Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Если 1 > э, то для уменыпения числа арифметических операпнй целе сообразно переобозначать неизвестные и уравнения в обратном порядке, чтобм получить систему с (з, 1)-диагональной матрицей. Глава О. Численные метоцы решения краевых зада| 434 Задача 2. Подсчитать число опер щий при 1юшонии мопзцоьг Гаусса си- стемы с (1, е)-диагональной магрицей при 1 > л, 1 = л, ) < л. В ряде случаев (1, т)-диаговальнаэ лвгтрвпа системы уравнений записывается естественным образом в внле (р, д)-лиаюнальной матрицы клеточного вида, т.е. А = (Ан), А; - некоторые матрицы н1кие, чю А, = О, если у < г — р нлн 2 > г-1-4.
Рассмотрим случай гзктемы уравнений ув — р(я)у = Г(я), (17) тле у, Г- векторы размерности т. р — матрица резмервгхтп го х ш, и оро- счейптую аппроксимацию (18) Матрица гмсгомы еошственным спаюбом звписъв~аетсл в виде (17) с р = д = 1; Аи — матрицы размерности гп х ш. В то же самое время юа матрица является (2го — 1, 2т — 1)-диыонэльной или, что ю жс самое, (4ш — 1)-дшгоовльвой. Для решения шой системы мгокет быть применов метод исключевия Гаусса в клеточной форме, коюрый аналогично ежи|яркому случшо может быть записав в ниде совокуппгкти рекуррентоых мотри'шых юотношепнй типа формул мегсиа прогонки.
Задача 3. Подсчитпп число арифмггичоских операций для мотода Гаусса в клеючпой форма и дли общей процедуры лштсда Гаусса с исключепнем несодержательных операций е применении к сиоп:мг уравнений (!8) При решении ряда задач возниквнн системы уравнений с м;ггрнцгй А, отличающейся по структуре от (1, з)-лиагональной матрицы наличием ненулевых элементов при )т — 1) — п, т.е. вблизи левого ниткнето и правого ворхпосю углов матрицы. Двя решения таких систем также целосообрззяо применять метод Гаугх:а с исключением несодергкатольных операций.
В случае отыскания периодического решения сеточного уравнения (3) этот вариып мс.юда Гаусса назывыот мспшдом циклической проэокгм. Рассыотрил~ пример задачи, <яодпцгйся к сисюме уравнений шкого вида. При сглаживании функций методом регуляризацин в З 5.8 вг|зникла следуюпмл заДача. Дана пеРиоДическаа фУнкЦиа тт Целочисленного аРгУмепта д; пеРаол равен дд. Требуется найти периодическую с тем же периодом функцию пт, удовлетворяющую системе соотношений о пт т — т(-Л )"о =т" при всех д.
)гы т я Вьл|ишем зти саоттюшения прн д = 1,..., Р/. Вследсгвне уюовия пьриодично. сги э лепим значения нт при д < О и при д > 17, входящие в эти югпношенил, 435 1 й Решение простейшей краевой сеточной задачи соответственно на е э и и в»- я. В результате это»»» пслучвтся сисзема л» урав- неввя относительно 1У яевзве:тпых я»,..., из» Ан = й Элементы матрицы А = (а, ) этой свсюмы определявпсз ссотношенпяме е» = е ()1 — 1~), где а(0) = ( — 1) (С)в(» з" .~-Лз"), ( — 1)"-*С,"-»О-з" е(й) = О (-1)»~"-пС»ь»," ий-н* прн О<у<и, при п<й<М вЂ” о прн»п — »»<1<И; е (О) е (1) ...
а (п) 0 ... 0»» (Ж вЂ” п) ... »» (г»»-1) .() е(п) 0 О а(д» вЂ” о) а(Д» — 1) Матрица А симметричная н полохопельно определеепаа. Задача 4. Выписать расчетные формулы этого ь»ьчода при и = 1. Пока- зать, что решение этой системы методом Реусса с исключением но»идер- жательных операций требует О(пт)»') арифметических операций. Выше, когда при рассмотрении ыетода прогонки выопсывались рзсчетныс формулы и подсчитьшалось число арифметических действий, был сплавлен в стороне вопрос о возь»ожно»т»» переполнения нроцосозра ЭВМ, в частности, вследствие дезения на нуль.
Кроме того, отсутствие пере полнения само по себе не»эрантирует избавления ог болыпого влияния вычислительной погрсшнас»и. На модельном примере р(з.) ы р =. сопзз рассмотрим поведение»»ропзночных к»нффицнентов С„при различном знаке р. Соогношония 1 йй )» — С' которым удовлетворяют коэффипненты С„метода п(югонки, совпадают с итерационными формулами решения уравнения 1 Сй й(С)=— 2+ рйт — С Задача 5. Выписать расчетные формулы ме»ода квщ»ратного корня в конкретном глучао решения юой сисчтзеы при и = 1.
Подсчитать необ- ходимое число арифметических операций. Гаева 9. Численные иеголы решения краевых задач 436 Рис. 9.3.2 Рис. 9.3.1 при нахальном приблигкении Се = О. Уравггонио С = д(С) равносильно квадра*волгу уравнениго Ст — (2-~-ухйг]С г 1 = 0; (20) его корни рбг ) рг)т — бз 4 При рйг > 0 имеем Суц > 1; поэтому 0 < Са) = С ) г< 1. При р < 0 и Ь малом подкоронноо выражение отрицательно и уравнение (20) пе имеет вещественных корней. Совместное распологкенио графиков р = С н у = д(С) и точек (С„, Га), (Са, Саь,) изображено на рис. 9.3УП 9.3.2. Видно, что при р > О значения Са лежат в пределах 0 < С„< 1 (рис.
9.3.1). Прн р < О но исклгочено (рис. 9.3.2), что при ростмочио болыпих а некоторое значение Са окажется близким к 2 + угУг; тогуга следугощее значение С„гг будет очень большим и может произойти псрепыггение. Рассмотрим вопрос о накоплении погрепгности при вычислении к<гзффициентов г'а. Из (19) получаем, гю ВС,,г = С ВС„(24р„лг — С, )г Следовательно, возмущения в козффггциентах Са связаны сосагюшениом СС +г С~+~ бСа и при больших Са происходит также болыпой рост погреппюстя. Отмененные выше обстогггельгтва привгщш к необходимости более детального изучения нлияния вычислительной погрешности, по крайней мере при р < О. 5 4.
Замыкания вычислительных алгоритмов При предварительном анализе алгоритмов каждый раз удавалось многое понять, рассматривая случай решения модельной задачи. ууругнм аффективным приемом предварительного анализа является исповьзование понятия *аммкаипл ем щсаошааъново алгорагама, введенного Соболевым. 437 Чтобы не загромождать изложения, ограничимся рассмотрением существа прибив«вы; поэюму многие из проводимых в этом параграфе псе строений но нсегда подробно сбосвовываются. Пусть раша«пса некоторая задача Оп=У и пусть 1«А )ь (2) — послодоватсиьность звдщц завися~юг« пг параметра 6 (гшприлшр, пипа сетки), решения которых и' г«ипштгл при 6 — ь О к решгниш исходной ь задачи (1).
Предпсиюжим, ~то алгоритм решшшя задачи (2) оопп~их в последовательном получении нскоюрых соотношений (3) Л,у = („О < «< «е; (4) «е = Иш «(ЛХ, Ь), Ьые Соотношение [4) называется эплгмхгиимси ем шслиппльно«о елпригамс. (3). Ыы нг лали от рагова) определения вам ьпапия вы чини ильно~ е аавъритма. Сущ- ествоо деле гтшич повятнсг ноеве 1хшсиот1хв~их залпаканий ыюршиов 1а шениа краевой задана Определение понятия вычиглитально~м алгоритма пе вгклшчеег возможности 34 = со. В зтоы случае равенства 1'и = Е Ую = ПбаГ'Хь понимаштси в том смысле, что Л" -ь Е, )" -э (Х~) ')а при гп — г со. Случай Л( = оо соответствует итерационных~ методам решения задачи (1).
Если опораторы А, равномерно ограничены по «, то говорят, что алгоритм (3) имеет регулярное замыкание. В противном случае юворят, что алгоритм имеет иере«у«линос зпммкаипе. Если замыкание алгоритма регулярно, то ость основания предположить, чзп оп устойчив к различным возмущениям, в частности к вычислительной погрешности.
Пситому исследование замыкания алюритиа яеляепи удсбным способом получения предварительною суждення 34. Замыкания вычислительных аморятмов при этом А«г — — Е . единичный опера|ор, пхг т.о. иа ЛХ-и нюаге получается точное ргшспие параметр «(пй 6), монотонно зависящий от ш, «фиксированном соотношение (3) по1жхсдит в ()ь)-~ га и'. Пусть можно ввести такой, что при Л вЂ” ь О и проделс в сонг ношение Глава 9. Численные методы ре«пения краевых заде ~ 438 о свойствах нового метода на первоначальной стадии изучения напра. са. Такая прсдваритольнал оценка свойств метода на всегда оказывает«я окончательной.
Может «лучигьс», тга операторы б, равномерно ограни. чаны, но очень большой постояыяой, что равносильно практической нс ограниченности. С другой стороны, возможно, ч«о накрали юнность оце. раторов А, вызывается неудачной нормировкой уравнений вли неуда.« ным выбором норм в пространствах функций п. Отсутствие равнамер. ной ограниченности операторов бв озвачаот неограниченное в«врастание р(Ь) = впр1хтье() при Ь вЂ” г О. Нг исключена возможность. что величи.
на р(Ь) растет очень медленно и соответствующею возра«тапио вливния вычисли«ильной ««огр«впиоеги при стремлении шага к нул«о окажетгл да. пустимым. Несмотря на высказаиныс «оображания, изуч«лвс замыканий вычислитапьн«ях алгоритмов приносит Гнжыпую п«нп*зу. При прямом ходе «йюганки получаютси соа«ношения р. — С.р„„= рв, (б) Полыщемся полит«а во что ««ереходят зти соотногпения при Ь вЂ” г О. Вазу мем простейший случай рг— в О. Тогда Са =О, С« = 1/2., Сз =2/3,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
