Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Сне»ели уравнений (б) имеет энд Лу — ЛВУ = О, формалыю несммька более сложный, чем (2), поскольку матрипа В аа диагональная. При повышении порядка то*пюсти могут возникать сеточные задачи, имеющие ив первый взгляд еще более сложный эид, например таню»: требуется »»айти Л, при кото1юлс система соотношений ав(Л, 1»)р„» вЂ” В„(Л, Л)ра + ун(Л, )с))лсл» = О, и =- 1, ° ., )У вЂ” 1, уе = улс = О, (7) имеет ненулевое решение рн. Рааслютрилс случай уч т О. Фиксируем некоторое юс л О, например юс = Л; зададимся произвольным Л и из »отношения сса(Л, Л)юл, — ()с,(Л Л)и»л + уь(Л Л)юл, = О (8) последовательно определим ю»,..., юн.
Если ю,, = О, та это Л ою»жется ссбстэеннылс чначениам и сел — собственной функцией; если юл, р О, то это Л нс является собственнылс значением зада*»и (7). Для отыскания собственных значений задачи (7), совпэдлсощих с нулвлси сей, люжпо применить какой-либо итерационный метод отыскания нулей функции и по ее значеяиям. Эгс»г процесс облегчаагся следующим обосолсельспном, имеюплим место ео многих случаях и позвал«ющим получить «вилку» для искомого корня: если функция ю„имеет у перел»си л знака на (О, Х), то Л < Л < Лч».
Для вычисления значений юй при различных Л, как правило, наиболее рационально воспользоваться непосРедственно рекуррентными формулами (8). Предлагаемый алсоритм вычисления значений юл совпадает с ю»соритмам решения сеточной задачи Каши для уравнения р"(х) = (р(х) .1- Лр(х) ) р (сг). Глава 9. Чш чсниыс истовы рви~синя красных завач 4 уй Длл отыскания собственных значений может прнменнтьсн тжже п ли тол прогонки. Нс повторив иден л1счола, огрввичимсл написанием ры>сотных форл~ул.
Полгожиы ~л~/ю~ы — — Св, тогда (8) перепгшются в виде ггвС„~Св — (гаС„-~-"ув =-О, Св = ш,г'(Ов — овб:„,). (8) откуда (10) Осли юв в ш, одного знака. то б,'в > О, осли разного, то Св < 0 л л Пачтоьгу, наблгодая за пергмоащми злющ у Св, ъюжно опредшщть число перемен знака у функции щл.
Как мы вшюли в Ь 3, ковффшгисит С„ молкст оказываться очень большим, позтому зтот мешл чаще примониется лшпь дпя отыскания псрпого сойтаогпюго зпачепн» 8 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов ь1асто бывает естественно и целесообразно строить численные методы, исходи из естественной постановки задачи как варвационной или поль- зуж:ь определспиелг решения как ныготорой функции, удовлетворяющей интегральному тождеству.
1. Метод Ритин. Рассмотрим краевую зашлчу из 8 8: Ьу ш — (й(х)р'(с))'+рог)у(т) = ((т), р(0)=сн р(Х)=Ь, й>йо>О. Вс решение ввлястсв точкой зкстремума функционала Н р) = l (й(р'( ))з Ч-ррз(т) — 2.(( )р( )) (' зс Зцлл1атся некоторым 1г' и выбирают совокупность функций гссп(х), глй(х) с ограниченным интегралом 1с(угьч), удовлствориющих условиям ро (О) =- а гссл(Х) = Ь «, (О) = „н(Х) = О, й = 1,..., 1Р.
иа классе функций И'зд(0, Х), удовлетворяющих условию р(0) = а, р(Х) =- Ь. Напалшим, что И'~~(0, Х) .. зто класс функций с ограниченным интегрвлолг го(р) = / ((р(в))л-ь рл(х))йт = ((рЦ~г( 477 д 10. Построение численных идтслов Приближенное решение ищетсв в андо н у =ре +.г.сдд, Имеем Цр* ) = 1 Л(рг. Д)с„гд — 2) Лдсд лба: здесь Ад = 1М)), гл '44 д;) =/ [ЛМ,')'М,",)'ьРР,'У,') й*, д гл (д н рл л ц а)д( л))„ .е Нвходилд экстремум функционала 1(дд~) по переменным сп..., сл в соотвоптвующую функцню рн = лев д-~ сддд принимаем за приближенное н и ч, ю — е 3:де д=! решение згщачи.
При этоы нахождение коэффициентов сд свгдетсв к решендпо системы линейных алгебраических уравнений (й) Ас= Ь, где А — матрица с элементами ад = Л(дд~, дд~), Ь «гктор с компонентами бд. Часто бывает удобнее сразу вычесть из решения функцяю рс~, удовлетаорядощую граничным условиям, т.е. свести исходную задачу к задаче с однородными грани шымн условиями. В лннейном случае (как (1)) обычно у~' берут не зависящим от Л.
Часто бывает выпгинено следующее условие. Краевая задача Лц д- Лдд = О, у(0) = р(Х) = О имеет только нулевое решение, если Л > О. Тогда функционал 1(р) ограничен снизу н искомое решение являгшя не щюого точкой вкстремума, а точкой мнпимулда функционала 1(р). В этом глучае описанный вмше метод построения приближенного решения называют .истодом Рддтддо. Существует ряд моментов, сугцественно влияющих на слодимость метода Ритца.
Чтобы приближенныс решения рь сходиансь к точному в нормо Игз[0, Х[, т.е. чтобы [(рл — й([ггд — д 0 при Л' -д оо, необходилю и достаточно выполнения следующего условия: для любой функции р е И'з и зпобого с > 0 существует линейная коьдбиныдия У = 'Рд т дтч с ЧУч д(дг) < гш 478 Указанное условие обеспечивает сходнмость ь~етода Ригца в предположении, что все вычягленвя производятся точно. 11усть Лп и Ль . наименьшее и наибольшее по лгодугпо собственные значения матрицы системы уравнений (3).
«1тобы округления не повлияли на приближения рь', существенно выполнение условия )Ли/Л,(< М, (4) )Л /Ла.~ = О(1г' ), (б) где и — но очень большое число. В случаях (4), (5), как правило, удается шк оргюпиовать процесс решения системы (3), что суммарная вычислптельпая погрешность будет порюнш 0(гГйб). В рице глучаов нетрудно построить системы функций, удовлетворяющие условию (4), но, как правило, для них матрица А является полно.
стью зыкшненной. Для задачи (1) такой систеьюй являнгси В то же время для системы функций, соотнезствующих варивционпоразностному метолу (см. далее], о = /4 = 2, но зато матрица А трехдиагональггая. ДЛя системы функций Рь(а) = хг(1 — а) величина (Ль/Лл) растет быстрее любой степени ЛГ и матрица заполнепвая. Если вместо систелгы функций эгн(х) = т"(1 — а) взять вислому НЛ(я) =:г(1 — х)Тг(2в/Х вЂ” Ц, (б) где Тг(х) многочлены Чебышева, то прн отсутствгпг округлений волучится одно и то же приближение. В то жг врохяя сисшма (6) удовлетворяет условию (б) и при практическом использовании накопление погрешности будет не очень больгвиьь Заиечангге.
Может случиться, что для неко~прото набора функций ве- личина )ЛЛ/Лп) растет с ростол~ И очень быстро, но для достижения нужной точности дослвточяо неболыпого значения 1г'; тогда такой наГюр функций приемлем при решении данной задачи. 2. Метод Бубнова-Галеркина. Описываеьгый ниже метод является обобщением метода Ритца и примениы в случаях, когда исходная задача не является вариационной. Формально этот метод можно предсгввить следующим образом. Запишем исхцшгую задачу в виде задачи нахождения решения из некоторого интегрального соотношения, справедливого для любой функции гй из соответствующего класса: (7) (бр Ф) =(/ й). где М пе зависит Донольно часто ющие условию (4).
цяй, для которых 1лава 9. Численные иепхвя решеви ~ краевых задач иг 1г'. не удается построип, системы функций, удовлетворя- Тогда ограничиваются использованием систем функ- 1 10. Поск)юеяяе численных мекаЛа» Под выражением в круглых скобках понимаем скакярнае произведение в Ьт(О, Х). Соотношение (7) в дальнейшем будем называть явтегрюкьным таждехтвоьк. Приближенное решение ищешя в виде линейной комбннации у = 9ке т,~ ктткч .
д=:1 3адшотся некоторой ливейно независимой снсттькой функций фк,, ~Щ и требуют выпкшнеяия интегральных соотношений (б х фм (к фн) (8) Так же как и а глучае метода Ритца, решение исходной задачи сводится к решению систелкы линейных уравнений (8) атпасителыю неизвестных ськ,..., слн; в ькатРичной фоРме система УРавноний (8) записынается в вцае лс = к), где л = (а,у) — лкатрица размерности л' х лк, с = (с~к,..., с~~)т, й . вектор правой части. Оба описаннмх метода применимы в нелинейном случае. Если исходная задача является задачей на зкстремулк функционала, не являющегося, ьак (2), квадратичным, то сик."шма уравнений (3) относительно схк,..., сдао соответствУющих то~ке зкстРемУлш 1(кйн), бУдт нелинейной.
То пко так же в глучае нелинейного уравнения Цку) = 0 метод Бубнокш-Галеркнкка сводится к решению нелинейной системы (б(у'),фл)=О, 0=1,...,Л. 3. Вармацнонкко-разностный вариант метода Ритца. Ногакаелсхк ЛС(() фкдккцкккк 1 назовем замыкание лквоккества точек, гдл ф у О. Рклв носители фУнкЦий ткк и Рл пеРесокакотсн но меРе пУль, то ак Л(р~', ив) = О. Наличие большого числа нулевых элементов в лкатрице может йркквккстн к существенному уменыпеоню объема вычислений при решении системы (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
