Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 86
Текст из файла (страница 86)
В то же ВРЕМИ авВЗЫпжгтЫ, 'Гта В гЛУЧае, КОГДа ОДИН НЗ ИнгЕРВаЛОВ (:Га !, 2:„), (хи, ха„!) содержит тачку разрыва функции Цх), ногрешнагль аппрок- симации в точке га имеет порядок Ь Глава 9. Чиглег1ныэ ыетоды решении краевых задач 464 еспи величина (йу')м ограничена, то о„= 0(йз). Окончательное выражение погрешности аппроксимации илакт вид 6 й Рассмотрим случай, когжл на (хи, глтл) имоетсн точка рюрыиа коэффицигиол й(х), тогда дл» б л02 не удается волу шть оценки лучшей, чем 0(1), а зл„ г„-.лу*вией чем 0(1/й). Тем ве лиеилч иогрсшность решеис» имгнг порядок О(й). Наглядно это можно обьяснить с|ишуницны образом. Тачек, где гл нмеет порлдок Г)(1/й), «г|нечное число; их доля в абзацем чисве узлов оорндюл 0(й), влитому суммарный вклад от оагревшости аппроксимации в таких точках бу.
дет О(/л) ° 0(1/й) = Г>(Ц. Зна |внис Длелуз вхолит в выРажение погРешиоши аис1юк«имаЦил слеайтожим образом: ,'5„.л,д — /1„ й б +з/2 — /) .ллуй г„ь, = оле, + й ПГН2ОМУ /1легут Даш ВКЛаД В ПОГРЕЯ|НОСтл аППРОКСНМаЦИИ В 2ОЧК. Хл, РаВНЫй )3 е,/2/1ц а в точке хэ.лл — равный — лу„.лыэ/й. Погрешность решении записывается в виде (гм.
2 2) , „-, ( и) = й Д~; О,л В. Рбожно иокэзать, что сетшишн фуишшя Грина Сл удохше«воряет ушювию г 'ч( < с, где постоянная г нс зависит от й. Вглелшние зюга вкнвд от вш~ичины 11„„,0 есть Гл(0 — с„+ ) — ~ = о()л) )у 12( О(й)' й Из ооследник соотношений сшедует, что шэх(уэ — й(з э)( = О(Ь). т Приведенные ньиве соображения подтверждают ширгжо расирострагенное зыпирическое правило: яри восшроенио ртзношинмх схем гш слв/уши зря раскрь ногль скобок и вользонотьсл лдормрпой дог/х/лгрснцнрглеоинл чронаееделлел. Построим более точную разностную схему исходя из закона сохршгш ~ия (2).
Имеем равенство, которое гледует вш (2) в рвчульчате инчнгри. ювааиа в пРеДелах от хн 212 До тлел/2: г чи (т /2) ш(т 02) [ул(х)Р(х) + /(х)1 Их ( -ил З 8. Аппроксимации специального тяпа 465 Так как функция у(х] кусочно-дифферепцируема, ю у(х) = у(х„) + О(6) прлл х — 2; =- О(6). Плнтому (5) можно переписать в виде Г*кт//2 / и/(х„л.л12) — ю(хе .л/2) = 1 (р(.г)у(х„) + Г(х) + О(6)) /Ь/ = — 1/2 = /л(р/ у(2' ) + Л ) + О(6'); здесь Гг»мм /'г..ел// рь =- — / р(х) //х, 1 = / Г(х) л(х. 1/, После деления на 6 получится соотнолпенне л//(х тл/2) е/(2 -/12) — — — — — — — р„у(х„] = Г„+ О(6). 6 В случае, если интерлвл (х„. л, х„) годержит точки разрыва у'(/г), ю(т.„/ 12) погрешность от непосредственной замены выражения — на 6 у(х„) — у(хе л) 6(хл,-л/2) — г может он/наталя величиной порядка 6 Д/ля пояучения лучшей алюроксимацпп введем в рассмотрение вспо- Г /1х могательную независимуло переменную / = / —.
Из ограниченности Л 6(х) л/п /1о произвцллдой по г и равенства — = 6(лг) — следует ограниченность лпюлй Нх фу /11/ изеодиой по /. Функция и/ = й(х) — ' = — ' имеет агравичепвую п1клльзвлл1- /)х л/1 ную по 26 а следовате/п,но, и по 2. Такллм образом, вторая производпан ограничена и можяо написать равенства , л/у у у(1 ) у(1 л) "" -л/л / -1/ здесь Г" йх Г*'* /6г о 6(х)' *' " ' А.
л 6(х) Пазтому ю(хе,1,) = 6(х) — ~ = *' " + О(6). 4у] 1/( *) - у(х -л) — Л/2 ау~ После подстановки 6(х] — в леву/о часть получим л/х ( 1 (у(х„тл) — у(т„) у(х„) — у(х л) тл 6 66 +л/2 /й Глава 9. Чисгепные методы регпення краевых задач 469 гдг 1 /' хм «йс 11.1/2 = й / /,(х).
(7) Соагветству!ощая конечно-разностная схема (предложе«шая Самарским н Тихоновым) имеет вид Ч.,1- Рв ра-1/. 1 т1/2 а-!/2 (В) если «лрезак [х„«, х„«1) не !ндержит точек и, то непосредственной проверкой с помощью разложения в ряд Тейлора устанавливается, что погрев!ность ап- проксимации г,. есть О(йг). В противном случае погрешность аппроксимации представляется в виде — ! (9(Х„+1) — У(Х„) У(га) — Р(Х !) ) ° ш/г -!/г Ф т!/2 Д -!/г — р„р(х„) — /„ = " т «, й (9) где ш(г2ы«/г) — ю(х„ .!/2) — — Р 9(х )-У, й 9(х ы) — 9(х;) /' т!/2 = --! ш(х ш/!). йй ! ! егли (х„, х„.«,) ие салери«ит точш«й, то разложением в ряд тъй пора устана- вливаем, что /3„««/2 —— - О(йг); если (х„«, ха«.1) не содержит точек П, то так же устанавливаем, что а„= О(йг); в противоположных случаях уджтси получить лишь оценки //.
„, = О(/!), *. = О(й). Далее, слевуя намеченному вьппе о«особу оценки с помощью аппарата функ- цкн Грина, можно получить оценку — (х ))=О(йг) Ниже будет получена другая оценка погрешности. Из равенств (В) и (9) следуец !2О г =й(19(х ) — и ) =й(П )1 (10] здесь  — погрешность приближенно«о решения. Пусть 22„— сеточная функ ция, удОвлетворяющая, как и П,е ушювию Максимуы погрешности аппроксимации у полученной схемы есть 0(1), и!етому для получения оценки погрепшости привлекается ряд дополни- тельных соображений. 2 8. Аппроксимации спеюгальпого типа 467 Умножим (10) иа а!с и просуммируем в пределах от 1 до я — 1: А Е ыр„=- Ь Е Е(В,.)т..
(П) Восповьзовавшись выражением (9) дня г„, перепишеы зто равенство в виде (12] где и — ! Р! — ! Яг(!р„) = 1г~ о„ро Яг(зь,) = А~ — ~ р„, =! и-! м- ! Яз(..) =-ЬЕ р —.В,., Я.(.л) =АХ; д""т д"-"г„п =! =,! В.,! -В. у чг1з = А.ыг(з 6 Собрав в выражении Я! подобные !лены при одинаковых слагаемых Яо.ьг1з, полу чнь! ь-! Яз(зь) = — А~, Яош(! "+' А (13) — а ~( — )б = — ~ (Ь,ч! — Ь„]о ь! +е.
Ь вЂ” „(п. (14] =е То шо так же получим н — ! Яз(р.) =-А~' р„„, ~"' А ° =в (18) Подстелим в (12) зг„= Л„; имсеь! н-! Яз(Л.) = -А )' р„)1'„< О, =! Ю вЂ” ! /Но.„— Я„1 Яз(Я)=-А~А (з~ — ) <О. А Пгнтому из (12) получаем (Я.(Я.)( < ~Я,(в„)+Я.(ло)) < (Я,(Я„))+)Я,(в„)). (18) Заметим, что в правой части дописаны !лагаемые )гп !!!у!и и -Д!)зчж, равные нулю в силу условия Ко = ын = О. То жв самое выражение для Яз можно было бы получить, применяя 1лмноспг- нры форлгулу Абеля сулмигроеоиол во засни!и! 468 Глава О.
Численные методм решения краевык задач Ич (7] следует, что й„егб! > Йе, гнн! зму и-! (оч(В )( > деле(тч ), ое(В ) = й~ ( .=е Нормы ! /з 11зг )(е,! = ~~, /г(з )() н ((зг,,((с! = шах л« Ю =е являю!та сеточными аналогами норм пзхктранств бз и С сштгве с!ванно.
Теорема (сеточная теореыв вложения), (~д,((,,г, < чгЛ(~у.(~,;„, /х (!7зп(!сгл < —,=(!Ун((! !. ч/2 (/7) (сб) Спршедливость первом! утверждш!ия кено<родственно глелует «з опредглевня норм и цепочки неравенств ьль, Гю-и а <и .»,:.. Пуси пе — точка, где достигается нанболыпее зна !ение )уы(. Рысмпдгим ш!у- чай пе < Л/2! гчучай пе > /У/2 сволнтг» к рагсматриваелюму введением ново- го индекса и = У вЂ” и. Ил!егм равенство р = ',ГЬъ+ —: )= ~ Ь зг м 'Р Всспольмгвавшись неравенством для сиалярного произведения ! ! а!бе~ < ) (ач( . ~ (Ьг(, т=! т=! д=! получим )зг„) < т/пе/! Ь ~ ~ — ) < ! ! — ((зз)!! ь.
— е Ъюрема доказана. При Ве = Ян = О выражение (ог!(Вл)) '/! обозначают квк )(Внф г,. Очевидно, что оно является гишчпым аналоши! нормы е про!"гран!лев ! С.Л. Собгшева Иг! Об'папий, сдовлеты!ряющит условиям д(О) = чг(гб) = О, с пармой 469 з8. АппРоксимапив спеписаьноготипа Из (17), (18) счедует, что Х М) .ь < — )М)пь.
,/2 Воспоэьзоаавюись (13), полу мем опенку (18) Ю вЂ” 1 )Яэ(В„)) < /АЕ(/3„,1/з)э е л-а /~) (//„.н/е)т Р/ь((кь .-е Точно твк жо е учетом (15) имшп (В (/( Н < ))" [(ь. (!/'))е. ° < — '))оь()е.ь)(В ))пь. Таким образом, из (18) следует // ь/Л.
и — ~ 2 .е поэтому Ю 1 ([// ()г,ь < — (( — "))а ()е,ь+ — б ),(//.ь~/э)г. Го((2 ' йе Вюшчяна о„порядш 0(бэ) за возможным исключением ком чнош шсээ е, скютюгствующих шрнэкэъ~ [т, и х м), ньивощны общие го'пги с Ря ллн этих точек и„= (/(б), Отсюда следует гэгенка ()о„)(е ь = 0(бз/х). Точно так же выводится, *по з Ю -! (б ) 0(бз/г) =-е Таким образом, ))В„((п ю в слеловаэельигь согласно теореме вложения и ) )Л„)(га есть 0(бх/э).
Напомним, что па самом лоле )(ВяЦ/ „=- О(/Р). При использовании схемы (8) вычислительный процгхс не зависит от положения точек разрыва. Поэтому ее относят к классу однородных стем. Схеьга (8) на верный взгляд обладает следующим неудобством. Ее коэффициенты й,ег/з, Р, /г записыввютсн как некотоРые интегРалы. На самом деле можно показать, что если погрешность в значениях этих коэффициентов есть 0(б ), то погрешность приближенного решения ока- зывапгсЯ также 0(бз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
