Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 77
Текст из файла (страница 77)
>й>йт шах((ЛХэ(, ((у )э() Парампгры ЛХ, ЛХ> подбиршот из соображений оптимальности распрсдс лепна узлов в условиих конкретной задачи. Рассмотрим пример оптимизации распределенив узлов интегрирования. Пусть задача Коши р'(т) = ЛХу(я) прн начальном успев>ш р(0) решается методом Эйлера. Тогда ЛХ Зй(эй р(т)) = — — р" (к) = — р(0) ехр (ЛХх) 2 2 Глава 8. *!иззненньк мепьзы решшшя жла ш Копш 416 и ураввонио (6) имеет вид , Мз (уз',) — )р(0) ) ехр ) А/уз) схр (ЛХ(Х вЂ” уз)) = сопи! . 2 Отсюда получзам узз — — соме!, т.с.
Распрсдеясние узлов слелуоз. взять ринг ззомерзззиьз. Наибшзьзпезь яффские решение задачи оптимизации распределения у;злоа нззи ое упрощенных вариантов достипюг в случае рошений с особенностями пронзподных и нри рошопин змцзз с малыми иараыетраыи прн старших производных, наприли:р задзч типа погрвии зного зшоя. Литература 1. Нахимов Н.С. Некоторые чамечани» к вопрогу о чиглепном ннгогрнровапии дифференциальных уравнений зи годом конечных рюносгей. // ДАП СССР..
1955. 104, Н О, С. 805-808. 2. Винокуров В. А., К)вченко Е!. В. Похуявные чесанные методьз решения жестких задач // ДЛН. — 1985. — 284, К 2, С. 272.277. 3, Крылов В. И., Бобков В. Б., Моннстырвьш П. И. Е!ачалл теории вычислительных мсшдоп. Диффсренцвальныв уравнения. Миш к: Наука и тсхншш, 1982. 4.
Крылов В. П., Вобкоа Б. В.. Монвстырный П. И. Вычяглнтсльные мез оды. Т.2— Мл Науюи 1977. 5. Лсбедезз В.Н. Как ршшпь ю ьь з ч одзии жезткиз ыкз мь диффе!зенпиан пых уравневнй // Вычислшзшьныс процз осы и свгтемы -Ыс Ыюка, 19ПЬ Выл.8, С. 237 291. 6. Глкипхий 10. В., Кзз ннов С. М., Норноруцкзпз П. Г. '1ислышыс ышогю решшшя жехтззззх снесем . Мл Е!вука, 1979. 7. Сонременшие численвыс ззгтоды решения обьноюьтнных лифференцнашьных уранаепнй // Под род.
Длс. Хохла, Дж Уатш Мл Мнр, 1979. 8. Федоренко Р. П. >Кесткззз тишины обыкновенных дифферснцнгшьных ураззнений и их чиглепное интегрирование // В кп. Вьнзислитсльпые пропзссы и гнсшмы. Вып 8, Мл Наука, 1991. С. 328-380. 9. Федоренко Р. П. Введение е вычиазвтсльную фнзику Мл Изд-во МФТИ, 1994.
10. Хай!зе!з Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных днффсрыиопшьных уравнений. УКестклс и дифференциюзьно-влгебрличсгкне задачи - Мл Мнр, !999. Н. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннср Г. Ренижше обыкновенных диффор нцпальных уравнений. Нензесткие залачп - Мл Мнр, 0990. !2. Впссбег 1 С. А шод!Пеб шпрйзшр зззе!Ьззб !ог Пзе пзшзш на! ниеиийоп о! огфпагу ейбегшзглй оццабопв // 1. Люос. Сопзрнс. МюЬ.
— 1965, 12, И 1 Р. 121-135. !3. ПиМцн!и К. Ейадй!зу иззу епог Ьоипби 1п сЬе пшпег!од !ззсейзззПозз о! огдйзагу ейПегепба1 муза!!опз — Бррва1а, А!шз!ти! И ЕУПзнейв ЬоМг 130 (1959). Р. 5"92. — -- — — — -- — -- — — й"лов((й Ф Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений чун При решении краевых задач возвнкаагг допалнптгшьныс тру;пюсти по сравпепикг оо слу 1вем решения ззд чи Коши: значительна сложнее вгследуегся вопрос о сутцегтвовапии решения: после ншгг~сапня саточвай звд;чи вознвкыт система линейных илп нелинейных уравнений, проблема решения которой требует догзшппыалыюго изучения, 2 1.
Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка Среди краевых задач для обыкновенных днффсренцпагп.иых урапнепий сущаствсппукг часть состаиляют заюзчи дпя уравнений н систем второго порядка. В частности, такие аагпеги возникают в баллистике, хоргпг упругости и г. д. Начнелг изучение вопроса с одной чжтной, по дожшьио распространенной краевой задшш.
ИШогс» решение уравнения 1,у:— уа — р(х)у = ((х) ва (О, Х) (г) при грипгчных услоавях у(0) =- а, у(Х) =- 6. (2] Зададнлк:я пгюом 6 = ХЖ ', гг' целое; точки з:„= пй примам за углы сетки; как обычно, у„— приближения к злагеппям у(з:а). После звьюны прогггводпой ра(г„) ла разностное агнопгепнс бзрр Уа.ы — 2У„ + У„ 6аг Хг получаем систему уравиегшй бзу г(уа) = —,— — иау = Гю и=- К...,1г' — П (2) — йг зцесь Р =Р(ха), 1 = 1(х ); гРаничиыо Условна заменим ссютвошениими уо=а, нег=6.
(4) Глава 9. Численные могопм решения краевых за»аз 418 Покажем, что при р(х) > О система уравнений (3), (4) имеет решение, и дадим оценку погрешности. Лемма 1. Путльр(х) Э О, 1(»о) <О, »о, »л > О. Тоода» > О про всех п.
Доказательство. Обозначим шш «„чероз д. Предположим, что д < О о«и " и, следовательно, г! т»о, »гь Пусть о — наименьшее целое такое, что»о— д; из опрсдшгсния д н д имеем » 1 > д, » чг > д. '1Ъгдо (»оог д) + (»о — 1 д) »о-г !(»о) = йз ро»о > 1» и мы прихожим к ггротиворечгпо с щждпгвюжепиом д < О.
Лемма 2. Если р(х) > О, то длл любой !бункцно»„вино»настов ногоеегь ство Хт гпах !»„! < шах(!»о$, !»к!~ + Я вЂ” „, Я = шах (!(»н)!. о«л Доказательство. Вводом в рассмотрение функцию ( пй 1 пй пй(Х вЂ” пд) то = !»о! (1 — — ! + !»л! — Э- У Х) Х 2 Для многочлена второй степени величнва б»С)/6» совпадает со нгорой производной, поэтому баю /й~ = -Е.
Из явпога вида юн слг;луог, что шл > О, поэтому !(ю„) = б»ю„!8» — р„тн < -Х, 1(юн й. »„) < — И й1(»н) < О. Имеем гоо~»о = !»о! ~»о > О, тлй»л = !»и! ~»л > О. Функции ог х»о удовлетворягат условиям леммы 1, поэтому 1»эх»н, > О. Отсюда следует оценка !»о! < (ш„! < шах !ю !. Имеем неравенства о« .и п61 пй П пй! )пй!1 !»о! (1 — — ) + !»и! — ~< пшх(!»о), !»и!) Ц1 — — + — = п1эх(!»о, !»л!), пЛ(Х вЂ” пй) < Х~/4.
Поэтому Хэ гпзх (ю„! < шах(!»о(, !»М(1+ Я вЂ”. о<о<о з 8 ' Лемма доказана. рассмотрим случай, когда функции р(х) и Т(а) дважды непрерывно ддффере)щируемы. В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что тогда решение р(х) четырежды непрерывна диффергнцируемо. 419 5 1. простейшие метоиы решения краевой задачи Пусть г„— погрешность аппроксимации, соответствующая конечпорвзнсстной схеме (3): ги = 1(п(х„)) — 7„= у(х„44) — 29(х ) + у(т .4) (5) Ьз — р(х„)у[х ) — 1(х ).
Поскольку р(х)р(х) + 1(х) = й"(х), то у(хаю) — 29(зв) + у(х,) г бз — и (х„). Из оценок погрешности формул численнгпо дпфференцщюванвя Я 2.15) имеем 49(41(й )йз где ха г < х„< х гь 12 (6) Из-за округления получаемые в процесгн вычислений приближения у„к значениям у(х„) удовлетворяют сигшме (3), (4) с пекогорыми погрепь ногтями 1(ре) — 7а = бю (7) Вычитая (5) из (7), получим уравнение ЦЛ„) = бе — г„ относительно погрешности приближенного решения Л„= у„— у(х„). Вос- пользовавшись леммой 2, получим Хз )Лв( < шах ((Ло), (Лл(~+ — ( шах )га(+ шах )бв().
Согласно оценке (6) имеем (Р ) М4 — М4 — шах гу (х)(. (е,х)) Таким образом, окончательная оценка погрешности имеет вид М4Хзбз Хз шах (Л ( < нюх ((Ло(, )Лл)) + — пюх (ба(. Мы вццим, что при повышении точности, с когорой удовлегпорвются граничные условия и разноспюе уравнение, при сдновремевнол4 огреьглении шага к нулю решение сеточной задачи сближлется с решением дифференциальной задачи. Описанный метод дает приближенное решение, сшдящнтл к точному со скоростью О(бз).
Займемся построением более точных схем. Вудом предполагатгь что фУнкции Р(т) и 1(х) непРеРывно днффеРенцируеьгы Глава 9. Численные методы рехненяя краевых задач 420 четыре раза„тогда решенно задачи непрерывно диффсренцируемо шесть раз. Еще раз рассмотрим выражение р(хюьг) — 2у(т„) + р(т„<) г = 142 — у (х„). Налставим сюДа пРеДстаалелие Р(хаш) с памошью фоРыУлы Т4.йлоРа: 49(х„я<) = р(т.„) му (ха)6-<-у (та) —, 22 у (т.„) — -<- + У< )(та) — х У< )(х„) — -<- О(6а) " 24 120 и получим <41 2 р (х )1 12 Вы ггсм из Цр(х )) слагаемое, аппроксимирующее величину <у<4)(ха)62/12; полученной схеме соотаегстнует пагрепшость аппроксимации более высокого порядка.
Например, можно приблизить у<4)(х ) вы<жжением бгр(ха) р(тек 2) — 49(ге44) -<- бу(ха) — 4у(х„ г) -<- р(х„..г) 64 64 получ2224я конечно-разно4жная схема 42 44 — — — "-рау =/. 62 1262 (9) Эту схему л4агкно также построить непосредственно, заменив производнуо у"(х„) выраженном 6 2(бзу(х„) — (1/12)бау(ха)), прибгшжаю4пим ее с пагршгшостыо О(64). Урав4геигге (9) содержит пять неизвгктлых уа с ненулевыми козффициентвмн. Решение сиегамы, састгжщей нз уравнений (9) и уравнений, получшощихся при аппроксимации граничных условий, бш4сс трудоемко, чам решенне системы (3). Исжяог из других соображений, построим конечно-разностну4о схему с ногрешноспю аппроксимации О(64) гвкуго, что в кюкдае уравнение вхгу<нг тснп,ка трп нанзвесппях. Дифферешщруя дважды исходное уравнение, имеем у<41(х) = (р(х)уй /), 4<озтому 00 бх(ру+/)) У (х)ю 62 (*"+2)" / 41) 2(Р р(х„)+/ ) < ( 62 Вычитая из исходной схемы приближение для р<4)62/12, получим схему 62 — р уа — 12б'(р гу +/) =/ 421 4 1.
Простейшие методы респения краевой за,зачи или РП)(р„) = —." — рау — — б (рау„) = )П)(У„) = уе + — б")и Зтог ьсегсщ совпадает с мстццаьс Нумерова. В предположении, чзо рсспелие непрерывно диффаренцнруема всселсь раз, рагсмосрим погрешность аппраксимапии новой схемы см =-1(»(у(х )) — рс~(у,). сц ц учитывая, чзо рир(х ) + д„= ри(х„), получим гс 1=-1» 1(р(х„)) — 1»»(б„) = „". — уа(ха) — — б р"(га). бз ' 12 Васполь ювавшись формулой Тайлора, аналоге*пю (8) получасы равенства — — а 0(йе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
