Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Таким обраюм, полуявные схел1ы составляют полклагс неюгных (С— треуццп нвя матрица), а левые — полюгасг полуявных (С вЂ” единичная матрица) разншцных схыг. В случае неявных (в частности полуяввых) схем вознишшт вопрос о построении алгоритма решения системы уравнений (26), устойчввых к нлиянию нычнслительной погрошвостн. Рассмотрим простейшую полуявну|о схему дли уравнения щ + Ои = О: гг"г' — ц йт г — ц"т +а =О. т Й (27) Ищем чэствые решения вняв и = Л" е' "; пасла подстановки такшо препоне влепи» в (27) получим т Таким образом, Л(р) = (1+о — — а — с "х') Ь Л Л ограничено при Л вЂ” г О.
Если в рвзвостное уравнение входят не меаее чем дна значения решении на верхнем глсе, то такую схему относят к кл'юсу исанина гхсц. В этом случае значения сстОчвого решения па верхнем слое находит, решал некоторую систе- му ураниенвй 12. Аппроясимапия простейших гиперболичесиих задач Вадима 8. Пусть и = впр (Л((ч)(. Похавать, что о<и<! 1)п<1 при а>0; т 2)!у<1 при а — < — 1; Л 1 т 3) и= (2к — Ц > 1 при а- =- к = согшз, — 1 < к < О.
А Таким образам, СПУ не выпшпгеп при — 1 < ь < О. 0<х<Х=ЛХЛ, 0<!<Т. Функция и(х, 1) = 46(л — оу) является реппмигм уравнения и! + пи, = О. Если о = О, то решение оююзна шо определяетгя заданием на'!альных условий и(я, О) = по(я); при о > 0 дпя нахождения решении достаточно задать п(х, 0) и и(0, 1); пря а < 0 — задать и(т, 0) и п(Х, 1). В !а!чае а > 0 яз !раиичимх условна пим известно здхжг, 'по и!! .г! и(О, (и + 1)г) и, таяня! образом, число уравнений равна числу нввзвсстных. Уравнение (27) можно представичь в ваде реяурргнтной формулы для определения и'" !'.
(28) 1+к "' ' 1+к' Л' Если и,"„+', !одержит некоторую погрешность 6,"ь!'„то вследствие (28) она порождает погрешность 6„";ы в и,"„тг, равную 6",44!. При а > О имеем к > 0 1+х и О « — 1. Таким обри ам, (6,"„"'( < (6",+! (, т.г. погрешности в зла !синях н,"„4' убыва4от и мозкно ожадать, по при вы*!велениях по формулам (28] нахопление погрешности не приведет а нежелательным нос!еде!виям. В случае а < 0 известно звачение о!44' = п(Х, (и + 1)т), и вычисления будем вести по реиуррентной формуле, вытеяающей из (27): и"+ = 41+ — 74и 4' — -и,"„, т=л1,...,1. (29) Если к < — 1, то О < 1+ — < 1 и псярешнсогь 6„,4'! в значении и"„+'! породит к погрешнсюгь 6„"т ! —— ( 1+ — Л! 6";"! хану!а, что (6„"; 4,( < (Е'ы(.
Таким образом, следует ожидать, по нахопленяе вычиглителыюй погрешнпоги не будет супатхвыгным Замечании Для расчетной формулы (28) охгшошенне )6"+!) < (6 ! ( иыполнено и при -1/2 < к < О, в для формулм (29) соотношглие (6"тгг( < (6"+4( В реальных вычислениях всегла учжтвуег нонечное число значений и,'„'+', соответствующих (и + 1)-му слою. Есзи л4ы выпишем уравнение (27) при гп = 1,..., ЛП то получим систему ич Лу уравнений относительно (Лу -!- 1)- 4! ы! и! неизвестных по',..., ил! раосмотрим случай, когда решение нщегси в прямоугольннхе 020 Глава 10.
Метолзя решения уравнений н частньвс производных вмполнена и при — 1 < в < — 1/2. В ззих случаях, опдако, не вмпалнен спектральный признак устойчивости е = аор )л(з»)) < 1. о<таз Предпазюжнл», чта в области 1 < Т нас»»итсресует решение задачи Коши прп начальном условии н(х, 0) = по(т), опрелеленном прн 0 < з: < Ле в и > О. Решение дифференциазьной задачи онределено в полосе аг < .г < Аа а аг. Рассмотрим краевую зш»ачу в п(»ямоугсльннке 0 <:г < Х = Ха+ос, О < 1 < Т. задав произвольные гладкие функции в(0, 1) прн 0 < 1 < Т и и(х. О) арн Хо < т < Л, удовлетворяю»пие условиям согласования л(0. О) =.- ве(О) а (Хв) = п(хо„О). прил~елим для решения чтой залдчи полуяввую схему (27), пгюжшя вычигления на верхнем слое по рекуррентным формулам (28].
Молсна показать, чта при гладкой функции ве(г) в области а1 < х < Хе + ау, 0 < Г < Т вспученное сеточное решение будет блвчко к ре»вению задачи Коши. При решении залачи Коши и краевых залач, особенно в случае гксчлм уравнений, часто используется неявная схема (30) 2Л с порядком аппроксимации 0(т+ )Р). Пногда за схемч непал зуежл как в» помо» мо»»»тельная для палучания решения на пш~уПелом слое, т. е. находится в„, нз с:оотнашений ы)з „Мз . Пз далее используттся явная формула вМз ч!уз т 2Л Рассмотрим случай той же самой задачи Коши. Коле мы выпип»ем урввнание (30) при гл = 1,..., М вЂ” 1, то получим аисте»»у (ЛТ вЂ” 1)-ш 1равнення г (Лу+ 1)- м неизвестным.
На кажпом слое нам ве хватает двтх уравнелвй. Значения пе' задвлим как и ранее, испол»ауя граничные зим|ения, а ахг--по произволу. Систему уравнений (30) относительно значений»»г'+',..., »»~'„~+', буде»~ решать методом прогонки. Можно показать, что при главкой функцин на(я) и любом с > О решение сеточной задачи сходится к решена~о диффернщиалыюй в области, определяемой неравенствами ау+ с < т < х, + ас — с, о < 1 < т. Д»ш улучшения схадимасти вместо задания й+ часто цепах образнев паять тан называемое мягкое» граничжю условие и;и — пм» вЂ” — О.
тз .ы 521 13. Принцип замороженных кгиффнпиелтов З 3. 11ринцин замороженных коэффициентов Часта ие улаегся произвести теоретическое исследование корректности разиастной задачи и доказать схсдимсг."гь ье решения к решению дифференциальной задшчи. В некшарых случаях на данном этапе развития математической теории такое исследование в принципе возлюжно, но тргь бует аг исследователя достаточно высокой квэлификапии и болыпих затрат времени. В такай ситуации иногда ограни гивагачся исследованием углайчявости схем на основе описываоыо|а ниже пргчгччччта ламароэчггнгшх качблучччщчсчи пчае и последующей эксперименчнльлай проверкой полученных выводов путем расчета тестовых задач, па вазможности с известным решением.
Принцип зэмарожшшых коэффициентов (ПЗК) заключается в следущем. 1. Для разностпой схелчы пипчшся ураинение в вариациях (т.е. уравнение, которому удовлетворяет рэзнгкть двух бесконечно близких решг ний). Эча уравнение является линейным и в случае линейных задач совпадает с испчдным уравнением. 2. фиксируется некоторая точка 1' области С и замораживахгия коэффициенты этого уравнения, т.г. всг значения коэффицвентов уравнения в вариациях берутся равными их значениям в втой чачкг. Если задача пелияеяная, то коэффиаиенты уравнения в вариациях зависят от неизвестной функции я все значения сеточного решения, вхцлящиа в шо урашп:ние, берутся равными их значениям в той же точке Р.
3. Получиишаяся «ечачиая задача Вг(бпь) = О исследуетсл на устойчивость методами, которые применяются для исследования устойчивости сеточных задач с постоянными каэффициенчами. Предположим, что сешчная задгчв устойчива при выполнении условия ф(6, Р) > О на шаги сетки; это условие, жлественно, может зависеть от выбора точ- ки Р. 4. За условие устойчивости принимают некоторое условие р(б) > О, из выполнения которого глевует выпагшение условия р(1О Р) > О дяя всех точек Р е С. Часто, особенно в случае нелинейных задач, условие устойчивости 1л(б) > О выбираетгн с некоторым глапасам рстайчпеасшиг.
Рассмотрим пример применения принципа замороженных коэффициентов. Пугль решается задача Коши для уравнения (2) , + (Ы(в, С, а)). — Ф(л, 1, и) = О 623 3 3. Принцип замороженных коэффициентов Отсюца имеем равенство б", =Ь (1 — — +Ьг) +3, ьа- Г цт 1 „т и затем оценку )3,",цм) < швх )Ьы) () 1 — а-( + )Ьт~ + ) — )) .
Поскольку (6) выполнено при всех гл, то пих )д,"„~ ) < шах )д',в( ()1 — — ( + )Ьг) -~- ( — )) . Положим пьах)Р„',) = ))бе))с. Соотношение (6) переписывается в виде (6) () "'(~с < (( — — „'(+ ~~)+ ! — „!) )( "((с ог Если О« — 1, то 1 — — ) + )Ьг) + ( — ! = ()1 — — ( + Ц) + )Ьт) = 1 а )Ь)т < ейй. Таким образом, ))3"")~ <.й'~Щ (7) Пользуясь (7), получаем ссгггношенгья ~( ')) < "р))ье)) . РЪ < е~й.))Ф))с < е~й"))3" 1)с, ()бз)( < е(ь| )(бз~), < ~ь(з ))Ье~) )~бл~) < (ь( Рл-г)) < г~ь)и ))бе~( „ На ограниченном ггромежутке времени при нт < Т имеем 1)3"))с < е(ь~т!)ье((с, О < е(гцЬ, пг, н" ) — < 1. Дця данной рвзностной схемы (3) можно показать, что зто услони» является достаточным для ее практичесжэй пригодности при малых т.
В тех случаях, когда не удается строго обосновать устойчивость рззноспюй з дачи, рекомендуется создавать езапас устойчивосгиэ, сужая т. е. разностная задача устойчива цо нецельным давным. Устойчивость разносгной схемы (6) доказана при условна О < а — < 1. )ь В соответствии с ПЗК постуяируегсв, что исходная разностнвя схема (3) должна быть уьжойчива при условии Глава 1О. Методы реп!ения уравнений в пкчаых щюизводвых 824 область изменения параметров схемы по сравнению с той, которая получается из принципа замороженных коэффициентов. Например, е данном случае змеею (8) рекомендоылось бы взять условие т 0<г <а-<1-ь.
6 Величина требуемого сужении подбирается из численпоп! вкспервмонш. Примеры сужения области устой сивости для различных схем! е 1 рез (сужение не производится); в 1,15 разе„в 1,8 раът! в 1,б раза; в 2 раза Заранее неизвестно, в какой области ивходятс» зпачени» решения сеточной задачи и"„поэтому до реального решения сеточной задачи н! лазя выбрать шаг т гвкиы, чтобы прп всех т,. и выполнялось условие устойчивости (8). В частности, в свзгзи ! зтим при решение нестацио. парных задач п!аг по времени часто берется переыенным! ищутся приближения гг,"„к значениям решении в точках (шй, !е); шаг ть = !ее! — 1в зависит ог и. При кажг!Ом 7! вычи!'.*!я!отея Л! = О!Го(тй, Се, п" ), А~ .= зеро(глй, !е, и,'„').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
