )t = 2 1 t = 2 1 t;u2 u12 u2 u12ïðè÷åì ñêà÷îê, èç óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè ðàçðûâà, âîçìîæåí òîëüêî â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿu (ïðè ðîñòå x).
Òàêèì îáðàçîì, åñëè äëÿ îïðåäåëåííîñòè u2 > u1, òîu2 + u 1t;2u2 + u1u(t; x) = u1ïðè x >t:2×òî êàñàåòñÿ ñòûêîâêè êîíñòàíòû u(t; x) u3 = Const è óíêöèè u(t; x) = x=t, òî åñëèîíè ñòûêóþòñÿ ïî ëó÷ó x = t, òîãäà ïðåäåë óíêöèè x=t ïðè ïîäõîäå ê ýòîìó ëó÷ó ðàâåí ,u(t; x) = u2ïðè x <è èç óñëîâèÿ ýíêèíà-þãîíèî ñëåäóåò=ò.å. = u3 . Ïîñëåäíååx = t = u3 t; t > 0:dx F (u3 ) F ( ) 1 u23 2 u3 + ===;dtu3 2 u3 2îçíà÷àåò, ÷òî ïîëó÷åííàÿ óíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ëó÷å ñòûêîâêèÒåïåðü ìû ìîæåì ïîëíîñòüþ ðåøèòü çàäà÷ó èìàíà î ðàñïàäå ðàçðûâà äëÿ óðàâíåíèÿÕîïà. Çäåñü âîçìîæíû äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè.1) Åñëè u > u+ , òî ðåøåíèå ñòðîèòñÿ â âèäå óäàðíîé âîëíû äâóõ êîíñòàíò u è u+ ,ñîåäèíåííûõ ïî ëó÷óx=u + u+t â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì ýíêèíà-þãîíèî28u + u+>< uïðè x <t;2 +u(t; x) =u+u>: u+ïðè x >t:246Ïîëó÷åííûé ðàçðûâ, êàê óæå îòìå÷àëîñü, ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì â ñìûñëå óñëîâèÿ íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè.2) Åñëè u < u+ , òî ðåøåíèå ñòðîèòü â âèäå óäàðíîé âîëíû íåëüçÿ, ò.ê.
ïîëó÷àåìûé â ýòîìñëó÷àå ðàçðûâ íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè. Çäåñü íà ïîìîùü ïðèõîäèòóíêöèÿ x=t, êîòîðàÿ ïî íåïðåðûâíîñòè ñîåäèíÿåòñÿ ñ u è u+u(t; x) =8<:x u t;u t < x < u+ t;x u+ t:ïîëóïëîñêîñòè t > 0.ux=tu+ïðèïðèïðèÏîëó÷åííîå ðåøåíèå íåïðåðûâíî âî âñåéÓãîë u t < x < u+ t,t > 0, â êîòîðîì ïðîèñõîäèò ñãëàæèâàíèå ðàçðûâíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, íàçûâàþò îáëàñòüþðàçðåæåíèÿ, à ñàìî ðåøåíèå öåíòðèðîâàííîé âîëíîé ðàçðåæåíèÿ.12.4Çàäà÷à èìàíà äëÿ âûïóêëîé óíêöèè ñîñòîÿíèÿÄëÿ óðàâíåíèÿ (1.1)u F (u)+=0txðàññìîòðèì çàäà÷ó èìàíà î ðàñïàäå ðàçðûâà ñ íà÷àëüíîé óíêöèåéu0 (x) =u ; x < 0;u+ ; x > 0;(12.16)è u+ ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ F = F (u) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü åå âûïóêëîé âíèç.  [7℄ ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèåýòîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùèì äåéñòâèÿì.I. Åñëè u > u+ ; òî ðåøåíèå ñòðîèòñÿ â âèäå óäàðíîé âîëíû, ñòûêóÿ äâå êîíñòàíòû u èãäåuu+ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì àíêèíà-þãîíèî ïî ëó÷óu0 (t; x) =8><>:F (u+)u++F(u)u+ ; x >+uu ; x<x F (u+ ) F (u )=t, t > 0 :tu+ uF (u )t;u(12.17)F (u )t:uII. Åñëè u < u+ ; òî ðåøåíèå âèäà (12.17) íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî âîëíå ðàçðÿæåíèÿ â ñëó÷àå óðàâíåíèÿÕîïà. Ñíà÷àëà ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî óíêöèÿ (x=t) = (F 0 (x=t)) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1) ïðè t > 0 (îíî òàêæå íàçûâàåòñÿ âîëíîé ðàçðÿæåíèÿ), à çàòåì ñ åãî ïîìîùüþñêëåèâàþòñÿ êîíñòàíòû u è u+ èç óñëîâèé íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ â öåëîì ïðè t > 0:8<u ; x F (u )t;(x=t); F (u )t < x < F (u+ )t;(12.18): +u ; x F (u+)t:×òî êàñàåòñÿ ñëó÷àÿ âûïóêëîé ââåðõ óíêöèè F , òî ðåøåíèå â ñëó÷àå u < u+ ÿâëÿåòñÿóäàðíîé âîëíîé, îïèñûâàåìîé îðìóëîé (12.17), à â ñëó÷àå u > u+ ðåøåíèåì ñëóæèò âîëíàu0 (t; x) =ðàçðÿæåíèÿ, çàäàâàåìàÿ îðìóëîé (12.18).Çàìå÷àíèå 12.1Ïðèìåð 12.1Âûïóêëîñòü óíêöèèF[u ; u+℄ (èëè [u+ ; u ℄.F = eu .
 ñëó÷àå, êîãäàíóæíà ëèøü íà îòðåçêåàññìîòðèì ïðèìåð âûïóêëîé âíèç óíêöèèu > u+ , ðåøåíèåì çàäà÷è èìàíà ñëóæèò óíêöèÿ8+>eu>< u ; x<u++u(t; x) =u>e>: u+ ; x >u+47eut;uuet;u(12.19)à åñëèu < u+ , òî óíêöèÿu(t; x) =8><>:u ; x eu t;+ln(x=t); eu t < x < eu t;+u+; x eu t:(12.20)àññìîòðèì ïðèìåð âûïóêëîé ââåðõ íà îòðåçêå [0; ℄ óíêöèè F = sin u.0 u < u+ , ðåøåíèåì çàäà÷è èìàíà ñëóæèò óíêöèÿÏðèìåð 12.2 ñëó÷àå, êîãäàu(t; x) =à åñëè>:os u+u++osuu+ ; x >u+u ; x<os ut;uos ut;u(12.21) u > u+ 0, òî óíêöèÿu(t; x) =12.58><8<:u ; x os u t;aros(x=t); os u t < x < os u+ t;u+ ; x os u+t:(12.22)Çàäà÷à èìàíà äëÿ íåâûïóêëîé óíêöèè ñîñòîÿíèÿÎïèøåì òåïåðü, ñëåäóÿ [7℄, ïîñòðîåíèå òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è èìàíà â ñëó÷àå íåâûïóêëîéóíêöèè ñîñòîÿíèÿ F .Îïðåäåëåíèå 12.1þò óíêöèþ ñîâîêóïíîñòüu 2 [; ℄.ãäåF~ (u) = inf F~ (u);F~ (u)2âñåõ âûïóêëûõ ââåðõ óíêöèéÎïðåäåëåíèå 12.2óíêöèþ ñîâîêóïíîñòüu 2 [; ℄.ãäåÂûïóêëîé ââåðõ îáîëî÷êîé óíêöèèâñåõ âûïóêëûõ âíèç óíêöèéíà îòðåçêå[; ℄íàçûâà-u 2 [; ℄;F~ (u)òàêèõ, ÷òîÂûïóêëîé âíèç îáîëî÷êîé óíêöèèF~ (u) = sup F~ (u);F~ (u)2F (u)F~ (u) F (u)ïðè âñåõF (u) íà îòðåçêå [; ℄ íàçûâàþòu 2 [; ℄;F~ (u)òàêèõ, ÷òîF~ (u) F (u) ïðè âñåõÅñëè F (u) âûïóêëàÿ ââåðõ (âíèç) óíêöèÿ íà îòðåçêå [; ℄; òî åå âûïóêëîé ââåðõ (âíèç)îáîëî÷êîé íà ýòîì îòðåçêå ÿâëÿåòñÿ îíà ñàìà, à ãðàèê åå âûïóêëîé âíèç (ââåðõ) îáîëî÷êè îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé òî÷êè ; F () è ; F ( ):  îáùåì æå ñëó÷àå ãðàèê îáîëî÷êè ñîñòîèò èç âûïóêëûõ (â ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòîðîíó) êóñêîâ ãðàèêà óíêöèè F (u) è îòðåçêîâ,ñîåäèíÿþùèõ ýòè êóñêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
