Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 68
Текст из файла (страница 68)
1=1 с 2'(0(0)61 ф" !)(06),. ! р(ль!)(06)6. т 1 6+ в,,6 = е Ц 6' Рассмотрим вопрос о выборе параметров сг, р„б11. Обозначим 'Р(6) = р(я+11) — з(6). Если Як, р) — достаточно гладкая функция своих аргумегпав, то 61(6), ..., Й (6) и 22(1!) — гхидггие функции параметра 6. Предпаг!ожим, по у(х, р) настолько гладкая, чза существуют производные 22'(6),..., 22(г+!1(6), а аь рм 121 выбраны так, жо гр'(0) = ° ° = 22(г)(0) = О. Кроме тога, прага!сложим, что сущесгхует некоторая гладкая функция уе(х, р), для которой соответствующее значение глб~~)(0) ф О. Согласно формуле Тейлора выполняется равенство Глава З.
Чисэенные методы решения зада гн Коши 366 где О < Р < 1. Величина р(й) иазываетсл погрешностью метода на шаге, а с — порццком погрешности метода. При д = 1 имеем уг()г) = у(х + й) — р(х) — ргйХ(х, у), гс(0) =- О, уг'(0) = (р'(х+ й) — ргХ(с, у))(„е = ((х, у)(1 — р,), рл(А) =- у"(: 61); здесь и далее р = р[х). Равенство Рг(0) =- 0 выполняется для вглл шгадкнх функций Х[х, р) лишь в глу гае рг = 1. Этому значению рг соответствунг метод Эйлера. Дпя погрешности этого метода па шаге, согласно (3), получаем выражение р"(х-г-Ой)йт р[)г) = 2 Рассмогрггьг случай д = 2.
Имеем р[й) = у(. + О) — у(х) — рг)гХ[х, у) — р ОХ(хч у), где х = х + озп, р = ггзгггХ(х Р). Вычислим производные функции д(Ь): 1с [1г) =р (т+й) ргХ(х у) 1гэХ(х гг) рг)г(озХ (х Р) г-г-ДгХя(ху 0)Х[х, у)), уг '(й) = ув(х г- й) — 21гз (огХ, (х., у) -~- мозг)с[ай О) Х (х, р))— — ргУг(о„Х, (х, у) + 2ггзРггХш(х 11)Х(х, у) +ХгггХсс(х, Р)(Х(гт р)) ).
ум(й) = ум(х+ 0) — Зря(ог~Х с(зс, р)+ +2пзЯгХ (х, р)Х(х,р)+ЩХтс(х ')[Х(х р)) ) г-О()г). Согласно исходному дифференциальному уравнению у =Х, у = Х -~-ХтХ, р '= Хлг-г-2Х г,Х-~-ХссХ +Хту". Подставим в выражения ег(гг), уг'(гг), рв(й), егш(й) значение й = 0 н вос- пользуемся этими гвотношенияьш; получим р[о) =р — у=о, х~(0) = (1 — рг — рг)Х[х, р), рл[0) = (1 — 2рзсгз)Х,(х, р) р (1 — 2рз(ггг)Хя(х, у)Х(х, р), [О) ум(0) = (1 — Зргог)Хв (х, р) + (2 — Орзг)зг)Х я(х, Р)Х(х, Р) + + (1 — Зрзфг)Хш(х, у)(Х(х, р)) + Хэ(х, р)р" (х).
йбт З 2. Методы Рунге — Кутта Осютношение гг(0) = 0 выполняется при всех /(х, р), если 1-р,-р,—.О; о:ютношение !го(0) = О выполняется, если (10) ! — 2ргог = 0 н ! — 2рг/)г, =- О. й йз'! й! =М(з: Р) йг=!1/(х+. 'и+ /! 2' 2)' 1 !гз = й/(х+ !к р — )с~ + 2йз) !!р = -(1~ + 4йг+ !сз) 6 При д = 4, 6 нельзя построить расчетных формул рассматриваемого вида со значениом з = б; прн д = е = 4 наиболее употрсбительва совокупность расчетных формул: й й>'! / й йг'з !и = 1~/(х, р), й = й/ (х + -, р+ — ~, йз = й/ ~х ~- —, р+ — ), 2' 2/' ' '! 2' 2/' 1 йз = й/(х-~ !й у+йз), 2!р=- — (й! +2йг+2!сз+ !2). 6 Мы исвользовали выше формулировку наиболее улотребительвьша Этв формулировка отражает историчес:кн с ю;кившуюс» тендевшио е использовании численных методов.
Казалось бы, в руководстве по час«сивым меюдю1 следовало яе просто отражать тенденцию, а указать, «акав формула из данного семейства расчетных формул явлнстся наяду овей. Однако ответ на такой аощюс ие прост. У формул одинакового порядка точности по й глзлиьк: чзаны погрешности па шаге часто о«азывакнся яевроворввонааьиыми. Например, вследствие (6), (9) главный член погрешности формулы (6) равен ( — А) й~, где 1 в 1 Я= -/«р", А= — (/ +2/* р +/ (р)г), Таким образом, гг(0) = ~р'(0) = ~дл(0) = 0 при всех /(х, р), если выполнены три указанных выше соотношении (10), (11) относителыю четырех параметров. Задавая произвольно опдн нз параметрон, получим различные методы Рунге-Кутте с погрешностью второго порядка лшлостн по Ь.
Например. прн р! = 1/2 поиучзем рг = 1/2, оз = 1, /Зг! = 1, что соответствует паре расчетных г)юрыул (6). При р~ = О получаем рг = 1, ог = !/2, гзг, = !/2, чэз соотнтствует паре расчетных формул (7). В случае ураввегп1я !/ = р, согласно (9) имеем рУ«(0) = р независимо от значений ры рг, ож /зго Отсюда следует, но нельзя пошровть формулы Рунге — Кутга со звачениями д = 2 и з = 3. В глучве д = 3 расчетных формул, соответствующих значению в = 4, не существует. Наиболее употребигниьна совокупность расчетных фар«гул при 6=в=3: Глава 8. Численные методы рен»ения зашчи Ко«пи а у с)юрмулы (7)— (В + А/2)йэ. Поэтому можно указать два уравнения таких, что для первого уравнения меньшую погрешигюгь данг метод (б), а для второго уравнения — метгд (7).
В п«дойной ситуации рекомендации в ночеву того или другого метода лолжны основываться ва «волевом решения», лрииятом с учетом тра.гнцнй и практики использования методов. Понятие практики вычислительной работы иеляется довольно и«юпрелелевным. Чисяо различных классов реально встрочающихся днфферевциальных уравнений сушественно превосходит число задач, на которых производитш сравнение лмтодов их численного ре. шеиия,поэтому суждения с позиций практики» ие всегда обьективны. Одвако несмотря на тнкую неопределенность, критерий прак«ики часто не сет в себе определенную поло»кит«льпую информацию, которая зачастую на данном этапе развития науки ие »«ожет быть фор»«элнзовэна или обо«кована. Вели исторически первый н«методов рассматриввел«ого класса ока«элса врвемлемым, эо в дальнейшем пользователи привыкакгг к нему.
Зы«ева этого метода на другой, даже более э«фективный метод требует определенных затрат времеви на «привыканне» пользователей к новому л~етолу (а следовательно, и о~Редачеиных психологических затрат). Чтобы широкий круг почшователей согласнлш иа подобную перестройку, иеебходил«о сушестеевн е прыа«уа«егтео нового метала но какой-либо нз характеристик. При дальнейшем рассьютрении для нвс будет сугц«огненно, что погрешность метода на шаге 72()») имеет главный член, а именно справедливо представление вида р(й) = «)»(х, р)6'«л + 0(й'ег). (12) Наметим основные этапы доказан.льстив зжно ссютношення. Предположим, что правая часть и все ее про«юводпые до порядка в+1 вкл«очнтельно ограничены равномерно в области П: ко < х < ле .~-Х, -со < р < сю. Тогда также будут равномерно ограничены производные в«нх решений уравнения до порядка э + 2 вюпочительно.
Согласно формуле Тейлора соотношение (б) можно записать в уточненной форме 2»(*+11(0), «2»('+21(рй») 2 (э + 1)Т (е + 2)) Имеем раиенство ээ(» ы)(0) = р(»ы)(0) — в(» ы) (О). Обе величины р1»+«1(0) и в)*+2)(0) явно выражаютсн через значения в точке (я, р) функции 7 и ее щювзводдых порядка не выше э; примеры таких явных выражений (при э = 2) ьгы уже получали. Збй 23. Методы с контролем погрешности ва шаге Поскольку правая чаоп, дифференцируема е -(- 1 рвз, ю отсюда следует, что функция а)а(х, р) дифференцируема в области С н ее произвццные (ее и ((ав равномерно ограничены в этой области.
Атталогично устанавливается, что величина Еа* (уй) равномерно ограничена при (*-а-2) хе < х < х + А < хо + Х. Таким образом, соотношение (12) имеет мес"иа В 3. Методы с контролем погрешности на шаге Часто в ходе расчетов бывает целесообразно изыенять шаг интегрирования, ковтролиру» величину погрешности ьи.тода на шше. При практической оценке эюй величины можно, например, рассуждать следутотцвм образом. Главный член погрешности иа шато интегрвровапия есть (2(а + а ) (О) б'е а (е+ 1)! Точка (х.(-)а, х()а)) находится близко от ючки (х, у), поэтолау погрешность на гледуюп(ела шите нвтегрирования будет иметь такой же главный член. В ршультате диух шагов будет птшучеио приближение р(а) к значению р(х + 2й) таков, что ад('+ т) (б) йьш р( ) — у(х -(- 2й) — 2 (е Е1)! Еази, исходя из точки (х, р), применил, метод Рунге — Кутта с шагом 2)а, то получится приближевное значение у(2), дли коюрого х(™(б) (2А)"' р(2) — у(х + 2Ь) (е т 1)! р)з этих соотношений вытекает представление главного члена погрешноспт на шаге у(2) уш рн) — р(х (-З ) 2" — 1 При желании можно уточнитт, полученное приближенное знатеиие, при- бавив к нему величину главною члена погрешпоспа, т.е.
положить р(т) ун) р(я+ 2)а) = у(т) т — —, 2* — 1 Ддя более гибкого управления выбором шага интегрироианвя иногда вселательно иметь возможность соиершать шаг интегрирования в оценивать погретппость при меньшем количестве вычисляемых значений правых частей. Глава 8. Численные методы решения задачи Коша 370 Примером совокупности формул с теми же карактеристяками точности при меньшем числе обращений к правой части может служить совокупность формул б й!'У А! = 5/(х, р), йз = Ь/ (х+ —, у -!- — ), 2' 2,)' 5 1 Лз = б/ (х й -, и 4- -(й! + 1г)) .
12 = й/(х + 5, у — 12 + 2йз), 2' 4 25 1 йь = 5/ (х-1- —,, у+ — (71, +10йт+ 12)), 3' 27 (2) Ь 1 йе = б/ (х + —, у + — (286! — 125йз + 546йз + 545! — 375йз)), 5' 625 1 гьр = (к! т 4/сз + 54) 6 с главным членом погрешноств 1!( +5) — (5) = 4-О(й ), 1 — (42/г! + 224йз + 21йя — 162йь — 125йе). 336 Встаю положить у(ее+5) ш з(б)+г, зо получим метод рассматриваемою типа со значением е = 5 и соответственно погрешностью на шаш порядка О(бе) В одной распространенной стандартной програыме управленио шагом интогрировшшя осуществлвтся по методу, близкому к горизонтальной процедуре из 3 3.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
