Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(14) Глава 8. Численные меюды решения Задачи Коши В предположении, что хе,..., хь г = о(1), рассуждая чвк лге, вак при доказательстве теоремы об оценке погрешности, получаем, что х„блгзчко к рынению уравнения (14) при начальном условии «(хе) = О. Это решение можно выписать в явном вцде: г х„юх(хв) = — Емтг~ пкР( ( уг(1, У(Ь))г)Ь ~у(вт )(г)г)х. (15) ге гз Таким образом, Л„ь"'л(гв).
Сфармулнруем аналогичный резульшт, огнюювцпйся к случаю г1ытегрировавия системы уравнений. Для системы уравнений у' = Г(х, у), когда у и Х— векторы: у = (ум..., у~)~, Г = (Д,..., Я, еырюкевне главною члена погрешности (15) имеет вид у„— у(г„) И,"'в(х„), я(л„) = ( )Р(х,хв')уь '"'1(х) г(х. Здесь матрица И'(а, Ь) является решением матричного дифференциального уравнения П"(а, Ь) = 1„(Ь, у(Ь))РУ(а, Ь) при начальном ушювил ьр(а, а) = е, где е — еднни шая матрица, гг(х, и)— матрица с элементамп дадут. ) „„, Е г = 1,..., 1.
Проведенные выше рассуждения, «вэклмй этап которых ыожет быть стрела обоснован, нвогла облекают е более грубую форму. Точное решение дифференциальной задачи удоачетвпргкт соотношению Ьь(у(пй) Емый'"урн~1(х), где Аьх = -) а„-.х„, — ) Ь,У(х„ а л„ ,), — с =е а приблигкеннсе решение — саснношы1ию 5 (у ) = О, поэтому их рэзнасгь удовлетворяет раеенсшу Ль(у ) — Хь(у(оь)) ю — Е ыь 'у[ ™(х). Поскольку у„и р(пь) блюки, это сгютношеипе можно записать в виде Гйь(у( Ь))(у — у(п )) = -Е +гь™у' "1(х) здесь Ц, — производная оператора Сь. Поскольку операторы Е и Хь в апреле. ленном смыгле близки, то можно написать Е(р(пй))(р„— у(пй)) = -Е„,Ь у1""г1( ) 66.
Оцелка погрешности конечио-ревностных мкпжов Напомним, чю пронзводнал оператора Е определяется равеисшом Цр(х) а сб(х)) — Цр(х)) с с = 1ш1 Пр + сб)' — )(х, ц + гб)) — (р' — 1(х, р)) — = б' — Ях, р(х))б. ь-~с 1 Ожюда получаем приблизкеннсе равенство б' — уз(х, р(а))б -Е„,МЬ"'р~ "ц(х), где б = рв — у(х„), н затем — (15). Второй путь вывода вырюкения зьш главного члена погрешности узке ве поддвется не1юсредственному обск|ювапню н в принципе может привести к неверным заклю <еники.
Это «ндно хотя бы нз того, чзо нигде не проявилсхь угтовне а, без кспорого не имеет места сан факт малости веяичины рв -р(х„). Онраведливскть получаемых па закон пути резуна ш юв зребуш слециазьного обсснонания. В то же ерема его следует признать крайне полезным, поскольку не известно ни одного противоречащего примера, когда бы сто прил~спевке приводило к неправильному выражению Лдя главного члена погрепп1осгн е случае, если решение резносжней задаче сшднтсх к рсшснню двй4еренчнсльнсй Для некоторых методов, например Адамса и Рунге-Куттс, выражение главного члена погрешности, квк правило, даст реальное представление о вели ~иве погрешности. В других случаях, наприыер дли метода (7.6), являющегскя простейшим случаем так называемого метода Милна, зто выражение сведует рассматривать как некоторузо оценку снизу для реальной величины погрешности.
Рассмотрим научай меюда (7.6) и уравнения р' = Мр. Точное решенно иммгг вид р(ь) =, см'-хс) а Ъз = 1/б. Согласно (16] имеем Г' х(х ) см( с)МЗр <м( о)фг М реем( )(т' гс). (16) .-%: 6 Оценим )тс "~ в области о > О. Поскольку эта функция стремится к нулю при о -+ О и при с -+ сю, зи ее наибольшее зиа~ение принимается в точке, где ее производная равна пулю, т.е. при и = 1. Отсюда следует, что )се ") ~( е 1 при с > О.
Рассмотрим случай М < О. Подставляя с = — М(ха — хе), получим )Мем(х" *')(та — те)) < с г. Отсюда н из (16) следУет )х(х„)) < Мз)рс)Дбе), и, таким образом, главный член погрешнсюгн равномерно ограничен при хс < х„< со. В то же время из рассмотрения этого модельного примера, гйюведепного в 6 7, вытекает, что реальна» величина погрешности довольно сильно растет вследствие большого влияния погрешности начальных значеннй ро, рь 399 Глава 8. Численные методы решения задачи Коши 5 9. Особенности интегрирования систем уравнений Проводившиесв выше построения., и частности расчетные формулы, при- менимы без всяких изменений в случае систем уравнений у' = П, у).
Формальнае отличие состоит в том, что в соответствующих соотношениях вместо скалярных неличин учишву~от нокоторыа маэрицы или тензары. Для выявления особенностей, которы<" могут возникнуть при численном интегрировании систеы абыкяавенных дифференциальных уравнений, рассмотрим ьпщельный пример линейной системы с постоянными коэффициентами у' = Ау, (2) В глучае использования конечна-разнастной аппроксимации (5.2) соответствующая система конечно-разнаствых уравнений имеет вид ь ',> ' *"" " — ) К.Ау„, = О.
шс =о (2) Для простаты предполоясиы, что жорцанава форма матрицы простая: С гАС = Л, Л вЂ” диагональная ыатрица с диагонавьпыми элементами Лг,..., Ль Положим С гу„= и„и умножим систему (3) глена иа С г. Получим и ь ~ ' '„'"-'-) б гс.'АСн„г=о шо Казалось бы, в абрисовавной выше ситуации есть какое-то противоре. чие. Говорится а главном члене погрешности, но в то же время утэерждвеггя, что он ве нвляеггя определяюпсиы в реальной величине погрешности. Дело заключается в глгдующеьг. При получении главного члева погрешности имелось в виду, что дли.
на промежутка интегрирования фиксирована, а 6/Л и Л стремятся к пулю. При рассмотрении модельного примера в з 7 речь шла о поведении погрешности при 6 фиксированном, хе —:го -+ О. Как показало рассмотрение эчага модельгго~о примера, влияние погрешности исходных данных существенна уже при не очень балыпих значениях )М)(хе — те), поэтому широкое применение метода (7.6) в реаль. ной практике является вецалесообразныьг, несмотря на малое значение главного члена погрешности при 6/й, Л -> О и хе — хо фнксиронанном.
З й. Оссбн!аоста иптегрироваяия сясгем уравнений нли Вта система расла,лается на систему скалярных конечно-разностных уравнений отиоснтглы!о компонент «г векторов я = («!, ° ° °, «' ) 7. л ь — ) а,«г „„— ~1! сЛг« „, = О, р= 1,...,!. (4) !=-.е Соотвошеиие (4) совпадает с коиечно-разностной аппроксимапией дпя уравнении « = Лр«„. (б) Если в (2) перейти к новой неизвествой вектор-функции в =- С су н умвожить (2) <лева на матрипу С г, го получится система скалярных уравнений (5), р = 1,...,1. В соответствии с определгзшем вектор- функций к(!с) и в„имеем равенство .„ - ( „) = С-г(у„ - у(на)). Следовательно, для получения решения у(ъ) с малой погрешношью необхоцимо и достаточно, чтобы решения вг(з!) уравнения (б) получалнсь с малой погрешностью в случае игпогряровапия с помосцью аппроксимации (4). При этом ил!естся в виду, что есть с<итветстаио между а!шроксимзцияь!в начальных условий у.=Сиз 1=0,...,й — 1.
Проводя аналогичные построения, можно получить тот же вь!вод и по отношению к методам Рунге-Кутэн. Решение уравнения (5) имеет вид «р — — «е ехр (Лр(т-яе)) н существенно измениется при изменении х на расстояние сЛ« =(11'Лр), зсе. характерный размер изменения решения порядка !/)Лр). Если говорить о векторе в(я) как о едином целом, то характервый размер гго изменения — величина порядка 1/п!ах )Лг~; точно такой же порядок характерного изменения р будет и у вектора у(«).
Шаг интегрирования должен быть супсественно меньше характерного 1 размера сюменеиия решения, т.е. 6 ~ . Отсюда слепует оценка !пах (Ли( снизу для числа шагов интгтрирования Д! = — З шах)Лг) ° Х. Х Зйй Глава 8. Численные методы решения задачи Коши Если число шагов, много большев величины пшх)Лр).Х, неприемлемо по Р затратам машинного времени, то желательно применить методы, использующие специфику поведения решения. В случае, когда )Л )Х » 1 при всех р, лля описания решения можво бьшо бы применить асимптотичгские мето- ды. Однако па пРактике часто вогРечаютсн занипб когда зто Условие не выполнено, и позтоьгу применение вснмптотических методов невозможно илн крайне затруднительно.
Конечно, возникает вощюс, о каких проблемах илет речь, поскольку решенно системы у' = Ау выписывается в явном виде? Дшю в тон, что ны говорим сб атой задаче «ак о модыьной; реально же мшсд применяется для решения какой ю, ьак правило, шюжной задачи, и мы смотрим. как велш шбя меюл в применении к прычгйшей задаче, где все выписывается в явном виде. Широкий круг прикладных проблем сводится к решению задюги Коши для так называемых эюссшкит сисшем дифферонцнвльвых уравнений. В частности, к таким сис"семам относяття светала уравнений, вазникающие при применении мшодов установления йтх Ах —.
б т — + 1гу = О гйх гй Ах — .1- 111 = О, гй л1>и минимизации функций 1, у которых линии уронил имеют форму зллипсоидон с болыпим разбросоьг полуосей. В качестве ысдсли таких систем берется система уравнений у' = Ау, (6) у = б(х, у(й))у относится к классу жестких сиоггм в смысле приведенного выше опре деления. удовлетворяющая определенныьг условиям на собственные значения ма- трицы А. Не существует установиншегося определения жестких си- стем. Обычно систему (6) относят к классу жестких, сели величнва (шах ВеЛг) ° Х ле является болыпим положительным числом, а величина г (шах ~Лг))Х >) 1 и а) величина (шах )1ш Лр)) Х не является большиьг положительным чиг слом, или (1шЛ ) б) < с при умеренных значениях Ь и с.
й-ваЛ, Нелинейную систему у' = 1(х, у) относят к классу лгестких систем, если при всех й из нексаорого отрезка длины Х > О, принадлежыцего области интегрирования, система уравнений 99. Особенности интегрирования систем ураэиений Из проводившихся выше рассуждений длн случая системы (б) видно, что численное решение зала*ли Коши для таких систеы требует разработки специальных методов решения. Такие методы в настоящее вреыя разработаны, и на их основе созданы сгютвстствующие комплексы стандартных программ. Рассмотрим простейшие варианты наиблллее распространенных методов рмпения жестких систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
