Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Наметим пути получения более точных схем. Предположим, что решение и непрерывно дифференцируемо пюсть раз в замкнутой Области Й. Тогда вместо (б) можно написать равенство Дифференцируя (1) два раза по х, получаем д'и дгн д41 дхз дтгду2 д .2 Таким обрезом, Заменяя производные в правой части разностными игношешшми, змеем Аналогично устанавливаем, что Складывая полученные равенства, получаем ( — 'Ч вЂ” + — ) — — ~6~41 -~- бз,() ~ + О(6~4 + 6~2) . ц ) Вз — 903 Глава 10. Метоньс решения уравнений в частных н>юизсюдссых 500 Искомая рвзпостная схема четвертого порядка аппроксимации будет иметь вид ! (ш, ] (9) се = 1.
° °, 61" 1, 'сс = 1, ° ° ° ° 6>2 Нетрудно видег>ч что шаблон схемы (9) состоит из девяти точек (рис. 10.0.3). Схемы Гюлее высокого порядка, (т — 1.л+1) (>п,п-~-1) (ш+1,л+1) в отличие от одномерного случая, будут содержать тем болыпее коли юство узлов, чем выше порядок (ш — 1, и) (ш и), 1 аппроксимации рвзнсстной схемы. (не+1,п) В шсучае, если область й является обьединением прямоугольников со сторонами, параллельны(са — 1,л — 1) (т,п — 1) (ш+1,п — 1) ми осям координас и 6> = 6>, при гладком решеспси растмотренная схема будет иметь четвертый порядок Сходимости. Более точно, если решение и исходной задачи имеет шестые ограниченнью щиизвсдные в замкнутой области Й, то справедлива оценка Рис.
10.0нл (Паблов схемы 4-го порядка >пах>(сшн — и(т„н рн) ч с6, пс, где н,„— решение системы сеточных уравнений (9), (4). Пусть й является объединв>сиен> конечного числа прямоугольников со сторонамн, параллельными осям координат> причеы стороны, параллельные оси яс, лежат на прямых тз = п262, с>2- целое, а параллельные осн хг — на прямых х> = п>6>, и> — целое. То>да построение н исследование разностной схемы проводитгл аналогично. Расмотрим наиболее простые методы аппроксимации граничных условий в случае области с криволинейной границей. Огранвчимс» рассмотрением равномерного шага, т.е. 61 = 62 = 6. Рассмотрим множество прямых л = сп6, 9 = п6.
Точки их пересечения между собой, а также точки их пересечения с суй будем называть узлами. Через Г>, обснначим узлы, лежащие на дй, а через дйа — узлы (п>6, п6) с целыми координатами (сн, и), лежащие в й, расстсмние от которых до границы дй, измеряемое вдоль направления какой-либо из осей коорцинат, меньше 6. Осталыпяе узлы сетки, лежащие в й, обозначим йь. Тогда в каждом з 6. Ртпостная аппроксимация эллиптических уравнение 661 узве (ш, и) (т.е.
в точке с коорлинатип1 (ш(ц пЛ)) сеточной области йь можно записать уравнение — Аэп „= г',, (гп, п) е йь. (10) Простейший тюсоб аппроксимации граничных условий заключается в сносе граничных угловий э узлы дйа, т.е. полагаем п,э —— п(х, у), (гп, и) б дйь, где (х, у) — ближайшая к узлу (ш, и) точка границы. В эшм случае йь— внутренние узлы сеточной области, а дйь — граничные. Нетрудно видеть, что при таком способе задания граничных условий порядок тпцгоксчн мации будет О(А). Исследовагпге устойчивости н сходимости рвзносгной схемы (10), (11) проводится точно так же, как для схемы (3), (4), однако в данном случае получаегсн поридок сходимосгн О(А).
Это является следствием довольно грубой аппроксимации граничных условий. Рассмотрим еще одни способ аппроксимации граничных усло- (т,п+1) внй. Назовем узлы дйь приграничными, а узлы Гэ — границей сета шой области. В узлах йь (~ 1,„) (т,п) (т+1,п) уравнение (1) заменим уравнением (10]; в Га положим и" (гь аь, т.е. в этом случае граничные условия выполняются точно. Пусть (т,п — 1) (гп, и). узел дйь.
Для определенности будел~ считнтгч что узлы Рис. 10.6.4 (го+ 1, и), (ш, п -г 1), (ш, п — 1) не Аппроксимация в приграничных лежат на Гь (отрезки, соединяю- узлах. шие нх с узлом (эп, п), принадлежат й), а узел (ш — 1, п) лежит на Гэ. (В этом случае узел (ш — 1, и) соответствует точке ((ш — 1)ЬВ, пА) б дй, 0 < В < 1 (см. рис.
10.6.4).) Тогда аппроксимация (1) в приграничном узле (гп, п) берегся в виде ь„1/пег, — „„„— ь-ц '1 (12) пт, +г З~~ + пэс„ Аг Здесь А' — расстояние между у~лами (ш — 1, и) и (гп, и). Аналогично осуществляется аппроксимация уравнения (1) в других узлах дйь. Итак, в узлах йь уравнение (1) аппроксимируется обычным образом, а аппроксимация на неравномерной сетке используется "голько в узлах дйь.
Поэтому узлы йэ называют регуллрнмти, а узлы дйь нерсгуллрнмтн Аппроксимация уравнения (1) в нерегулярных узлах в данном глучае имеет порядок О(1). Глава 10. Методы решения уравнении в частных провзвсдиых Для рассмотренной схемы 2лмып пехло Теорема 2 (без докззательстаа). Евви решение задачи (1) и 0 Сз(П), гло разносолах схема (10) с аппроксимацией (12) в нерегулярных узлах имеет второй порядок сходимосгли в паточной норме прострвисиюо С, т. в. )(ил — и()„л б сЛ'. Зо качание. Довольна распространенным является другой споцзб аппроксимации уравнения (1) в нерегулярных узлах. А именно, аолагыат (см. рис.
10.5.4) йь 2 (имуз,л — и„я, и,„о — им Ло ) дзимо 2 Л+ Л" Л 1л' 52 В этом случае погрешность аппроксимации в таках узлах имеет порядок С(Л) и теорема 2 будет справедлива. Однако если систелгу линейных уравнений путем исключения граничных значений привести к виду (5), то получитси система уравнений с несимметричной матрицей. Таким образам, а данном случае сегочная задача теряет важное свойство, присущее исходной задаче- симметричность оператора. При яслледавании краевых задач с другими граничными условиями и эллипти 2еск2зм22 дифференциальными операторамв более общего вида, а также краевых задач дли систем уравнений в частных производных прющип максвмума, рвзностиый аналог котороп2 использовался при исследовании устойчивости и глодимасти разностной схемы, вообще говоря, не имеет места.
Кроме этого, чмло бываег необходимо оценивать не только близость получаемого приближения к точному ршпени2о, но и близость их производных. Все эта приводит к необходимости создания методов исследования разностных схем, не использу2ощих принцип максимума. Как и ранее, пронллюстрируем методику исследовании иа модельной задаче Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (1), (2) и на соответствующей разностнай схеме (3), (4). Пусть Лз = Лз = Л. Исключая граничные условия (4) из (0), получаем систему уравнений (5).
Обозначим через Н линейное проогранство сеточных функций, определенных на Пь. Таким образом, элементы Н можно рассматривать как векторы размерности (Ф, — 1) х (Агз — 1); компоненты этих векторов являются значениями функций в узлах Пл. Матрица ьл системы уравнений (5) порождает линейный невырожденвый оператор в Н. Тогда если и" = (иш„), ~р~' = (зо„м), го система уравнений (5) может быть записана в операторной форме: Ььи =22. ь л (14) 15. Разностлая анпроксамакяя зллкптнческях уравневвй 553 Здесь Уь — оператор, соответствующий матрице системы уравнений (5). Введем в Н скалярное произведение (и, о) = ~ 1! и(Р)с(Р), и, о Е Н. (15) Ргггь Скалярное произведение (15) согласована со скалярным произвелением функкцнй в Ьг(П), т.е.
11!в((д!)Ю (42]Ь) = ~й,д,дз двя лго5ггх непрерывных функций нз Нг(П). Пусть ()о((2 = (о, с). Справедлива Лемма 3. Опера!пор 32, является с2ыьметричным и пололсипгельно определенным на Н, и длл него выполнена оценка ))с((2 < (уьс, о) < 22~)о))2, (16) где 0 < о! < уг, а .!г < нгй г; а, не лооисят огл 6. Докагощельсюео, Заметим прежде всего, что симметричность оператора Нг„следует из симметричности соответствующей ел!у матрицы.
Проведем, !днако, доказательство этого факта другим мегодол!. Пусть с Е Н; обозначим через б сеточную функпию, совпадающую с о на Й2, и равную нулю на дйг,. 'Росла из определения 52, можно записать (Ььв), = (-25ьб), „, 1 < т, и < 1Ч вЂ” 1. Представил! 32, в виде 5ь = Ь! -!- Аг, где -бм.„г, т-2о,„„— с,„. ! „ 1,! — с,ю !.! +2о,„„— о 52с( 1Р гее.
52 и Ьг являкюся одномерными сеточными операторами, соответдг д2 огвующнми дзфференциальиым операторам — — и —,. Покажем, чп! азг Ву ' 5ь симметричен и положительно определен. Пусть для определенности 1с = 1. Используя формулу сул2мирования по частям (9.8.14), получим Ю-! 6 ,и=! Ф-.! /Ю вЂ” ! =) Л~~„й '-+' + "'"" Ь 2 Й,„„ м=! и — ! и ~ ~~ г (бзьн 5 — ь ) (ют,» го — гл) =-! — ! Глава 10. Методы решевия уравнений е частных про1гзволных йууикции е и Й входят в правую часть равенства симмечричвым абра. зом, позтому т. е. оператор Ь1 симметричен. С другой сп1роиы, из разностного аналога теоремы вложения (у 9.8) получаем (б,е, )=)'~Ля~сил " — ') > Л =1 а-:.1 1 Ф-1 2 1 2 > — ~й пжх )е,„в( > — ))е)! .
4 е«12 '"" 4 Используя анелогичну1о оценку для оператора Ьз, получаем т. е. левая часть (16) доказана. В другую сторону оценка получается намного праще. Поскольку (0 „— 0,„1„]2 < 2(62„4-02„1 ), то в=1 =1 откуда (Лье, е) < - -))о() . 62 Лемма доказана. Задача 1.
В случае прямоугольника са сторонами 11 и 11 показать, что мииимальиым и максимальным собственными зваченияыи оператора Ьл являются соответственно 2 а 111 ° 2 а 111 2 ап1 — вп1 4 211 212 йг + йг 1 г 'таким образом, (16) выполняется при уг = Л„я„и 12 = Л „„, что по порядку при йг = Йз совпадает с оцепками, полученными вылив. Из щюведенных выше рассуждений вытекает жпможиость введения в пространстве Н нормы ))е(Я=(бьгл ), 1б. Разнсстпая аппроксимация аллиптических уравнений «ворую называют энергетической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
