Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - Численные методы (djvu) (1160088), страница 75
Текст из файла (страница 75)
>й (18] Будем предполагаттв что спектр лжтрицы А ь>ожет быть разделен на две части: гладку>о — Л>,..., Ль =- 0(1) и жесткую — Ль».,..., Л„» 1; шах Л. = М. Решение задачи (18) имеет вид п(1) = г ' >по. (19) Решение задачи (18) будем искать на отрезке (О, т), ислшплуя мн>од Эйлера и„„> = пв — 1>Апа = (Š— ЛА)пв, ог«уда (20) и„= (Š— КА)" пс. Разлв>ая пе по собствснныл> векторам матрицы А, получим пс = ~ ' п>е>.
Тогда из (20) имеем пв = > и>(! — 1>Л>)ве>. »= (21) Вследствие (19) норма решения ((п(1)(( дифференциальной задачи не возрастает. Если пс>гребова>ъ, чтобы норма решения дискретной зш>ачи что при болылих по модулю М влечет за собой непомерное увеличение вычислителы>ых затрат. Может и>>казаться, что явные иеп>ды чигленнога интегрирования вообще неприлюнимы для решения жестких систем обыкнс>венных дифференциальных уравнений. Однако ззо не так Нс так давно был предложен метод численного интегрировып>я жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помон>ьк> явных методов (в частности, метода Эйлера), которые позволяют существенво сократить вычисли>ш>ьные затраты.
Суть метода состоит в переменном шаге интегрирования. Изложим основные идеи метода на приыоре ли>дельной заджп>. В качестве такой задачи рассмотрим систему обыкновенных дифференцишп ных уравнений с симметричной неотрицательной матрицей А: (9. Особенности ивтегрирования систем уравнений 403 также не возрастала, то из (21) можно получить, чнз шаг интегрирова- ния й должен удовлетворять услонию (1 — !ь1 ) < 1, ! = 1,..., св, откуда получаем оцевку для )х б < г~й!. (22) У ш!т = и, Р !см ~Г(Ф о и„), С ПЗ вЂ” 1втй Ч! У'М = У. Ш!Х+ Ь .Ыу(1 Ш!З Ухейт) Со+С =! Ы!З + 1~ Ы и 3) =у Ы +7я+ьб +с (У(1в и ) 1(г»ы!з учы!з)) ' (23) ЩЕСЬ 7х — ПЕКСПОРЫЕ ПОСГОЯННЫЕ, КтОРЫЕ НаРЯДУ С 6 п ОПРЕДЕЛИТЬ. Рассмотрение ьсетода (23) будем проводить на приыеро зашчи (18). Еля слуш» задачи (18) метод (23) ньюег нид у,ь,!з —— и — бхьс Ап„, с„ь,!я =1,-~-6 „, У чг =У ш!г б*хмАУяыуз ! +г =1вчз!т т !~вен и .н =У ш 7 ч~й +с(Ап АУ ы!з).
помощью злементарных преобраюваний отшода получаем соотношение, :вязьшающее и Ы и и„: „„, = (и.— 1, ц)зп„— 7м,б„ы (Ап„— А(п„— !и „~Апв)) .= 3 = (Š— 6х ыА) и — ! ьсй +,А и„= [(и !ь,„А) -7„„8'„„А') „. (24) Условие (22) является необходимым двя устойчивости метода Эйлера (20). Даже в случае, когда мы паходнмсл в области, где схнтзвляющая решения, соогвьчствующая жьтжкой части спектра, бгпгзка к ну~по, мы вынуждены выбирать шаг интегрирования, удовлетворяющий (22); в прогивном случае происходит зкспанеициальное накопление вычисщитшпшой погрешности. Предположим, что мы задали число спасов интегрирования, равное !г.
Хохла за йг шагов, исшвгьзуя метод Эйлера (20) и условие устойчивости (22), ыы лсожем получись приближенное решение до момента времени г = 2Ф/М. Поставим следующую задачу. Используя переменный шаг метода Эйлера, получить за !У шагов приближсгшое решение на как можно болыпем промежутке. Естественно, что при ятом используемый метод аолжен быть устойчивым.
Ап Уточним даннуго постановку дпя счучая общего уравнения И! !(0 и), п(0] = по. Если пв известно, то п„ь~ будем искать, используя ледующий алгоритм Глава В. Чиюениые методы решения ээлачи Каши 406 Таким образом, мы мажем записать иютиопгение, связэывающее пр! и и в виде пп = !ягн(А)щ), (25) где Г)гн(Л) — П [(1 5 Л) — 7 ЛгЛ ]. (26) Заметим, что л 1)гл(Л) =1-22'1!ЛР" =1 Из постановки задачи видно, что коэг]!фициент при Л в многочлене Гтгн(Л) как раз и является величиной, которую ь!ы должны минимизировать. Кроме этап! должно эыпыгняться условие устойчивости [[1)г,ч(А)[] < 1, что эквивалентна выпгешению неравенства [Г)гл(Л)] < 1 при Л Е [О, М]. Таким образом, мы пришли к следующей постановке задачи. Введем класс Р мнагачленов степени 2)У со юабадигям членом 1, нс превосходящих по модушо 1 на отрезке [О, М].
На этом классе требуется найти многочлен, производная которого в нуле являатся минимальной, т.с. требуется найти гтгл б Р такай, (27) сэгн(Л) = агй лнв Ргл'(О]. Рркср Справедлива гледующаи Лемма. /2Л вЂ” М'! агу ппп Ргрр(0) =Тги = Югн(Л); ' Рркяг эцесь Тгп — многочлсн Чебьппева степени 217. Дшяьэошельсшео. Из определения мпагочленов Чебышева легко видеть, чта Тгк б Р. Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда суЩествУет многочлеп Ргн б Р такой, 'гго Ргл,(0) < ртг,.~(О). РассмагРиь! разность ! (Л) = сргп(Л)-Ргп(Л].
Эта разность является мпогочленам степени 2)У и в точке 0 обРащаегса в нУль, так как Ргл, 1,>гл' Е Р. ПУсгь Ло,..., Лгр! — точки экстремума 1эгн! при этом Ле = О, Лаи =- М. Так как !)гп мнаючлен четной степени, то в1йпч)гн(Лгг) > О, я1йнСггл (Лггт!) < О' Отстщщ слеэуег, чта ! удовлетворяет условию (25) юйп!'(Лщ) > О, э1йиг(Лгры) < О. Найдем количество корней мноючлена г на отрезке [О, М).
На отрезке [Ла, Лг] всегда имеется два карая. Действительно, г(Ле) = 0 и, по предло. ложепию леммы, !'(Ло) > О. Поскольку г(Л!) < О, ю это и азию!ает, чта 3 9. Оссбеззнасти интегрирования систем уравнений 40Т Слепует атметитзь что исходная задача до сих пор пс реизова, зак как мы дизпь назпли фувкцию из класса Р, удовлегварязазцуза усдовию зкстремума. Однако ниоткуда пока не следует, чта зта функция (мнагачлсн) представима в виде ~20). Покажем, чта зто действительно так. Многочлсн зази(Л) ж Тгх ( — Лтзм) имыт на отРозко [О, М[ Ровно 2з"зз коРней: Лз — — —. ~- г соз (гзгп-) —, 1 = 1,..., 2Л, котоРыс Расположеньз симметРич- М но относитсльзю тачки — .. середины отрезка [О, М[.
Вводя величиньз б 2 з М /2Л вЂ” М'з такис, что Л = — -~-бзз 1 = 1,...,1з', искозпзй миогочлсв Тггз ( 2 М ) можно записать в вцце ( М ) П( 31(2+б)( М/2 — б) (29) Приравнивая при фиксированном у пыражение, сюящее под знизом произведения в (29), к выражению под знаком прозсзвсдания в (26) пря там же У', полУчаем соотношение Дла опРеДелениЯ паРамегРов йз, 1. з М Мг/2 — 2(г ' (30) /2Л вЂ” МЛ Таким образом, мнагочлен ззгх(Л) = Тги ( ) действительно М ) яиляется решением поставленной задачи. Вычислим значение ьЗзгп(0). Для многочлена з1ебышева Тзи(х) справедлива фарыула (х+,IИ:1)г" + (х — Зхг:1)г" 2Л вЂ” М Таи(х) 2 х = . (31) М иа [Ла, Лз) имеется не менее двух корней. Если до точки Лг з з во всех узлах Лз.
(;за исключением Ла ) имапо места стрзгое неравенства (23), то иа отрезке [Ле, Лг.з з) имеется 2у-1-2 корня г(Л). Пусть з (Лз з.з) =- О. Тогда взиможны,пва случаи: или з'(Л) меняет знак в окрестности точки Лг, тз, яли знак в окрестности Лг зз не меняеззи. В первом случае зто означает, что ва отрезке [Ла, Лгззг) имелся 21+3 корня. Ва втором случае точка Лг .зз является крапзым корнем з (Л).
Таким абразозз, до томи Лг ьг мы рассмотрели все возможные случаи и успшавилп, чтзз з'(Л) имеез г. учезом кратности на [Ла Лггш) не менее 219 3 корней. Продолжая процесс „сдсчеза корней, окончательна получаем, что па всем отрюка [Ло, Лззз[ мноючлен з(Л) степени 2зЛз имеет не менее 2ззз-~-1 корней, Полученное противоречие заворшжт докззатсзп,сжю. 408 Глана 8.
Численные моголы решения задмгв Коши Тогда — =А" (ят ь/*т:1)зк-г — -р ' ) а г/Тзн 1 .— /2 2т г/Л '1М Мл/. 2:1 гз — зл,г 2 ~М М/г 1/ М 1.' // Л 'зг 1/ у(кзк-г р/у П зк — з / з 1+ ) / г 1)) (1 /тз --1/1 = — ~2зз~ ' -~-2(2АЛ вЂ” 1)згк г + О (ь/хз — 1)~ . М (32) 3Т )зл-лг) ~ КЛ ) 3Л Л.— в го кз 132) имеем щ )тл — гг) 3/ж г/Л М Л .с (33) Таким образом, за 2АЛ шыъв численного интегрирования жесткой си:.темы уравнений с помощью меттда Эйлера мы можем получить приближенное Решение на отРезке )О, лг), в пл вРома как пРи вптегРиРовапии гя гой же системы уравнений с помощью левого мешог/а г нгрслкмкмм огаюм можно получить приближенное решение на отрезке [О, "лкг ) зз то жо количество шагов.
Отсгода следует; что использование переменного шаг* интегрирования позволяет увеличить при тех же затратах процесорного времени длину отршка интегрирования в = /лг раз, тле. метод гудет особо эффективным при бслыпих Аг. В настоящее врелгя расчеты ю указанному методу проволятся до знзгений А/, достигыощих гюрядка !Ог'. При этом /у выбирается е гаокдой расчетной точке в зависимосги зт гладкости решении. Как правило, Аг выбирагот среди чисел Аг = г 3 г ь Следует отметить тот факт, по при практической реализации 1лвсгмотренного выше мг-.годе„кзк и в случае Чебышевскога ускорения итерационных методов, очень важной явлиется проблема правильного упорядочивания параметров процесса.
В настоящее врем» этн задачи решекы и ва их основе создан комплекс программ Лебедева «Р1/МКА» дза зешения жестких систем обыкновеинык дифференциальных уравнений, готорый показал свою высокую эффективность на мнашчислснных зэ,качах этого класса. Особенно эффективен данный метод по сравнению с вругими при использовании многопроцессорной вычислительной тгжники, шк как он легко раслараллеливается. г 10. Методы чнелсвнага интегрированна уравнений второго парилка 400 З 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка Ввицснивм новых неизвестных функций диффсрснцивльпыс уравнения порядка выше парнаса и их системы свалятся к систсывм уравпоний парнаса порядка.
Таким образам, при формальном пгдходс вопрос о числаином решении залггчи Коши для урввнсний высших порядков можно было бы считать исчсрпанпым. Однако методы, приспасаблсииыв спсциальпа длн рспюння уравнсний высших порядков, часто болев эффсктиэны. Нри разработке таких методов нужно также иметь в нилу широков рвспрострэпспиа систем уравнсний высоких поряцков специального вида, учет специфики которых может вщв более повысить эффсктивнасть методов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
