Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Папримвр, ряд задач небесной мсхллики сводится к интегрировапшо свалим уравнсний у" = е(у). Рассмотрим насколько бгтсс широкий класс уравнений Рг ((г Р) Как и выгпс, рассуждения проводятся для одного уравнспня, поскольку пврспос рвзультнтов на слу гай системы гжущсствлястся влтомат~чсски. Трв,лициогпю наибалсв расщюстранснными методами интегрирования та- ких уравнений явля2опл линий Рвьг — 2Р„Е Рч г = Ьг) Ь,)(хв а Р„,) а и иелвиий ь Рв+ — 2ув+Р.-| = Ь'Е,й-л: -Ь Р -*) ,= — 1 (2] конечно.рвзностныс л2сгады.
Этгг методы можно было бы получить мс тоЛом псопрсдслснных каэдх)гициснтов, потрссхвьзв, чтобы разность У(хв+,) — 2Р(х ) + Р(хв,) л /22 гг 1 10 1 2„„+„„, =1г' г(х„п.„,).„((хв, Р„)+ ((,иаы Рвы)), 12 " ' 12 "''" 12 который осабвнно удабсн в случае линейных задач. была величиной как люжна болев высокого порядка по 6. Здесь, как обычно, прслпачшастся хвлл — хи ш й. Одним из наиболее употребительных среди этих методов являвпя ислвимй метод чствсртога иарлдга тачаасгии види (2) (чагин называемый методам Нумерова) при й = 1: 410 Глава 8.
Чи!ленвые методы решения задачи Каши Для целей численного интегрирования уравнения у =,1(х, у, у ) «„г! = «» + Ь«! аг чг,(в, т г «=с или неявных вида «„+! = « -|- Ь~~сг'7 (»+1, л е=о ! у.,! = у„~- Ьу~()«Гг «».„ е е=а у„.ы = у» + )г~ Ингу «,.„и г=с Урвввевия более выпзкоп! порядка, !ем второй, па практике часто !!юдит к системам уравнений второго нлв перв!во порявков (см, также Ь 9.11). Как и в глучае конечно-разпостпых схем для уравнений первого порцдка, отбросим в (1) и (2) слшнемыс, садержшцие значения г, и рассмотрим получившееся рвзноогнае уравнение В обоих случаях она иысег вид у»+! — 2у„+ у» ! = О.
Его характеристическое уравнение имеет кратный корень д. = 1. Нс нужно пугаться того, что корень оказвлсн кратным: если в рвзнастных схемах, аппроксимиру!ощих уравнения первого порядка, перед вне юниями 1 стоял кж~ффициенг порядка Ь, то здесь стоит коэффициент порядка Ь . з Вса упоминаишиеся ранее разно!нные схемы интегрирования уравнения ув = ~(х, у) могут быть представлены в виде е е — з),а-!у — — ),Ь-Лх —, у»-!) = О, е Гс О; ' шо =о при етом для гладкой функции ь УР, а — ьу(х -) +у (х!) шо при фиксированном х„и Ь -+ О; кроме того, ~ Ь ! = 1.
Пусть !'» шо погрешность аппроксимации (репу«штат подсчанавки в левую часть решения дифференциальной задачи): '(,» *) — ~,Ь-.у(* -', у( .-!)), 1=а =о употребительными являютгя следующие методы! значения у„и «»ри- ближений к у(х„) и у'(х„) вычисляются из совокупности явных рекур. рентных сост«ношений пцца з 10. Методы численного янтегрировввия 411 и [г„[ < сару равномерно иа во:м рассматринаемам отрезке интегрирования [хо, ло-~-Х). Как и в случае уравнений первого порядка, из-за акруглений при вычислениях н неточности решения уравнения относительна неиюмстной у„в случае неявной схемы (Ьа ф 0) рспльно получаемое приближенное решение р„уданлетваряет (3) с некоторой погрешностью. Таким образам, имеем (гЕо — ш — ~ "— г(х нг1п,) =бы ша =а Вычитая из атоса соотшнпения предыдущее, получим уравнение для по- грешности Пл =- р — у(хп): йг);а гП,г,— ') 1,1„,кп ° =д, =о 1=0 где (г = уг(ху, Уг), дп = Б — гн.
ПУсп А = вп1] [Хв(х, РН < 00. ейгйге+Х Теорема (без доказательства). Пусть есе корни харвктериювического уравнения 1пзностной схемы е ~о,1ге ' = 0 ше лехсат в единичном круге и на границе круга нет кретин:е корнег1, за исключением двркрипного корил, ровного 1. Тогда при ха ~ (х < ха т Х сириведлпва оценка погрешности шах ([П„[, ) [) < (5) < С(Ь, Х) ( гпвх [д [-~- шах [Пу[+ швх ~ г )) . о<с<.еЬХ О<о<с а<о<в й При численной реализации методов решения уравнений впгрого поРядка с целью умеиыпить влияние вычислительной погрешности целесообразно преобразовать расчетные формулы к другому «нду.
Методы численного решения уравнений вгарогп порядка могут быть исполг зоввны при чжленном решении уравнения, где пршзеодиая решения не выражаетс» явно черт само решение и аргумент; для определенности рытматрим скелярный случай р(х, р,р') =О. Если бы эта уравнение удалось разрешить относительна р', то получилась бы некоторое уравнение р' = У(х, у). Глава й. Численные методы решения зэ,тачи Коши 412 Первый вснможный путь решения валюш состоит в с(лармальнам применении ме".хлев Рунге-Кутта или конечво-рално<тных мелльтов; для каждых х и р значение / определяется путем численного решения уравнении Р(х, р, /) = О. Хорошее начальное прибвнжевие к ншлолюму значению / мслкно попу "шть иц.
нлрпоняцией ранее найденных значений, поэтому число требуемых изтрышй (например, в методе шкуших) обычно оказываетгя небозьшим. В случае неявных мпсодав бывает целасаобразво сразу решать снлтему уран. пений Р(. „о р„, /л) = О, Еа — р -л - АХО-'/--, = О огвоснтгльно лллагзвестыых р, / . иногда (крайне редко) поступают лчедюошим образом: лвффгревцируя исхозв нае уравнение по х, получают оютношепня 4 — (Р(х, р, р')) = Р. (х, р, р') 4 Ра(х, р, р')л/ 4 Рлг(х, р, р')л/' = О, г(х лр — „Г(Р(х, р, З/И = -" = О и т.д. Если значение р'(хе) уже найдено, то ил этих соотношений можна явным образом определить значения ра(ха),..., а затем получить р(за ей) с помолцыо формулы лейлора. Первое из этих соотношений можно переписать в виде 1/'=р(х р, р').
Отсквш получается третий путь рывгнин задачи: нз уравпы~ня Р(хе, ре, з/(ха)) = О определяется р'(хь), и далее численно интегрируетсн уравненил рь = р(х, лк р'). В 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования Решения диффергльциальных уравнений и систем могут иметь различную гладкасгь на различных участках отрезка интегрирования. На примере оценки пагрешаасти метода Рунге — Кутта было вцдна, гга вклад ат погрешности интегрирования на векснором шше (ха, т„ьл) в суммарную потреппласп, в точке хи = хо -~-Х равен произведению погрешности 414 Глава 8.
Чиш!енвые методы решевв» запачн Коши где 5(д) = !Ф(Р УМ))!(ЬЪ)) р~ ~ А(х,и( ))йх) (5) Задача минимизации интеграла (4) за счет выбора функции Ьг(Ь) и задача л!инимжацин этого же интеграла за счет выбора обратной функции Вй с(Ьз) в форл!с (5) эквивалентны.
Вгшодгтвие равенства — = 6 уравнение д! Эйлера 0 /дь"! в данное случае приоброгвет вид — !1 — у! = О. Отсюда жалует, что Ф (ВР) дб — Ь-! Г Г' "+Л вЂ”, = — Й!)Ф(!д, р(!о)) (!'(!е)) екр ( ( (э(х, у(х)) Их~ = соле!. Вазврагцаись к переменной Ф, получаем (Ф'(!)) )4Ь(Ф, и(Ф)) / р(/ Ь(х, у(")) г)х~ = С! (6) Решение этого днфференциальноп! уравнения зависит от С! и еще не- которой постоянной С!. Ик значении следует определить из граничных услопий !о(0) = хо, Ф(1) = хэ + Х. Отметим одно нпгчевндное обгтснтелытво.
Уравнение (6) может быть запи- сано в ниде (эг(!)) !Ф(Ьг, э(ээ))/екр ( — ( Гг(х, э(х)) Их~ = С, куда не входят ви начальная, ни конечная точки интегрирования. При С' = Со!+! уравнению (7) удовлетворяет также функция гг(а! .!- Ь). Зшгамлись н При гладкой функции Ф(!) и й! -+ ск, величина ~ — Ф ~ — ~ !премнтся с.. д! !д!! к интегралу =! !.! 1=у) Ф(!)вй (4) о и, таким образом, г! Яа - д! г/ Ф[!) гй.
о Дальнейв!ив построения являютси некоторым усложненном пост!юений из 5 3.12. Примем !д за новую псрсыеппу!о в пнтограле (4). Тогда оп завишстги в аиде гга+К У= / 5(!)44, *о 1 11. Оптимизация распределения узлов ишегрироеання 415 исков>рым >э, осуп>ествим одновремыюое вигегрнрованне негодного уравнения и уравнеиня (7), выбирая каждый раз шаги интегрирования нз у>ловка к„— х„> ег >р (г 1). скорее вссп>, мы придем в коне шую точку тс ->- й с числом узлов й ы отличным от Щ, я тогла эш распределение узлов не бгдет являться оптимальным распределенном, соответствующим данному йй Эш ыты:твенно, поскольку, начиная вычислении, мы не могли варан>т пргдвндс"и хода нонеденп» решения и сказать, какуэ> ыыячину С слелует нзячь в правой части [7).
Однако но>кис показать, что, вследствие указанных >войсп> реш> ии» >равнение (7), фуюгция Э>П) будет искомой и распр>щелснис >.яюв Э>01/Л>1 )- о>гппаальным (с ~очностью до погрешности .моленного н>ггсгри>юваипя), соответ>чву>ощип числу уэ:юв К>.
Непгярсдственпое интегрщюаание уравнений (1) и (7) астрочвпг загРУДненне из-за необхоДимости вычислении значащий фэнкЦии >Л(х, р(х)). Вмшто непосредственного нычисления значений стой фушсцпи цслосообразно использовать величину контрольного члена точности на шаш. При численном ннтсгрировю>ии уравнония (7) слецунг также нмпгь в ю>ду, что этп сеютношопия носят аснмптотича.ьий характер.
В окрестносп> точек, где р(х, р(х)) = О, н осчвто шом члено панина>от ИГратЬ Сущс>НВЕ>щуЮ РОЛЬ гща>ВОМЫО ПОрядКа (Кв — тн,)1>эт. Допол>п>тсвьное численное интегрирование уравнения (7) можит сильно усложнить ршпонис задаш. Пошоыу к вопросу опп>миаацци распределения узлов часто подходят сведующим образом. Пусгь решышся зада>и гш некоторого определенного класса.
Рассмотрим модельную для эт>ио класса задачу, для которой можно в явном виде решить уравнение (7). Постараемся на ее приыере установить зависимость пюга (илн меры погрешности на шаге) от поведения решения, при которой рагпределс>шс узлов близко к оптимальному. Далее все задачи этого класса ш>тегрируем с шагом, соответствующим этой зависимо>эти. В других случаях заранее задаются некоторой формой такой зависимости. Пусть система уравнений порядка ш интегрируется с контролем точности па шаге. В случае сигтемь> уравнышй контровьпый член 1" буДвг нокотоРым вектоРом гэ =- (1,'„..., г„'"). В РвДс пРогРамм шаг инте грирования выбирается из условия ((гк((/ >пах (ЛХ, ((р, ((~ е = сопэ1 или нз угловня (гь( шах — — — е = сопя>, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
