Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Зшвосггся мерами погрешности на шаге се и с! < са в некоторьв! параметром ЛХ > 0 порядка р. Обычно е!/се > 2 1, где 1 — порю!ок величины г по 1!; часто берут с,/сс = 2 — ! Ес!зи с/а,(1!) = (!'(/шах(М, )в„)) > ее, то в!аг признается слнн!ком бсвп и!им и делзвгся попытка ингегрвровэпия, начиная с тех же значений (хя, й„), с вдвое болев мелким п!агом (5/2).
Вели р„(1!) < ц!, то достигнузвя точность признается удовлотворитсльной. В глучас, ко!да ь! < ф! [5) < гв, следующий шаг берется равным 5, а в случае, когда 1гя(5) < гг, — Равным 21ь Такай относительно пРостой способ выбора переыевного шага иятегриравания часто позволяет решить задачу существенно меньшими затратами времени ЭВМ по сравнешпо со случаем ннтшрированвя с постоянным шагом (при той же точности р!вультата).
зр1 л4. Оценки погрешности одношаговых иетслав З 4. Оценки погрешности одношаговых методов рассллотрим лшожество всевозможных методов ивтигриравании, где поаедоватгльна получаютсн приблвжевин р к значанины р(.г, ), ге < х, < ... < хл = хе-1-Х. Пусть в процессе чигленнщо интегрировании й фикси„ежано и при у > Р значении у, опредгликггсв как значения некоюрого функционала Рл = Ф(У' ху хл — л; Рл-и ". Ры.л). (1) Такой способ числелшоло ингегрировании называлат Й-шагооилл.
Все построенные выше способы интегрирована» иыеют сллулуюлцли общее свойство: приближенное значение решении в следующей точке опроделнлось только в зависиыости от значения решгння в предыдущей точке, следовллтльно, расчетныа форл~улы, соагветлгл~ующлле этим спосабаы, продстввиыы в виде (1) со значениеы Р =- 1. Такие мпюды ллазываазтся одноилаеоелиии. Рассмотрим специалыпей способ получения оценки погрецшастн, приыениыый лишь к одношаговым илиадам.
Запишем формулу. (1) а виде (2) у лл = Ф(( х.,е: +л — г,р ). П<>лучаеллые в процессе реальных вычиглений приближена» к значенивлл у(х ) связаны не соотношениями (2), а некоюрыын соотношениями Рыл Ф(Лхз ххы эб Ру) 1 31+л- (3) Наличие слагаеллого йэ, л обусловлено следующиыи причинами: 1) округлением чисел при вычислениях; 2] ллагрешнослнлли в значениих правой части ((х,р); эти пагрешиостн вьвваньл талл, что рассыатриваеыая нами фувкции 1(х,у) явлиотсн нл. хитрым приближением к правой части реального диффаренциальнаго уравнении; кроме того, зачытула в процессе вычислении значений 1(х, р) в ЭВМ ээа функция приближается другими функцнлыи, что вносит дополнительныа погрошпости прн вычиеленних значений правой части; 3) в накаторых случаях зно юлие р лл определяется нз уравнении, эквивалантного (1), но пе разрешенного в явном виде относительно пореиенной р .лы тогда величина 6 „л содержит составляющую, являющуюся пшдствием приближенного решении зюга уравнения.
Хоти погрешаость Юлю вызвана не толька округлением, ое часто назЫвают вичислительной погрешностью но лаосе. Точно так же начальное угловие ро отлллчается от значении стыскиваэыаго решения задачи р(ха) из-за погрешности в определении исходных ванных и округлений. Пусть у(х) — искомое решение дифферелщиального УРавиенин, а Р (х) — Решении, УДовлетвоРалашие Услоаинм Рл(хл) =- Ру (Рис. 8.41) Глава 8. Численные метены решения задачи 11огви 322 Рис.
8.4.! Логрешвссть К, = уа(хл) — у(ха) можно представить в виде Л = у (х ) — ио(х ) + уо(*-) — у(хл) = = ,),(уг(х ) — уг- (* )) + (ус(х. ) — у(х )). Разность Решений дифференциального уравнения в одной точке может быть выражена через вк разносит в другой точке еле~ уюшдм путем. Лвмма. Пушпь уг(х) и уг(х) — решения Ьфференциольного уравнение р = ((х, р), где 1"(гцр) — непрермвнаг и непрерывно дифференцируе.иол по переженгюй у фрнкцил. Тогда гз()з) Ъ'1()з) 11Уг(о) Уз(о)) екр фг(х У(х)) дх) ьг где у(х) заключено меокдр Уз(х) и Уг(х).
Доказоглальстаео. Вычтем друг из друга Равенства Уз = 1(х,рз), 11 = у(х Уг). г 4. Оценки погрешности одношаговых мен1дов Оогласна формуле Лагранжа разность Т(26 Уз) — Т(х, У1) может быть пред- ставлена в вцце уг(х,у)(У2 — Уг), где у ззю1ючсла между У1 и Уг. В ре- зультате получится линейное дифференциальное уравнение относительна Уг — Ур (Уг У1) зг(т Р)02 У1). (з) функция Т(х, Уз(1г)) — Т(х, У1 (х)) Х,(т,у(х)) = уг (г) — У1 ( .) иепрерывпа, поскольку числитель и зааменаталь--непрерывные функции, а знюгенатель отличен от нуля. из (б) следует утверждение леммы.
Пусть а = 22 12 = та, У1(х) = уз 1(г), Уз(т) = у1(т); тгвщз вследствие леммы Рз(гл ) Р1 — 1(хв) = (рз(тз) — рз 1(хз)) ехр ~ (2 Тг(т, рз(г)) г(х~), где у (т) заключена мгжлу Р12 1(2:) н уз(х). Точно так же рр(та) — р(ха) = (ув(тг) — р(хо)) ехр ~/ Ях, уо(т)) д1г) . Теперь равенство (4) можно записшь в виде Г 1г, г г ° В„= ) и ехр ~/ Дг(х, р(т))г(т) + Воехр ~ / Тг(т, ро(х))дх~, (6) 2=1 г. тг где и, = р (тз) — р — 1(212), у = 1,. Из (3) выгеквет соотношение а~з = р,(гт) — Рз-1(тз) = рг+ бг, Р =Ф((,х г,г.— х 1,Р2 1) — У 1(х).
Где )рг) < С1(хз — хз 1)~~~. (7) Посмотрим, какой смысл имеет величина 2121 Ф((, х2 1, гг — 22.1, Рз — 1) югь число, получаемое в результате вычислевий по расчетной формуле 2), Уз 1(хз) — звачение в тапсе хз точнага РешениЯ диффеРенциального сравнения, удавлетвориюгцего условию рг 1(хг 1) = уз 1. Таким образом, 22 есть погрешность одного шага рассматриваемого лгетода, если вычи:лепия ню1инаются с точки (х .
1, у 1) и производится без округлений, 1 шаг равен (тг — хг 1). Величина р пгзываетск погрешностью ыгшода Ю шаге. Предположим, что при всех у, соответствующих рассматриваемому оти:зку интегрирования хо < хз < то 4- Х, выполняетси неравенство Глава 8. Чыглаггыме метали реп!ения задачи Каше Пусть Л = впр (Ль( < ао гг .< г-Л' Н = плах (гьь — г! ь). э<!<в Загрубляя (7), имеем (р ( < СьН'(х — т, ь].
При хе < хг < хв < хьь + Х справедливы неравенства (б) ехр ~ / уэ(х, !]ь(х)) г]х~ < ех!ь(Л(ьс — х,)) < ггхр (ЬХ). Воспользггвавпьвсь этпыи неравенствами Лля оценки правой чалки (6), по- лучнм (Лв( < ехр ( ЛХ) ~ ((р ( -!- (Ьь() -!- (Ло( Применим теперь к предылущему яеравелству оценку (8], получиль (Л„( < охр(ЛХ) 'У (СгНь(хг — хь !)+(Ьг()+(Ло( < ,г=.! (О) < схр(ЕХ)(СьН'(хв — ьге) -~- пб -!- (Ле() < < р(ЬХ)(С! ХН'+ Л ь! -!-(Ле(); ЕХр ~ ( ДЭ(ХЭ р(Х)) Г(Х~ < ЕХр( — Ь(ть — ХЬ)) < Екр ( — Ь(П вЂ” у)Ь). ЗДЕСЬ 6 = ШаХ(ЬЬ(. ИЗ ЭТОГО Саетващеияя ГЛЕЛувг; ГГО ШаХ )Лв) — Ь О г <о«.
„. лг-х при Н вЂ” ь О. ещш олиавремовна Лб -ь О. (Лс( — ь О. Таким образом, при дасштачпо молколг шшс ии'пьгрировэвиь! и малой вычислительной погрешности приближенное рошснпе, получаемое прп употреблении метала Рунге — Кутта, близко к точному решен!по. Часю решение дифференциального уравиеяня глыскивается на бсльпюм промежутке. Тогда в палучеьпьые оценки погреьппости входи как множитель очень большое чишю ехр (ЛХ). При ЛХ болыпом может оказаться.
чта достижение нужной точности требует столь мелких шагов и сжьль мазай величины вычислнюлыгой погрепшости на шага, чта всаользованне рассматриваемого лггтозш буде< нецелесообразно. Повтому характеристика метоцов па признаку — сходьггся ли приближенное решение к точному при измельчении шапл в при достаточно бьнжром умщььшевни вычискительной погрешности нли ве сходится — явлжтся еще пгпасгатгь'!- ной. Ее!и Тв(х, д) < — Ь < О, то в оценке (9) можно избавиться ат множителя, резка растущего с увеличением Х. Рассмотрим случай постоянного шага хь — х г = Ьь Тогда Зуб ( 1. Оцкики погрешности олвошвговых мшолов Пусть )ыз~ < С~1йгг + Ь. Оценивая ори~ую часть (б), получаем )11„) < У (С~1ре' -~- Ь)схр ( — Ь(п — 1)Ь) + )Но/ехр ( - Ьпй).
(10) Имеем 1 ехр(-Ь(п — 1)Ь) < ) ехр( — Ьйй) = 1 — схр ( — Ьй) з=! л.=е узким обрвзолс, получаем окончательную огвч~ку ногрепшостн Ссй'' -'; 6 (Л„(< — ' ' ' — Ь(Д.)ехр( Ьпй). 1 — ехр (-ЬЬ) Поскольку 1 — охр( — Ьй) (Ь(Ь, то верна более прогнив по виду опенка (Ие(<сз(1В-ьб)1)+~11е) р( — 1 Ь). (12) Форышзьно вта оценка не зависит ог длины промехсутка интегрирования Х, однако длина промежутка иятогрнронания можш неявно влиять на значение ковффициента Сз чеухч оценки производных. Наличие о~санки (11), но ухудгпающейся с увсличеннем промежуч ка интсгрнровшпш, позволяег использовать такие методы дпя отыскания, например, устойчивых рснюпий Лифферевциальвых уравнсвий пуши успшовлення.
Пачинаем чшлсннос интегрирование с произнольных начальных данных и с тсчсннгм времени выходим на усгпзйчпвог решение. Этот прием часто употребяясп:я при отыскании устойчивых щн. дельных циклов систем обыкновопгпях лиффсревцивльных урашиний. В свггзи с оолучешюй оценкой (12) н возможностях~ получения апалогичной оценки Лля случая численного решения задачи Коши Ллв сисшм лифференцнвльных уравнений с быстро сближающимися решениями одвошаговые лсетоды находят широкое прилшпепис в вычислительной п1жктикс. В то все время могоцы, для которых в подобной ситуации погрешность расгст неограниченно, практически игчезли из употреблснвя.
Замьтихс гго в сл1чае уч ) Ь) О в сгюгвеппгвни с Угве~»кценисш леммы ре!пения расхсдяття с вкспонсящиавыкзй скоростью, и п<етоыу погрешгюсть любого мщора должва яоогрансшшшо расти при х„-г оо. Другим достоинством одношаговых мегодов является улобсгво изменения шщв интегрирования и опнспивность вычислений во всех расчшт~ых точках (у конкурируюцсих с ними испщов Адалка изменение шшв интегрирования н начало вычислений производимся с полющью некоторых специальных формул, которые мы не рассматриваем нз-за их громоздкости).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
