Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если козффициенты Ь, и г), пишльшис, а Зге ие мало, то коэффициенты с, и сг мало ~вл~еилгггив при малых измовепивх ЬЬ и бф Если и = О, то система (7) имеет ненулевое рва|ение с,, г.", при Ь = г) = О. В тшьг случае говорит, что гзацача лежит на гпектреь, зг е игигешв в виду, что глиоролнав звлача имглг нш!увсвсе ршнениг и бгссмьишенпо говорить об устойчивости решения к возмущением граничных ус.юеий. При Д~ = 0 задача плохо обусловлена, поскольку гь Зье. Задача 1. Доказать, что решение хорошо обуслоилешюй красной зацачи единственна. З 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка В дальнейшем, и З б-б, предполшаежл, что рассматриваемая краевав ам!рва хорошо обусловлена. Простейшим по форме методом решении краевой зацачн (5.1) ишшетсв жеглод сглрельбм.
1'ассмотрим сис.и!му уравнений Ву(0) = Ь. (1) Поскольку по ггрецположению ранг матрицы В равен 1 — г., то общее Решение системы (1) звлисываетгл в вийе Уо ф ) с!У1; з=! зцесь уе — щюизвольное решение неоднородной гистеыы Ву = Ь, а Уг,..., у — произвопьнал система г линейно независимых репзений системы Ву = О. Пусть уг,..., у, уо — иакой-то набор таких векторов. Глава й Численные мел!вы ре!пенна краевык задач 450 Численным ннтогрированием вайдеь! ча»иное решение неощюродной си- стеьп» уе = 4(х)ув + Г(х) (г) при начальном условии уэ(0) = уэ н решения однородной системы у! = Л(х)у„й = 1,..., г; (3) при начальных угловияк у (О) = у!. Пусть у(х) удовлетворяет (2) и левому граничному условию (1). Вектор у(0) является решением (1), н поэтому его ыожно зш!нсать в виде У(0) =- Уе + Л' сгу»! вектор-функция Я(г) = Уэ(х) + Я с,У»(х) удовлетворяет уравнению (2) н совпадает с у(х) при:г = О.
Следовательно, у( ') = ус( ') 4'Я сгуг'(х). (4) »=1 Всякая функция вива (4) удовлетворяет соотношениям (1) и (2). Таким образом, многообразие воок решений (2), удовлетворяющих левому граничному услониго (1), задается равепстволг [4). Чтобы найти исколгое решение, надо выделить нэ этом! многообразия решение, удовлетворгоощсе правому граничному усэовию.
Определим коэффициенты с иэ системм уравнений с г неизвесюгыми Р уе(Х) + ~ с„у,(Х) = с(. (5) В предположении однозначной разрешимости задачи (5.1) определитель этой системы отличен от нуля. Действительно, предположив прогнан!и, мы получили бы, что однородная краевав задача (Г ы О, Ь = О, с! = О] имеет ненулевое решение у(х) = ~ с»у.(х). Если сг,..., с„— рен!ение системы (5), то вектор-функция т у(х) = уе(х) + г с»у.(х) »=! удовлетворяет уравнению и всем граничным условиям и, следовательно, является решением искомой задачи.
451 зб. Алгоритмы решеннякраев~х зала~ При необходимости эковомигь память ЭВМ следует оайгн у(о) = уо(о) + ~ сгуг(о) или у(Х) = уэ(Х) 4 ~ сзу,(Х) и затеьг решить численно задачу Коши вперед или назад, Если среди решений однородной системы у' = А(х)у есть быстро растущие с ростом Х, то столь же быстро может возрастнгь вычислительная погрешность в решениях уе(к),..., у,(х).
В этны случае алгоритм метода стрельбы окажется нещ1игодныы для практического использования. По-другому практическую ненрипщногть метод'1 стрельбы в этоь1 случае можно объяснить следующим образом. Пусть метод стрельбы применлетс» при А = соней Обозначим через е, и Л собственные векторы и соответствующие собственные значения матрицы А, причем пусть ВеЛ1 « .
ВеЛ1 1 < ВеЛ1. Предначожгнэ, но У = 2 ОгЬЕ14 у.(Х) = ) о гегехр (ЛьХ). (б) Если огь р О и ехр(ВеЛ1Х) » ехр(ВеЛ1,Х), то уг(Х) айе1 ехр (Л1Х), Таким образом, все столбцы матрацы системы (б) оказывшотся приблизительно пропорциональными вектору Пе1, поэтому решение ягой системы сг,..., с, будет найдено с болыной вычислительной погрешностью.
рассматриваемую задачу можно трактовать как задачу выделении нз многообразия уе(г) + А с у (а) 1=1 вектора, удовлетворяющего правому 1раннчному условию Пу(Х) = б. При каждом фиксированном х множество концов векторов вида (4) образует г-мерную плоскость в )-мерном пространстве; нлосигсть задаетси конЦом вектойа Уо(з), лежшнгхм в этой плоскгкти, и вектоРами Уг(х),..., у;(х), лежащими в ней. если бы зти векторы задавались точво, то было бы несущественно, какими векторами задавать плоскость. Глава 9.
Численные истовы решения краевых эалэч 452 Однако вследствие погрешностей в значениях:них векторов эта плоскость будет несколько смещена н повернул<. Предположим, что и<хо<1 иая краевая задача хорошо по<ш<влена в с<ютветственно норма вектора у(х) в каждой точке з Е (О, Х] невелпк,<. В рвгсьнггрныюь<ох< случае при болылнх знаюниях ВеА<Х вектор уе(э:) имеет бшп.пйчо норму, а векторы у (<г) примерцо пропорциональны.
Небольпп<е в<опущения уэ(х) п векторов у.(т) приведут к гу<дественному нзменени<о положения плоскогти в области относительно небш<ьпн<х значений ()у)(, не. ээъ«, де находятся значения точного решения. Позтоыу при таком способе звдання многообразия (4) существенно теряется ияформация о решении. Чтобы положение плоскости в общи:ти нвболыпих значений перл< «екторов ))у)), где находи<си реп<ение, было устойчино к погре<пностлм такого способа ее за<ли<ив, представая<"гся целесообразным задаешь п<юскость <очкой, явля<ошей<.я проекцией иа нее начала «сординаг, или эоч. кой, близкой к вей, и векогорыь< ьшожегтвом векторов, лежащих и этой плоскости и образующих орэъгонэльный репер или близкий к эаковому.
Существо наиболее расщюстране<шых методов прогонки решения зюшчи (5.1) состоит в непрерывном или дигкретнол< (в о<дельных точю<х отрюка) переходе к задаиюо мпо<тхбразия (4) при помощи точки проекции начала координат нэ эту плогкость и ортогонального репера, лежа<цего в этой плоскости. В одном из вариантов э<в<ода щюгонки (мщод Год<и<эва) погтупюот следу<ощим образом.
Отрезок инт<трирования раэбинается па части точкаыи 0 = хэ < х< « т,„= Х. Пусть на <прц<ке (эз, э„.«) решение задачи оюэскивалогь в виде линейной комбинации у(т) = йе(т) + Е сэй,'(э) здесь ф(э).-де<пение неоднородной гистсмь< (2); й"(х), ) = 1,..., г,— решения однородной системы (3). Путем по<лвдовательной ортогонализации и нормировки векторов й'(:гч« ), 1 = 1,..., г, получают систему ортонормнрованных векторов й'~~(э,<.<), 3 = 1,..., г. Полапиот .7 йны( '+<) = бе<( 'Ы) — 3.
(й<(х.< ), й<"'( *э<))йэ'+'(эь+<), т.е. вычитают из вектора й,'(хэ.„<) его проекцию ва плоскость, натянутуш на векторы й*гы(э<э<), 2 =. 1,..., г. Далее опять на огршке (ннь<, х„+т) ищут й'<'(х) и й"."<(х), 1' = 1,..., г, как решения систем (2) и (3) соот. ветственно.
После получения такого представления решения в точке Х находят решение задачи на отрезке [э,„<, э,), воспользовавшись гранич- з б. Алгоритмы решения краевых задач 403 Ным условием в точке И = хи,. Да.зее, штш,зуясь формулами перехода Между совокупностями векторов (бе<(х<т<1 й (з.т<)) н (йе (х<т!) й < (х.т<)) пошгедовагсльпо находят ре<пепие на отрезках (т,„ з, зш <),...,(хе,х<). Точки а<,..., хо, < выбира<отея из условия, чтобы система векъ>- ров й((за, <), ..., й;"(хч.„<) была близка ортонормированпой, а вектор й,(т.„«) не образовывал слишком малый угол с подпростран<твоь<, натянутым на этот базис.
Поскольку векторы й((<г,),..., й,'(х„) образуют артонормироваиную сишеыу, а вектор я<)(х<) ортогонален к ним. сформулиро<анные усзовия выполнены при достаточно малой величине и<ах (х т< — т<). Заь<етиь<, что в от<пичис от подробно рассмотренного в 4 3.4 метода щюгонки для дифференциальнон< уравнения второго порядка методы прогонки, основаннью па идее орпвопализвции, при достаточно а<алой величине шах (тиы — х„) оказ<язв<отш< слаба чувствительными к влиянию вычислнг<шьной погрешности для любых хорошо опр<щеленных краевых задач.
Непрерывный< аналог описанного выше метода ортогональной нрогонки Годунова заюпочается в следующем; нажщится матрица Я(0) размерности 1 х (1 — г), столбцы которой образук<т ортопормироаанную си<ггеыу решений системы ураввепвй Вх = О, и вектор п(0) орни<ишльпый к втим векторал<, удовлетворяю<ций систсьн. Уравнений Вп(0) = 1ь При начальных усзовиях 7(0),п(Р) решается задача Коши лля системы уравнений 7 А7 7(Я<7) -<Л п'=- (Š— Я(Я<7) 'Ят)(Ап-р1' — Я(ЯтЯ) 'ЯтАтп); верхняя треугольная матрица Л опргделяе<тя равенсгвоь< Л-~-Л< = Ят(А+А<)Х Сошжупность этих вычислений называют прямыь< ходом мст<ща прогонки. В атом методе вектор п(х) при кал<дом х минимизирует ))у(х))) среди эна<ений этой нормы у решений системы у' = Ау+ у, удош<шворяющих левому граничнпму у~пап<о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
