Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 92
Текст из файла (страница 92)
При этом резулыаты и анализ численных рагчпгов наравне г экспериментом оказывыш суще~тнешню влинниг на развила: соответствующих разделов теории уравнений с часгныьш щюизводпыьпь Так, вапрпьар, обстоиг дело в случае решвпия уравнений ошовой дияамики типа (1). Несыоз"ря на отсутствие г"грогих обоснований чигш мам магической (в частности, азпоричжи'геской) стороны вощхки, математт~каы, зшгныающнмсв решеннем подобных прикладных задай часто приходится брать на себя воветственпость за достоверность получаемых численных ршультатпв, вплючая правильность математической постановки задачи. Конечно, все сказанное не умалнет роли чисто теоретических исследований.
Их результаты, в ча<чности теоремы существования, дают увгь ренность в правильности цостюювки, подсказывают ипг)юрмацпю о качественных свойсзтшх решения, что крайне важно ари выборе алгоритма. Наличие известных частных решений, например в задюах пшовой динамики, пскгвгляет производить проверку точности п1х.длапгемых меттщов.
Использование изнестных частных репюний простейших задач часто позволяет облегчить чигленное решение болте сложных задач. 407 11. Основные понятию нюрки меюда сеток и' 1. Основные понятия теории метода сеток ит — и», = ((ю, т) при начальиолт н граничных условиях н(»Ь О) = р(х), н„(0.
1) -)- а(Цн(0, )] =. Ь(т), и(1, Ц = О. (2) Зададимся покотарыьпт шашми шшкп Ь, т > О (1)')> = и -целы). '10чки (тп)>, пг) назовем узлами женю> (т, и); пнтц и,",, — ттр>тб>тижа>тття к значепинлт и(тб, пт), 1",',>, = Лтб, пт). он .= а(пт), Ьн = Ь(пт), и), п Д, - функции, определсвныг ва гегко, го значениями и,",, п ),'„' в узлах сетки. Если вгкомое решение ш.жюпой двфференцтшльной задачи есть гладкая функция, и> выполнятотся соотпо>пения и(т)>, (и+ 1)т) — п(п>Ь. т>т) Йьи(п>Ь, пт))(н, ) т и((п> -)- 1)Ь. пт) — 2>т(тпб, пт) + нЦп> — 1) Ь, пт) бт = щ(гаИ, пт) — и„„(шб, пт)+ О(67 -)-т) =- ((тб, пт) + О(А + т), (О) тт()>, ттт) — и(0, пт) 1),и(п>)>, пт)((о Ь -)- а(пт)и(0, пт) = (4) = и„(0, пт) -)- а(пт)и(0, пт) -)- О(Ь) = Ь(пт) + О(Ь).
Па первых шипах практическоп> решеявя задач для уравнении г чаттными производными применялись в основпшт эаривцвошп»а н другно метттны, где приближенное решение получается н виде нежно)юй анелитическай формулы. При решении некоторых задш такие методы прнмепяютсн и в настоящее время.
В пшледующий период наиболое актуальвылти для решения сп>лв задачи >тдервой проблеыазики и шашни динамики шза и жвдкогтн, где под>биме мшош» практически неприменимы. На решение этих ведат бтшш налравлсвы )силин н)гуанси>таня матом>ти«оа, что в>тело, в частно«зн, свои~ «лещтвием создюше и в>зраков проднихтепие сеточных лютодов решения уравнений с частвымп щюитшодпыми.
В настоящее время эти ьютоды наряду с вариационно- и проекцпопно-разноствыми (мевд коночных элглтептоэ) являются пи>болин рвспрострштеппыми. При решении задач сета шыми мстодамн лты получтюм совокупное.п, >триближанных значений решения н век>порой коне шатт с>нжемг точек. В тлучаг необходимости люжно построить формулу (например, нтперпшпщиоштую) для ориближенноп> пртдтт»влевия решанна во всей области. Расслютрим простейший пример рсикния задачи с>сточным лттттодолт. Пусть в >толу>тол>хе О < г < 1, 0 < ( < х: рошаетсн урнвпыан 1лвва 10.
Методы решения уравнений в час!них производных Исхс~дя нэ юпЮ можно сделать прецпшюжение, чзп решение «ногемы ьл пь (нь в1 = /;"„, О < ш < ЛХ, О < н, 1ьп! ((е,.) = бн пв! = О, и > О, и„, =<8(пб), О< и! < М, (б) (б) (7) является приближением к тшшому решоцию исходной задаш. Значения решения сисппыы (б) — (7) можно находить последователыю прн какдоы и следу!ощип образом: пы нам заданы, при каждом и величина в'н — — О, в виляния и" при О < т < М находим из (б), а зател! ьн из (О). Докажем теорему, показываю!пу!о, чп! сходнмость приближонного ре. шепни спточной задачи к решения! дифференциальной нри т, Ь вЂ” ! О не обязательно имеет место.
Пусть в области 1! с границей Г = ( ~ Г! ре=! швется краевая задача Е(п) = ( (8) при граничных условиях 1,(п)=с!, на Го ь=1,...,э. (9) Фиксируем какую-либо точку Р в пространстве независилпях переменных. Зн ление решения п(Р) зависит от к!пффициептов уравнения, щжвой чжжи ~ и функций Сэ!. Рассъ|отрим случай, когда уравнение (8) н граничные услопия (9) линейные, и изучиы вопрос о зависимости п(Р) пг значений функции Фп В случае нелинейноее уравнения нля псслеповання эавпгимостя пг коэффици- ентов !равнения, которая является пелянейной, провсвямьв дыню рассуждо- вня ! ребуют ллл свсято обосвованпя ш которых лополнитевьпых формальных построений. Пусть Ф, — некоторый класс функций 1с!.
Облостья! ж!епсимоспш Пс(Р, Ф„) зна |ения и(Р) по граничному условна! 1зп = р! в класже функций Ф! назовем мнолсество точек Г) б Г„удовлетворяющих слепу!оп1еь!у иютношению! для л!обои охре!с!ности шчки 1С найдутся две функции ээ! 'Рз! б Ф! ~акис, что 1) !р!! = 1с! вне этой окрестности; 2) есчн и! и пз — решения задачи (8), (9) при одних и тех же 1, У!х,..., !Р, = О и пРн 1с! = 1а! и Сэ! = У!! соптвезхтвенно, то ! 2 пз[Р) Ф пз(Р). При решении задачи (8), (9) методом сеток реп!ение ищет!и в узлах некото1юй сетки в прсктранстпе независимых переменных.
Будем считать, что сетка задается некоторым параметром (п причеы 6 — ! О при 1 1. Основные понятен теории иегова сеюк 499 измельчении сечки. Если точка Р является узлом сетки, то при данном а репюние пнгачнай задачи, зппрокспмируюецей исхе1лнуке дифференциальную задачу, зависит от значовнй СЧ в некоторых ттзчках граяицы Гь Множество этих тачек обозначим черт йз(Р, Ц. Теорема Курантв (об облжтях зависиьгсхти).
Длл слово, ~глобы длл некоторых 1, си,..., со, и всех со~ б Фе при й — г О зкачекия е то те Р решений сеточкщл задачи стремились к зкачекию о елочке Р решекил дч4ферекциальпоп зада сн необходимо еыполкекзх следуякйеео ус.иевия: осе точки легши>сестеа йг(Р„Ф~) являеотся п1сделькилт длл елочек мкооо осе)е йз(Р, й), иначе еоеорл, й,(Р, Ф,) с й й,(Р, 8). то Доказатиьстею. П1н:дпавожим противное, т. е. что сущегтвуог товгка 1д б йг(Р, Фч), се к 11ш йг(Р, б). Тогда имеется окрестность точки бд, л-~е не содержащая печек множеств йз(Р, й) при й < бе. Вспышек функции р„уь б Фе, саответствуввцие этой окргчтности сошасно приведенному 1 т вылив опредгленгпа гбласти зависимости. Пусть и' и и решения задачи (8), (9) прн ре = 1о(, 1ог = 1о~~ гтютвемтвеива и ), дз,..., у, = О.
Пусть во — решение задачи (8), (9) при 1ое = О и задагшых ); 1от,..., р,. Тогда щ =и'-1-ие ит = из-1-ие будут розпениями задачи (8), (9) при д, = р! и Ы~ = Ск соотвсщтвенпо и твх жа 1, рз,..., Фа Значении решений сеточ- 2 ных задач при соотж-:тствующих и, и из на сальных в грани шых угловнвх будут совпадхгь при 6 < йо. Пехкольку в то же время и,(Р) Ф из(Р), то для одного из этих наба1юв граничных условий решение сеючпой задщги не сходится к решению дифференциальной.
Теорема доказывая. 1зассмотрим пример применения ттщ теоремы. Пусть в полуплоскости 1>О решается 'задача Коши зшя уравнения щ+аи =О прв ннчальном условии и(О, х) = ио(з.). Зададимся сеткой с узлами в точках (ел18 кг) н заменим исходнуео дифференциальнуеа задачу разнослвой: т1 — -~- а — ' = О, ио, = ие(глб). и - и и"осе — и", е т л Тогда значения и,"„прн и > О ощюделяем последовательно из сооккь шения и"~ = (1 + ат) Ь)鄄— (ат(Ь)и,"ал к Пусть при изл~ельчении сотки т)Ь = к = сопз1. Тогда значения решения соточнай залазя в точке (хе, 1Е) не зависят от начальных чна евнин условий вне отрезка (хо, хе+к Пе!. Точнсх, решение дифференциалыюй задачи есть и(х, 1) =- ие(х — а1).
Поэтому в классе начальных условий, обладающих некоторым ограниченньп | числом прозгзводных, областью зависимосгп для дифференциальной задачи является точка ха — а1е. Таким абразам, на основании теоремы Курепгт необходимым условием сходимасги в Глава 10. Мегоды решения уравнения в частных производных ООО этом классе начальных Угловий Явааетса Условие хс — а1с Е (хе, хс-1-к сге) или, иначе, о < О, (аг/й) =- (о)к < 1. Заметим, что в глучаг рагхматривасмой шюмы этю условие сяучейцо оказывается и достаточным условном гходимости. Кроме вопроса о сходимости при анализе разносгных аппроксимаций, возникавг проблема анализа устойчивости г!олучаемого результата спчкь «итвльно ногрешноншй в исходных данных задачи и при округлениях Проилзпострируем сказипэи ва этом же примере.
Пусть а > О, ат/6 = 1. Тогва значения и", определшотев из рекуррентного гоотношевия и",т ' = 2и,", — и", ПРи веь ж О Решепиеы геточпой зздачи бтзгш п„", ю О; пУгть тапеРь ие в—— и иех = О при л1 и О. Пользуясь этим рекурреспным соотношением, получаем, чзю тогда в узлах сеткв и„, приннмант следующие значения: е т ь м О при т>О или т< — и, и, С„2е'мь(-1) 'с при — и < гп < О. Отсюда ) ~п,"„) = Зес, т.е. с ритом п разность между этим решением и решонием и„, = О касастрофически возра<твстб пшпом1 при ат/Ь = 1 рассмшривая схема не может быть признана пригодной для решения задачи в случае болыпого чигла шагов также и вследствие Сюлыного влняви» вьгчислительпой погрешности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
