Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Глава 8. Численные методы решения задачи Коши З 5. Конечно-разностные методы Среди й-пгаговых методов наиболее унсгрсбительны методы ивтегряро. ванна на сетке с постоашгым шагом тт — х., = Ь = совал пРи помогли соотношений «цгШ л ),,Р„, — и.'~, т,: „*, Р.—,) = О, 1Де а, — посгоанные, Е! — некотоРые фУнкЦии, опРеДелиел!ые фУпкЦиеб ((х, у). В сво!о очередь, среди таких методов традиционно наиболее упо. трсбительвы методы 1 л 2 а,у„, — Ь) Ь „(,(!гл „у„,) = О, (2) которые принято называть ям!очно-ран!ого!ил!м!г методами, илн коне !норозношаними гхсмами.
Б вычиш!ительной практике примошнотся формулы (1), (2) со звачениями ао зе О, Ьо = Π— ление, или:шсвдпполлциенние, и формулы с ао х О, Ьо ф Π— нелоныг., илн интер!шллциониме. гуормулы (1), (2) при ао = О, Ьо к О, называемые !берл!узами с забегинием вперед, рассматриваться пе будуц поскольку они не нашли распространения в вычислизельной практике из-за сложности использования. Тел! ие менсч нх следует принимать во внныанио при пров!Шепни теореп!ческих рассмотрений, так как оии расширюот класс используемых конечно-разностиых схел!. В лалы!ейн!ел! предполагаеп:я, по ао ф- О.
При Ьо ф О уравнение (2) можно записать в виде Ь„ у„= !д„(уо), уы(уа) .= А„-!- Ь вЂ” г(зль у„). оо Здесь А„=а 1 — ) а гу„,+Ь) Ь !((х„и у„,) =1 =.1 не зависит от угг Будем решать зто уравнение методом простой иге. рации: у'" = р (!у,'.). Поскольку [4(у) = !л Х (х„, Р), то при достаточно малых 6 вьшслнено Ьо ао условие сжимаемости отображения О!„(Р) и поэтому итерационный про.
цесс сходится. Начальное приближение ~/~ определяе и:я из како!1-либо явной формулы Еа1гу„г — ЬУ Ь!,лх иу„!)=О, а!ФО. =о =о 33 Конечно-ревностные мевщы Х('.) 4 = ь',л ь гХ(- ь) +; ш > о, -рл =О (3] ще г — остаточный член, порожчввг ссютветствующую форл1улу числен- ного интегрирования обыкновенных /згг)~ферендиальных уравненвй. Дей- ствгггельно, псдсгввлгги в (3) оюгношение Х(х) =- й'(х„-!-з), имеем а Х(х) с/х = у(хь) — у(х„р) = Ь ~ Ь;р (хь,) -~- г.
— рл =е Заменяя //(х) на Х(х, й(х)) и отбрасывая щ получим р(х„) — р(хв р) =Ь2 Ь /Х(хь „р(х„,)). (4) к=.е Соответствующая конечно.ревностная схема запишется следу~ощиьг образам; /л, - р„„- Ь ); Ь,Х(х„а у,. !) = О. ые Например, формуле трапеций Х(х) <1х = — (Х(0) 4 Х( — Ь)) Г -л охггветствуег интерполяцвонвая формула Ь Р* — й -г = -(Х -~ Хь- ), 2 формуле Симпсона е Ь Х(х) г/х ж — (Х(0)+ 4Х( — Ь) -~- Х( — 2Ь)) - -гл !а -ннтерлаляционнал формула у — у г = -(Хв+4Х вЂ” / +Х вЂ” г)' зпыь Х 3 Х(хм рр~). Квцлратурной формуле пряыоугольннков, записанной в виде у.
о Х(х)с/х = 2/аХ(х), — гл Число итераций на шаге определяется из разумного соотношения ме. ягцу трудоемкостью итераций и точностью полу ~аемых в процессе итецнй приближений гак же, как и случае формулы (2.4), являющейсв -рным случаем формулы (2). драстейгпне методы типа (2) пси|учаютсв ва основе кввдратурных формул. Всякая квацратурггая формула Глава 8.
«!нслевиы» методы решения задачи Коши 378 с«ютветствует экстраполшгионная формула йь — у э=-26|в ь Если остаточный член квадратуры (3) оценивается те!ни В(д] п«ах (((е)(т)(Ит', то погрешность равенства (4) будет оцениваться через В(д) шах)«р(чы)(х)(!«ть В настоящее время из конечно-раэносгпых ме«онов, как правило, употребляются на практике юлько мез«щы, соответствующие р = 1; их называют методами Адамса, Другие известные методы вида (2) пе выдержали ислышния на ирак- тике по следующим причинам: 1) отсутствует сходимо«-гь нри уменьшении шша (в пр«цн«шожеиив гл« сутствия вь«чиштитель««ой погревшости) даже щш бесконечно ди«)зфе1«епцируемых правых частей Г(х, р); 2) при наличии «ходимости прои«ходит экспоноициалыпяй рост (с ув« личением Х) погрепшости в ра««:мотренном в прсдыдущсь~ параграфе случае, когда (э < -6 < О; 3) для некоторых схем нрн р > 1 возникают дополни гельнью (по сравнолню со случаем р = 1) неудобства прн иэл«еленин ша«а инттгрировани«ь Яеимг д1орм!!лн Адамса вбышю залисываются в вщ!о Рь — Рь, =-й~ 7;д«'(а =:с а ислаимс-в виде р — и -! =«) 7*1"*Х =-е здесь, как и в 3 2.10 д У;, =''),(-1)!С„',(„.
!. «=а КозффиЦиепты уо 'У, вычислаю«та по фоРл~Улам 7! ~ 4)( (! — 1) <~и, 7е = 1, е ь=« 7,=7,— Уг «=-! — ~~(! — — !«)н пРи «>О. Зццача 1. Показать, ыо сопв! сопя! 7« ., 7' . При «! «ю 1и« ' «1и« 979 э б. Метод неопределенных коэффнпвентов Е 6.
Метод неопределенных коэффициентов Для построения фермул численного интегрированы» ыожно также использовать метод неопраделегпгых коэффициентов. Заменил~ прои»волну»о г«(х ) и значение «(х», у(х»)) нокохорыми выражопнямн а,у(х, .) (1) Ь то л «( "у(хь)) ю'Я'Ь-.«(х.— му(»-)) =с (2) (предпалагнегся, что а, и Ь; не завис»т от Ь). Отсюда получаем при- ближенное равенство Е" "'„'" ' =Š— «('.-м у(х — )) ,==о ыо Ему соответствуег конечно-разноствая схема 6 .=е =И (4) Величина ы Е 'У(*" ') - ЕЬ-'«(хэ- у(.а- )) .=ь =а называется гюгреи~ностью аплрохтыил1ии исхойгюэа дш«хдсренг1аалььюго уравнении <хе»гол (4). Онределение. Разнастнал схема аппраксимирует дифференциальную на отрезке [хо, хэ + Х), если пжх [г„) -+ О при Ь -+ О.
ь«* *э+Х Вспоминая, что «(х„— и у(х» .,)) =у'(х„.,) и х», = х» — 119 получим х а,у(х„— тй) г» =~ — — 2 Ь гу(.'㻠— гЬ). Ь =о =е Обычно методы Адамса иснользук1тся по следующей схеме. Сначала вычисляется нулевое приближение по явной формуле Адамса. н затем производятся 1 — 2 итерации на основе неявной формулы (с теы же значением т). Глава 8.
«1иглеяиые методы решения задачи Коши Предположим, что все производные решения до порядка д ограничены: )р(")(я)) < Мг < со при яе < х < ке + Х, р = О,..., д. Представим все величнпьг у(х„— гб) и р'(хь — гй) с помощью г)юрмулы Тейлора сведующим образом: г — г р(те - 16) = КО1Г'(во) —,— П '-~ Еш р1 ( — гб)г р'(я. — ьб) = )„р')(яе) — — + у.', (р- 1)1 где согласко оценке оошгочного члена ряда Тейлора имшм )Р') < М(ВТ'/41, ~1,*,) < 61,(Л)г '/(4 — 1)1.
гп = ео1г о(кп) .1. егу (хп)+ ''+ ее —,лг Р г ~(ко) +еп; (5) здесь Ео=) а,, г=-о ь . а о,( — г)г 6,( — «)" Е,=~ -=* — -) =*, р>О, р1 (р — 1)1 Ь ,=е =о (6) (Ц < Р,М,бг-', гд г .г — г Р,ы) );( — ',+) (6 г( Как правило, производя более аккуратную оценку, можно уменьшать ~начение Рг в оценке (е„(. Если Ее — — ° = Е, = О, то е„= 0(й ) и "оворят, что схема (4) имеет т-й порядок оггпроксгояог1оо. Всякая схема и-го порядка аппроксимации является схемой д-го по1щдка аппрокг;имацги при д < т.
Если Ео = ° ° = Е = О, а Е,„ег р О, то гож>рят, что чорлдок оппргжспжацоо строго ровен ш. Подставим выражения р(г, — тй) и 1У(х„— гб) в правую часть предста- вления гп и соберем козффицпенты при д1")(ха). Получим Зйу Ь б. Метол вьопсжделеяссых коэффсюиевтов Согласно (1), (2) для любой гладкой р(х) имеем соотнопсения а,у(х — ей) 1!т ): б ь((х — ьИ, у(х — гИ)) = 7(х, у(х)).
с — се г=.о Лемма. Соопсношенпл (7) омпоакепи тогда п псолько тогсЬ, когда Ее = Е = О, Ь + ° + б .г =- 1. дохагатеаьстео. Согласно формуле Тейлора имеем у(х — гб) = р(х) — еру'(х)-1- О(Иг), 7 (х — гб, р(х — ей)) = 7(х, р(х)) + О(И). Полставлгш зги соотношения для левых частей в (7), получилс -((Š—; —.с с) 6-.с-*сгсс и сс)-.с > сс 'с=О '=е 1ьс((Еь,)с., с*г ~свисс)-сс., сгг. Для справедливости этих пения условий А соотношений гсеабхсдимо и гсостаточссо выпал- 2 аг= =о =о Уравнения Ео = = Е = О образусог однородную систему линейных элгебраических уравнений отвосительпо 2Ь+ 2 неизвестных. Если числсс неизвестных болыпе числа уравнений, т.е. 21+2 > т-1-1 (или, что то же Шмое, 2Й > ги), то зта система иьсеег ненулевое решение. Можно покагап,, что при 2И = гп зза система имеет однопараметрическое семейство ненулевых регпений а г=са „., Ь,=сЬ е о о г оуичем ы = г Ь г 1Е О.
ВыбиРаЯ с = ы с, полУчим РазностнУю схемУ ч о Й-ю поркпка аппроксимации. Иногда возникает необходимость поссуюить геную схему (Ье = О). Решая систему уравнений !се = О, Ео = Левая чжть первого из этих равенств равна Ео, разность левых частей второго и третьего равна Е,. Отсюда следует справедливость утверждения леммы. Глава 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
