Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 74
Текст из файла (страница 74)
1. Пусть уже найдено приближение у„к значению у(т„) и и я приближение к значению у(т„лл), я„эл — х„=- Н. Разложим правую часть Р(т, у) в ряд Тейлора в точке (хио у„) Г(я, у) — Г(ти, у„) Ч-,и' (г. — яа) + гэ(х„, у(я„)) (у — уа) й ° . (7) ог(ти, уа) В прикладных залачах, юлк правило, возникают такие жесткие системы, что Г(х, у) не зависит от т илв меняется относительно медленно с нэмеиеггэем ж В этом случае главными членами в правой части являютсэ первый и третий. За у„ьл примем значение в точке х„.лл решения системы и' = л(к, у„) + уя (кэ, у(э:э)) (в — у„) при начальном угловии и(ха) = уа. Произведем глелующуло чаьюну глере- меипых Я(т) — Уи = п(з), х — т.„= т и нведелг обозначениа У(яэ, уи) = Ь, Уя(х„, у(яч)) = А.
Для определения я(тиыг) вулою найти зва ление п(Н) решения системы и' = Ап -~-Ь при начальном условии п(О) = О. Эга задача решается в явном виде, одвако для ее решения требуется значи все собственные некторы и собственпыг значения матрицы Л. Ешли размерность матрицы А сколько-нибудь большая, то найти их — довольно трудоемкая задача. Поэтому целесообразнге гледующий путь нахождеиил п(Н).
Релюние системы уравнений и' = А(й)п+Ь(й) при началььюм условии п(О) = О записынается в виде п(Г) = / Вг(т, й)Ь(т)Ит. эе Матрица Лу(т, 9) является решением системы =ЛЯ)У(т, й) при начальном условии Иг(т, т) = Н. Гласа 8. Численные методм решения задачи Коши В частном случае А, Ь = сопз< имеем п(1) = м(1)Ь, где матрица е<(1) имеет вцц «. ы(С) = / ехр(А(1 — т)) <(т = А ~ (ехруАЕ) — Н). е Значение м(Н) можно было бы попытаться вычислить, пользуясь разложением в ряд Тейлора ш(Н) — Н~ Н(АН)' '. 1 (9) м(1) = ы ( — ) (2Б -у Аы ( — ) ), (10) где Н вЂ” едивнчная матрица.
Взятому часто бывает целесообразно пойти по <ледующему пути. Выбираем з такое, что ()А((ЕЕ 2 * (( 1; основываясь на (9), вычисляем м ( —,) — — ~ —, (А —,) =1 " а зятем е<(Н/2< 1),..., <<(Н(2), е<(ХЕ) <' помощью рекуррентной формулы (10).
В случае линейной системы у' = А(з)у алгоритм решения задачи мо. жег бьггь несколько упрощен. Здесь в описанном выше алгоритме на каждо<< шаге возникает необходимость решения системы у' = А(ха)у при начальном усзовии у(т„) = у„. Тогда уа+1 = <р(Н)у, где <р(Н) = ехр (АН), А = А(т.„). На первый взгляд может <юказатъгл разумным следующий путь. Матри- :<а <р(Н) удовлетворяет соотношения< () = (,") (,"), Однако в случае жестких систем при реально допустимых значениях Н величина ((А((Н з 1 и а) для достижения приеылемой точности требуется взять слишком много слшвемых; б) в тех глучаях, когда требуомос для достижения нужной точности число сзапшмых допустимо по чи<лу арифметических действий, использовавне разложении (9) при ((А((Н ~ 1 может быть неприемлемо по друп<й причине: среди учитываемых в правой части слагаемых встреча<отея очень болыпие, и относительная погрешность, вызванная округлениями, недопустимо велика.
Матрица ь<(1) удовлетворяет соотношению Э 9. Особенности интегрюювааня систем уравнений поэтому зададимся некоторым э и вычисляем 1р( —,) ш) —, ~А —,) а затем пользуясь рекуррснтной формулой (11). Такой путь при больп1ом э приводит к существенному накоплению погрешности. Поэтому положим г)(Н) = 1р(11) — Н, пычислим 6)шК (7) и зачем 1Е(Н/2Я 1),..., ф(Н), псэпчуясь рскуррснтной формулой ф(1) = гу (-) (2Н+ ф ~ — )) .
Далее находим 1р(Н) = Ы-- ф(Н). При 1 й 0 меюд точности 0(1Р) ноэучаеыя, е1ли в (7) эаклге учесть второе слагаемое. Тогда потребуется аналогичным образом сконгтрунроеать то 1ный метод решения вспомогательною уравнения бу) п'=Аптб+се, с= — ~ бя 1 В с 1учае решения линейной задачи п' = А(т)п + Г(х) можяо предложить довольно простые методы точности 0(йе). 2. Другая группа мнюдов решения жестких задач строится следующим образом. Зададимся не1соторым й и приблизим произвгдную у'(хв) односторонней аппроксимацией й-го порядка точности Ь' уе ~ "— *уеК г й 1=1 — е Выражение Е(хв, у(тв)) оставим без нчменения. Получим конечнорэзностную аппроксимацию ) * Е(х».
уе) = 11. (12) шо Рассмотрим случай модельного уравневни у' = Му, когда (12) превра- щается в конечно-разносгное уравнение ь * =*- — Му„=б. а,у„е б шо Глава 8. Численные мстощя решения задачи Коши 402 Решение этого уравнения «ьшисывается через корни характерисчнческого уравнения ь ) ' о е(з'щ - ЕМр' = О. ыо При й = 1, 2 корни этого уравнения удовлетворяют условию ()з( < 1 в области значений М: НеМ < О; ири й = 3, 4, 5, 6 — угловию )р( < 1 в области зн'щений М; )!шМ( < -гтьйеМ, где оь > О. В пелнвейнам глучае зпачевие уь требуется вахслить из нелинейной сися мы (12).
Алпзритмы решенвя жыткнх систел~ различахпся способами нахожлели» начального приблилсения к решению (12) в алгоритмами прибзпокенного реше. ния (12). Рассмотрим простейший «лучап Л = 1, когда (12) превращается в неявный метод Эйлера: — Г(х„, у„) = О. (13) Могло бы показаться разумным найти начальное приблихсенпе к уь с помощью явной формулы Эйлера У„= У вЂ” ь 4 ЬХ(х -ы 1'„— ~ ), однако это пе всегда целесгюбразно. В случае Г(х, у) = Лру имеем уь = (1 4 М!Оу„~ и при )Лйй| >> 1 может глучитьс», гш такое приблихгенгзе будет слишком далеко от истинною решения.
Поэтому более бшопасный, ло пе всегда самый эффективный вариант это положить уе = у ы Перепишем (13) в виде системы нелинейных уравнений относительно у<р у„— уь, — ЛПхь, уь) = О, и применим итерационный мгпзд Нькпона. В дшшом конкретном слу ~ае ин- терполяциоиная формула Ньютона присбрешет вид уьы = у" — (Е - Лбт(з, уд)) (З4 - у — — )Г(х., у„')), (14) где Л вЂ” номер итерации. В одном кч мешдов решевия жестких систем за у„принимается аначение у„, 1 полу ~аемае из (14) при у!( = у„,. Тогда имеем у =у„'=уп ~+Л(Š— М„(.,1 )) Г(.,у.-~).
Рассмотрим случай скалярного уравнения у' = Му; тогла МЛ 1 р = у — э + - — уь-1 = - 9 †) ° Если Ве М < О, в частности, если М дейотвительно и М < О, то при любом Л 1 имеем ~ < 1 и погрешности, возникающие в процессе счета, убывал )1 — МЛ Поэтому такой меню может быть применен к решению жестких систем. $9. Оссбвпюсти «штегриравани» систем уравнений 403 3. Укажем еще один псшабный метод решени» задачи Коши для «кесп«их систем довольно распространенно«о вида к' = р'(в,х), й = Со(я,х) + С«(в,х)и, с контролем локальной погрешности через некоторую величину й Исходя из приближения ке, ие делаем попытку интегрирования с шагом Ь„.
Используетсн аппроксимация первого порядка точности в„.«, — к„(дР~ " = Р(ве,х„),— ~ 5 ~ 1(ке+, — ), ,1 е и„«1 — и„ = Сз(к з бе« ь«) + С«(к +1,хеы)(п«+1 — ие). В резулв«атс двух «патов получыотсл приближения в,',+2 и п«„2 к зна.- чениям в(х„+25„) и и(х +м«е)1 находятся приближения из+2 и из+2 в результате применения той же аппроксимация с двайвым шагом 25е; вс личины Не = в„+2 — к„+2 и г„= и„+2 — ив+2 испазьзувтся для контршш 1 2 шага интегрировании. ° «. =,'«<гт«ку ««, ' ° ° ю знаюниа в(хе 2-25е) и и(ге+26 ) пРилимэл«гси к«,+2-~-Н„и и« «2-2 г«а с«ютветствсвно.
При 25„< Б/4 след:,ующий шаг берется в два раза больше. При «5в > Б делается попьггка повторного интегрирования, исходи из ТОЧКИ Хе, На С Ужс ВДВОЕ МСНЫПИМ «натаМ. Получаемая в итоге аппроксимация имеет уже второй порядок. Задача 1. На примере уравнения и'+Ми = 0 получить явну«о формулу, выражающу«о п«+2+ гв черш и„: в«, 2+ г„= Л(М)пв. При каких М выполняется неравенство (Л(М)( < 1? 4. Как уже отмечалось ранее, нвпые мсп«ды численного «штегриравания для жестких снеге««обыкновенных дифференциальных ураннений неприемлемы вследствие ограничений на шаг интегрирования. Дойствительна, рассмптрим модельное уравнение (15) и' + Мп = О, и(0) = оа и применим для ега решения метод Эйлера: и"+' = и" — Мйй' = (1 — М1«)и", (15) 1« = иа.
Решение задачи (15) при М > 0 имеет вид монотонно убыва«ощей экспоненты и(х) = иее "«г, в то время как решение (1б) имеет вид и" = (1 — МЬ)"ио. Таким образом, при (1 — Мй) > 1 решевие задачи методом Эйлера экспоиенциально мнрастает и ве имеет ничего общего с реальным решением. Более того, «клн даже (1 — МЬ( < 1, но 1 — МЬ < О, то решение (15) экспоненциально убь«васс, но при переходе от шага к шагу меняет знак, т.е. метод Эйлера в этом случае также неприменим. 404 Глаза 8. Чи>ленные ме>еды решевия задт>и Каши Таким образам, из проведенных вьппе рассухсцений люжно еде>шть выиод, что метод Эйлера даат приближенное рспюиие, правильно моделирующее поведение решения диффере>шпальной задюш при выполнении условия на шаг интегрирования (17) ь>п — -г Ап = О, п(0) = пс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
