Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Прв разработке стандартной программы выгнслевия интегралов Френел» проводились следующие эксперименты. Каидая из стандартных программ применялась для приближения рассмагршюемой функции на некотором отрезке прн всех т, п в пренелах ) < т-~-и < 12. Оказалось, что не менее чем в 3 случаях ич 90 ваэяожных каждая программа выдавала ответ, что она не можит решить Люсматриваемую задачу. у некгггорых программ доля таких отказов преккходила половину выданных ответов.
В то же время во всех этих про- Глава 7. Решение систем нелинейных уравнений Рис. 7.6.2 Рнс. 7.6.1 граммах используюття а»поритмы, для которых доказаны теоремы о сходимости при достаточно хорошем начальном приближопии. Чтобы не юздвлось впечатлении волной безнцчежношп решения сколько-нибудь сложных задач оптимизации, рагхмотрим тот же вопрос. с оптимистической точки зрения. С этих позиций приведенные вьгп~е доводы о сложногтв минимизации многочленов можно рассматривать как малоубедительные — ведь ' на самом деле нам никогда не потребуется минимизировать произвольный мноючлен.
Существует мнение, что задачи минимизации функций с очень сложной структурой линий уровня ветре ~жется довольно редко. Рассмотрим пример задачи, где сам факт необходимости гг решения может быть поставлен под сомнение. Неудачи при попытках получения хоро~нею начальною приближения могут быть вызваны следующей особенностью поведения ржгматриваемой функции. Точка минимума находится в очень узкой «яме» вЂ” прн удалении от нее во всех направлениях функция резко возрастает, а потом начинает убывать (рис.
7.6.1). Пргдположньц что точка минимума находится путем продвижения в направлении, противоположном градиепту Аункцни Ф(э:), иначе численным интегрирование»~ системы ~(х — ' -1- йгш1 1~(в) = О. о1 Тогда множество начальных условий, исходя из которых мы будам приходить в точку минимума, находится в в»большой окрестности этой точки. Можно юворить, что при рассмотрении окрестности точки минимума в микроскопическом масштабе эта точка оказывэвтгя точкой притяжении решения системы (2); при рассмотрении в более крупном масштабе онэ уже оказывается точкой отталкивания (рис.
7.6.2). Точна такой же характер поведения гшсведовательных приближений к точке минимума будет и у других итерационных методов. В 6. Как оптимизировать? Если «яма«, где находится точка минимума, очень узкая, то ино>да и ле стоит иска"гь эту точку минимума. В самом деле, пусть, например, параметры х, отвечают некоторой реальной работающей систоме управления. В рабо">е атой системы неизбежны некоторые сбои, т.е. изменения этих параыетров. Егли точка мини«гума функции Ф нахсдитгл в такой узкой «ялю, то ь>алые сбои могут существенно испортить характеристики работы системы.
В сиате вып>естлзанвого выбор точки экстремума в случае, изображенном иа рис. 1.6.3, требует дополнительного изучения. Некоторые исследователи, обладающие большим опьппм решения практических задач оптимизации, утэержда>от, что подобные цюювые функции с узкими «ямами» возникая>г обычно в случаях, когда магематическая модель рассматриваемом> налепив построена неудачно. Более существенныс причины для оптимизма состоят в <лцлующем. Во многих случаях создание математической модели и се оптимизация зашстую имеют целью улучшение Работы уже существу>ошей си«те«>ь>. В этих «лучаях параметры реальной системы часто явлюш«л хорошим приближениел> для дальнейшей оптимизации.
При разработке новой систел>ы типична следу>ощая линия поведения. Сначала строится и оптимизирует«в простейшая модель, учитывающая важнейшие факторы. Затем модель погюпенно усложняется за счет учета все новых и новых факторов. Зйким образом, поглгдоват«льне еозникыот задачи минимизации функций вге болыпего числа параметров. При удачном построении вспомогателы|ых моделей решение каждой из этих задач оптимизации обычно оютзываепя хорошим начальным приближением для слвлующей но сложности зэ>сачи. Это обстоятельство часто используется слодув>щим образо>с Пусть пеРед нами стоит задача минимизации функции болывого чн«ла параметров я,,..., х„.
Построим функцию меньшего числа параметров Х>,...,Х,„, т < п, приближыощую рассматриваемую функци>о, иначе . упрощеннуго модель с определ>пощимн параметрами Х>,...,Х„,. Произведем оптимизацию этой функции (модели) и на основе ее решения сконслрунруем начальное приближение. Иногда оказывается полезным произвестн несколько шагов таком> упрощения функции (модели) и введения новых параметров. Оптимизация функций (моделей) меныиего числа параметров оказывается бовее легкой по гледующим двум причинам: становится проще структура линий уровня минимизируемой функции; вычисление каждого значения функции обычно требует меньшего обьема вычислений.
При построении упрощенных моделей в первую очередь следует учитыввгь наиболее еаэюиме пара«ю>ар««задачи. Збб Глана 7. Решение <метем нелинейных уравнений с?та такое важность факторов или параметров? Можно говорить, что важнымк параметрами являютсв те, от которых функцив сильно зависит. На языке математики это означает, что производные функции по этим параметрам относительно велики.
Второстепенными параметрами явлшотся те, от которых рассматриваемая функция зависит слабо, т.е. произвсдные по которым малы. Формально важность параметров можно определить, оценивая произвоц«щ«е рассматриваемой функции. Однако для сложных звдач такая оценка и особенно математически обоснован. ный выбор новых параметрои ХБ...,Х„. весьма трудоемки. Характеристика параметров по более наглядному критерию их важности--дищ в<мможность руководителю произи<д<ггвевной системы подсказать маты матику первоочеред««ость выГира параметрон. Иногда приемлемый л<етоц оптимизации нли способ отыскания хороп«его «щчальиого приближения можно получить, изучая принципы, кото.
рыми руководствуются в своей работе опытный практический работник нли руководигел«ь или приемы их работы. На одном иовом заводе лс'псе в1хыя и< удавалось наладить ри«вечное производство из-за педо<таточного опы«в работы операторов, Попытки ссзлвння модели провчвои<твениого щюц<сса, лостаточно то «ной, во в то жг вр< мя пщ<- лвющейщ а««авнзу срглствами математш<н с помшцыа ЭВМ, не прныщили к успеху. В конце концов пришлось временно огкезаться о«рвзрвсютки математичщкой модели и пойти по сзщ«ую«и< «<у путв аетоматнзацнв н оптимизации щюизволсгва. В память ЭВЫ были залп<хны режимы рвГюты лучших оператора«вв рох<твенпь«х пргцпрнятнях.
Далее, в зависим<или с<г нммощихся на данный момент условий, машина выбирала режим работы, наиболее близкий к режиму работы одного к«лучших опера«оров. Такое мероприятие позволило устранить возникшие трудности. В другой аналогичной ситуации руковащтво пр<дпркятвем не пошло по такому нуги. Оно настойчиво тр<Говало от математичегкой группы разработки уннверсальноп«ащоритма, который по заданным внешним характеристикам коногрувруемого прибора вылавал бы опгнмвлы<ый набор внутренних парами««юв прибора: ««аспщ«ожс««не н размеры деталей конструкции, вгс и т. и. Прг<лыввшиегл математиками алгоритмы оптимизм«нн не окэзыввлнгь увнвсрглльнымн н в болыпнвстве слу «ае» не приводили к приемлемому решенн«о.
Математики прехломилн ноцхсд к решени«о задачи, нмнтиру«оший реальну«о ситуацию. Конструктор ъздает компоновку двш«ей прибора. Ком«напор обсчитывает внешние характеристики прибора н выдает их коногруктору. На основании полученной информации коиструк«ор вносит изменения е компоновку. Такой диалоговый рел<им работы позволил бы отказаться от дорогоспиш<е~о рещ«ьно«о конструирования прибора и его испьпавнй. Руководство прелпрнятив отказалось от такого пслхола к решению проблемы и потратило много времени на бщ:плсдные поиски . более квэлнфицнровапныхь математиков, способных предложить .
уннеерглльныйь безливлоговый алгоритм ре«пения казавшейся ему стОль просп«й азам<в. Большие материальные затраты и потеря темпов в разработка новой техники в ноице концов привели к понима- 367 16. Как оптимизировать? иию того, по предлагавшийся математиками путь решения задачи на данном этапе понимания проблемы был с;лшштэенио эаэможиым.
Конструкторы приобрелп опыт в таком режиме рабогы. Математикам, эиалнзиру» диалог конструкторов с ЭВМ, удалось понять принципы, которыми конструкторы руковсдсгэуются при компоновке дешлен, и заложив этн принципы в основу алгоритма решения задачи, саэдать бечдиаэогоеый, чисэо машиииыйь алгоритм оптимизации «опсгрукции. Способы нахождения начального приближения и сэма итерационные методы часто имегот аналогию с какими-то реальными процессами и в других явлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
