Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 99
Текст из файла (страница 99)
1 6. Разностные схемы дгя параболического уравнения Опишем кратко его суть на дифференциальном уровне. Пусть и«с, С) решение задачи да да — — — н(0, С) = н(Х, «) = О, а(х, 0) = но(х). (1о) д« дхз —,'/ —,',х«х+)' (ф),х =-)" С..«х. (16) Для функции 22(х, С), которая при любом С б [О, Т] припвднежит пространству УУ2~ [О, Х], обозна лим ([22(С)][~ = / ~ — ) гх. а дг: Если функция ((х, С) такова, .но двя любой д ОЬЕг' [О, Х] существует интеграл ((гл С)д(.л)дх, то че«юз []1(«)][, обозначим норму 30 гл ][у(С)(], = нар / (Сд]йт. — = „„[]д])./.
Согласно определенило (] ]( л имеелг сндх < [[((С)]] «]]н(С))], < с[(а(С)]( -л — ]] С(С)]] ух уа 4е При получении погтедпей оценки было использовано г,-нграашатаао ]ай[ < еа + — Ь, 4Е которое следует из гюотношешлй 22 62 О < ~ьгсах 6) =саг+ — ха(ь д-,) -е В данном случае мы обозначили []и(С)[] через а, а ](С(С)]], ° через 6. Тогда из (16) следует неравенство Сд гл йд) -'~,+(1- и] («И]~ < — '([Х«Н[вш д /„ Будем предпшлагать, что правая часть С[т.. С) и функция ио(т) таковы, что ори глебом С 6 [О, Т] гуществуег интеграл / [ — ) фг < сс в ,/е л,«лг) Сй непрерывна по С. Умножим обе части уравнения (16) на а и проилпогрируем по х. Испшшзуя формулу интегрирования по чвстялг, лгглучаелл лнергетнческое гаоггсдсшаео Глава 10. Ыетаэы решения уравнений в честных пронзвалных Для определенности ыожно была бы повожнть г = 0,5.
Проинтегрируем последнее неравенства по 1 в пределах от нуля до Т. В результата получим 1((и(,)((г ( ) ~" (( ()((г „с < 1() ((г 1 у" (( ()()г о 2 4г2е л ,, луг здесь ((и(с](( = иэ(т, 1) сгх) . последнее неравенство называется ~а энергеяшчсгсаи неравенством. Из него, в чапгност, следует, что роше. ние и(х. 1) непрерывно зависит от правой части и начальных условнй. Применим несколько похожуло схему к исследовании упгойчивостн сеточной зэдчи (11), (5).
Напомним, что ив — значение аь на и-и слое, т.е. и" (т1л) = иа(гпЬ, пт). В этом сшучэе уравнение (11) может быть пе. реписано в энде и" = пЛи" ел 4- (1 — )Ли" -1- ул", (18) где и", = (й+л — и л(т. В пространстве функций на слао (с нулевыыи граничными условиями) введем скалярное произведение и нормы: и-л (е, ш) = ~ Ье соты ((о(( = (О, о), г=л И, =3=' (-"„-"э-)т Залштим, что 2 поэтому (18) можно праэбразовать к нилу 1 й' = -Л(й" л -1-й) .~- г(п — 0,5)Лггг' -1- уа. с (19) Умножим обе чести (19) скалярно на 2ти,. Получим 2т((й((~ = (Л(йе' -~- и"), йе' — и") -1- + 2тг(п — 0,5)(Лиг', и, ) -~- 2т(гд', ее). Из формулы суммирования по частям (9.8.14) и-л м ) Л~лл~ 'Ь = — ~Л лам -У амбм — алба, 6 Л ° =1 =с 15.
Разностпые схемы лзя параболическою уравнения е — е ! положив о,„= -, Ь,„= е„ь имеем 6 и-1 62 =1 = ЕЛ("'""'„"'") =-Ц Ц~. 539 Оператор Л являеття симметричным (!м. гл. 9), поэтому = [)и"Цз — [[1!я" Ц! Используя пш1ученныо соотношения, преобразуем (20) к виду 22Ци! Цз+ Ци + Ц21+ 2тз(о — О 5)Цп! Цг!' — — ЦпвЦ11 -!- 22(п!', 2!Я). (21) Получонн1ж равенство по вншшгии с непрерывным случаем назывшот энершгличесш!м тошсдешпеозс Оценим сшьвнрное произведение в правой части (21] прн помощи е- 2 1 2 неравенства )(п",, !еь)! < еЦи1'Цз-1- — Ц22еЦ2.
Тогда нз (21) нм!им оценку 4е 2т [(1 — е)Ци1Ц2-!-т(!г — 05)Цн)Ц21! -!- [)н т1Д < Цп" Ц21-1- — Ц22"Цэ. (22] Выясним, прн каких о выражение в квадрасных скобках будет неотрицательным. Заметим, что зцссь е- п1шн1вальное положительное число, которое до сих пор не было фиксировано. При 0 < е < 1 условие и > 0,5 является достаточным, чтобы выраженно в квадратных скобках было ноотрнцательнв1м. В этом случае, фиксируя с < 1 (например, можно псшожить с = 1), из (22) получим Ы1Ц2 Ц [[2+ " Ц [[2 (23) Проведем бсинн детальное исследование устайчнв1штн ври о < 0,5. О учетом неравенства Це1Ц < — Це Ц, которое было установлено раню, из 2 4 2 1 Лг (22) получаем +,* ~ цпццз+ц "'Й <ц "цг+ — ц~"цз.
Пснтому вз выполнения соотношения 1 — е-1-4(т — 0,5)т/52 > 0 следует справедливость (23). Таким образом, дзя справедливости (23) при о < 0,5 цосгаточно выполнения соотношения (1 — е) 52 4(0,5 — !2) (24) 1лава 10. Методы сешеивя уравнений в частных пвовзволиых Используя оценку (23) рекуррентныы образам, получаем ))иа))> < ))й))> 4- ~: — ))2>>)), пт < Т. >=с (25) П>тледшн неравенство как раз и гнначает устойчивость разаоспюй гхемы (11), (5) пс> начальным данныи и правой части.
При зтоы сунь>а а правой части (25) является квадртиурной формулой лля интеграла Отнесен, что ог*ш соотв> нтвую>ци>1> антсграл / ))10)((20> сходится, то из те (25) следует ограиичгивогть сшочиого решения на бегконе шеи проне>кгткс ереиепя. н„е 1<>п<М вЂ” 1, ) в О, гп = О, >и = М. В этом случае е„'„' удг>влегворянг сднородныы граничным усцовияь> (5), начацьиыы условиям (5) и системе уравнений (11) при ч>нь замененной нп ф,"„, где у> 1 — с и 2>хг -! 52 1 2 521 2 2<т<М вЂ” 2, >п=М вЂ” 1.
Таким образом, зцлача (11), (5) с неоднородными граничными угловиями может быть записана как задача с однородными граничньпхи условинми и некоторой измененной правой часп,н>. Такии обраи>ь>, схама (11), (5) по доказанному апшо являигсв бн>- усвоено устойчивой при с В 0.5 п условно устойчивой (шаги Л, н г удовлетворя>пг соотношению (24), с > 0 пе зависит от >нагов сетки) при с> < 0,5. Няни пракгически не рассматривался вопрос об устойчивости по грапичцыы угловиям. Дело закл>очается в >шецуккцеы. Возьмем фувкпию х(>, 1] = д>(С)(Х вЂ” х)>Х 4- 1>2(1)>г>Х. В эп>л> случае фушг>Шя с(х, 1) = и(х, 1)-х(>с, 2) явля>.гся рошениеы зада >и (1) с однородными граничными условиями и правой часпю 4'-~->>х/02.
'1акип обрязоы, сели функции р> и 02 иьюют произодные по 1, то граничные условии в задаче (1) ьюгуг был, сняты описанным способоьс В сеточном слу'ше ложно иначе свести зада>у (11) г неоднородными грани пп.>мя условиями (5) к за>шче с однородными условиями.
Пусть и,"„— решение сеточной задачи. Положим 541 ) о. Разностные схемм лл» параболического уравнения Получим оцг у гк рог!и:яд 1 . Вуд!м ра м ривать схелзу (11), (5), так как остальные схемы являются ее частным сэучвем. Пусть н- решение дифференциальной задачи (1), а и — решение разносгпой а задачи (11), (5). По определению Х~ (!л) — рь = г, гдг ! — погрешность аппроксимации.
Рассмотрим разность э = [и) — о!'. Она удовлетворяет уравнению .!- ! = с Лап+! + (1 — п)Лв" -1- !рн — 7н -~- г". т (26] Таням образом, з,'„' являепя ренан!нем задачи (11) с правой часть!о равной погрешности аппроксимации, и однородными Граничными и начальными условиями (5). Рззэ! рагкмэтриваемая гхема устойчива, то справедлива оценка (25). откуда — ! л-! )) э" )) ! < ) — ))!' )) < ~ — )) ! ! )) < — шах 2е, 2г 2ео<у<м. ! у=о !:о пространства И'! на слое. Для получения оценки скорости гходимостн н других нормах гле,эуш.
воспользовшъся соответствующими оцонками устойчивости либо нсполшовать сеточные теоремы вложения (ело. 'з 9.8). В частности, из теоремы вложения х снах )о,„) < — )(о)), следует сходнмогть разностной схомы с порядком, равным порядку ап- проксимации, в сеточной норме нространстна С.
Рассмотрим аппроксимацию граничных усэовий,нругого типа. Пусть, напр илюр, дв 1и г— е —, — он) = О. дз; Цо0 (27) Заменяя в (27) производную гй!/дз разиостным отношением, получаем ашцюксимациа! граничного условия и" — и 1ан" ш " — пн = О. гп'о = И (28) В силу ту!го что г = О(1!этг) при а т' 0,5 и г = Г1(йз-~-гз) при о = 0,5, яз последней оценки получаем, что при выпгпшении условия устойчивогти ршэоння се!очной звда*ш (11), (5) ьь скалины к решению дифференциальной зэдаш н в сеточной норме п!ах)(эн))!. При этом порядок скорости слоним!и!ти равен порядку аппроксимации схемы, Так!!л! образом, решение сеточной задачи сходится к решению ди!)л)юренцивльной задачи со скоростью, по порядку совпвдшощсй с порядком аппроксимации разно! гной схел!Ы. Сходимсять разностных гхел! была усляиовлона в сеточной норме Глава 10. Мвтолы решения уравненяп в частных производных Оценим погрешность такой аппроксимации.
Имеем Со]а] = — оа(0, С) = а(6, с) — и(0, с) 6 6 два! Сгд и! = Си+ — ~ + О(62) = т —,] С- О(62). 2 дзз](о,о 2 дтх])о,о (29) Таким образом, построенная аппроксимация (28) граничного условия (27) имеег первый по 6 порядок вппроксиыацнн. Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся приемом, который прнменшгся пря аппроксимации условия (27) в краевых задачах Лля обыкновенных днфда ференциальных уравнений. Из уравнения (1) выразим —. Получим Д22' 02 д — — Тогда дт2 дс оса] (О, С+т) —,(О, С) йтд]сп!) либо дзи! и(0, С) — и(0, С вЂ” т) ' — — 7(0, с) — О(т).
дкс](о,!) т Подставив это выражение в (29), получны Сл]и] = — '(— 6 С'а(0, С ~- т) — и(0, С) — По, С)) -)-О(62+2) 2 ), т Таким образом, аппроксимация граничного условия (27] с порядком О(62 + т) будет иметь вид (30) либо .!! т! 6 тиос! — а" 6 — о 2 т — о' (31) Можно также использовать линейную комбинацию этих условий а.!-! -21 о в-Н !'й — й гт ~ — — ггив ] + (1 — а) ] — оас у!— о 6 6 — —: = — (-~в +(1--)~о") (32) Из построения следует, что аппроксимация граничного условия (32) име- ет порядок О(62-)-т). Иепосредствегпю можно убели~ься, что при о = 0,5 условие (32) аппроксимнрует (27) с порядком О(62+ тс].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
