Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Работа зрительного аппарата и мозга нри отыскании какого-либо предмшз, по-видимому, организована по следующей схеме. Сначала производится беглый осмотр всего поля зрения в крупном масштабе, на основании полученной информации выбирается участок дли дальнейшего просмотра, затем производится просмотр этого участка э крупном ыэсштабе и т.д. Обратим внимание на схспщчво с методами из 3.16 и з 4 данной главы. Прн необходимости развивать исследования попых трудных задач лажное внесение имеет правильнаи организация научных исследований.
Если в основном ясно, в каком направлении нужно развивать исследования, коицегэтрадют научных усилий обычна производится и этом направлении. Если наиболее рациональный' путь к нанесенной цели еще не определился, то часто прибегают к дублированию исглсшоэаний. Несколько независимых организаций ищут р~чпение, кшцлая на своем пути, иногда бнэ постоянного обмена информацией. Хотя на первый взгляд кажется, что взаимный обмен информацией всегда полшен, постсмппый обмен ею может и помешать возникновению и продвижению оригинальных решений проблемы. Существует гипотеза (необщепризнапиая), что сходнылс образом работает мозг при решении какой-либо проблемы: получаемая информация фиксируется не вполне дьтерминироваиныы образом в различных его участках; в то же времи в каждый момент работы над проблемой эта информациз извлекается лишь из локализованного участка мозга.
По аналогии со сказанным вьппе напрашивается гледуюпщй подход к решению задачи оптимизации [а также и любых других задач) в случае, если требуется срочное получение результага. Для решения залы~и поочередно нли независимо используются несколько известных методов решения подобных задач. В обоих случаях, при поочередном или при независимом использовании, элгоРитмы Аю Р = 1,..., 1, Работают циклически; длительность 1 промежутка времени, в течение которого алгоритм Ар работает д-й раз, задается пользователем или определяется в процессе работы. При ноочередном использовании каждый алгоритм начинает минимизапию с приближения, полученного предшествующим алгоритмом.
При независимом использовании кажлый алгоритм начинает минимизацию с приближения, полученного в результате предшествующе- Глана 7. Решение систем нелинейных уравноний Збй го применения данного алгоритма. Таины образом. в этол~ случае алгоритмы рвбсчвгот по принципу «кто быстрееь. Режим независимого использования алгоритьюв является аналогом параллельной работы орпгнизаций при шсутствии взвнмнсхо обмена ии.
формацией. Как аналог реальной организации научных исслгдоввний с обменом информацией в дискретные моыенты времени может рм.сматрнваться следующий режим работы. В начале каждого промежутка времени 7рч алюритм Ар просматривает некоторую совокупность приближений из полученных всеми алгоритмами и выбирает наилучшее приближение исходя гш своих позиций. Например, он может просматривать все приближения последнего цикла или приближении, полученные юпоритмами в концах всех промежутков Г Иногда может принести пользу следующая оршлиэшсия рыюты: после получения алгоритмом Ар приближения, очень хорошего с позиций алгоритма Ам предоставляется время для работы алгоритма А,. Конечна, не следует думать, что пепосредственнсн.
копирование различных реальных систем всегпа позволит наилучшим образом решить рассматриваемую оптимизационную задачу. Подведем общий итог наших рассуждений. Обычно задачи оптимизации функций болыпого чигла переменных очень труппы; при решении новых задач приходится затрачивать много, иногда беспло7шых, усилий, производя пробные просчоты по различным известныы и новым алгорит лгам. Однако при наличии таких благоприятных факторов, как кошвкт с практическими работниками и возможность анализа упрощенных моделей, есть все основания сохранять увереннгх:ть в благоприятном и<ходе попыток решения зада си.
Заметим, что часто для успешного решения задач оптимизации необходиы диалогоный режим работы игследователя с ЭВМ. Не имея перед собой конкретной задачи, невозможно дать рекомендацию, каким методом решения системы нелинейных уршпевий или минимизации функций следует воспользоваться. Как уже ониечалось выше, велика воэможность столкнуться с ситуацией, когда область сходимостгг мешода (множество значений нулевого приближения, при которых метод сходитгя) очень мала. Опыт решени» подобных задач показывает, что в первую очгргщь стоит попробовать применить методы, имеющие естественную наглядную интерпретацию, например метод установления, или метсды, иь!итирующие действие человека или животного в подобной ситуации.
Для выбора начального приближения надо также привлечь естественные наглядные соображения, имитирующие такие действии. На таком пути часто удаетсЯ довольно быстро построить алгоритм, позволяющий решить задачу. При однократном решении простых задач иногда проще всего применить простейший итерационный метод, например Ньютона, с выдачей на экран хода итерационного щюцесса. Зв,лаваясь различными начвль- збй 5 б. Как опгимиэнроэатьу дыми приближениями, часта удается довольно быстра угадать начальное приближение, лежащее в области схсдимости метода. Прн решении систем уравнений или задач минимизации, возникающих при аппроксимации краевых задач для дифференциальных уравнений, полезно воспользоваться близостью (в соответствующих нормах) решений таких дискретных задач, соответствующих различным шшвм сетки.
Решение на крупной сетке является хорошим приближением для решения задачи, соответствующей более мелкой сетке. В то ж< время каждый шаг итерации на кРупной сетке менее трудоемок, н с теми же затратами можно провести большее число шагов итерации, начиная с одного или со многих начальных приближений. диким образам, в этом сэучае имеет смысл решать задачу на посв<щавательпостн сеток, т.е, последовательно реп<ать несколько систем алпсбраических уравнений (порядок сна<ямы т, возрастает; т ле< > ш ). Прн этом ре<нение у-й системы Х, используется для получения начального приближения Х. к решению о (7 -1- 1)-й системы.
Так как векторы Х, и Х; имеэгг, вообще говоря, решличяую разо мерность, то для перахода от Х. к Х", обычно использунп интерполяцию мвогочлеиами или <.плайнамн. Аналогичный подход применим н к другим дискретным задачам, в<иникаю<цнм прн аппроксимации задач, связанных с отысканием функций непрерывного аргумент<.
В ряде случаев, например цри планировании, требуппя многократно ре<пать однотипные задачи, причем в режиме реального времени, т.е. Р<п<ение зады<и должно получаться с очень малым отставанием от изменения входных данных задачи. В этом случае для ускорелия сходимосги следует испш<ылавать все л<ногообрвзие описанных нами методов. Литература 1.
Васэльеэ Ф. П. л1псленпые методы решенвя экстремальных задач. — Мс Наука, 1980. 2. Вагвльы Ф.П. Мем;ды ре<пения экстре<альных зэ,дач. — Мс Наука, 1981. 3. Кармавоэ В.Г. Математическое про<пал<мврованяе.. Мс Наука, 1985. 4. Крылов В. И., Бобков В. В., Монэстмрный П. И.
Начала чеорнн вычнслв<пэьных методов. Линейная юпебра н нелинейные уравнения. — Мингк: Наука н техника, 1982. 5. Ннлеров 1О.Е. Эффективные л<егоды в нелинейном праграл<инрованнн.— М.: Равно н <вязь, 1989. Ортпи Д., Рейяболдг В. Итерационные пешвы ревклия систем уравнений со многими нглзвесгнымн.
— Мс Мнр, 1975. Глава 6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля зэдач, интегрируемых в явном виде, здесь <ущытвевно меньше. Когда говорят об интегрируемосги в явном виде, нме<от н виду, что решение может быть вычислено при помоще конечного чиж<а .ю<еь<снтарных» операций: гложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисления синуса н косинуса и т.п. Уже в период, предп<ествонавший появлению ЭВМ, понятия «элементарной» операции прнгерпели изменение. Решения некоторых частных задач настолько часто ветре ипогся в приложениях, что пришлось составить таблицы их значений, в частности тэблицы интегралов Френю<я, функций Бессели и ряда других, так называемых специальны:< <бщ<»лйпй.
При наличии таких таблиц исчезает принципиальная разница межлу вычислением функций мпя, Ь«г, ... и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функпии можно вычислять, приближая их л<ногочленами, рациональными дробями и т.д. Таким образом, в класс задач, интегрируемых в явном виде, включились задачи, решения которых выражаются через специальные функции.
Однако и этот, более широкий, класс состввляет относительно малую долю задач, предьявляемых к решению. Су<цественное расширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а гледовательво, и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов в активным повсеместным использованием ЭВМ. В настоящее время затраты человеческого труда при решении на ЭВМ задачи Коши для обыкновенных дифференниальных уравнений сравнимм с затратами на то, чтобы просто переписать заново формулировку этой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
